第37讲 数列的综合应用(达标检测)(学生版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第37讲 数列的综合应用（达标检测）

[A 组]—应知应会

1．（2020春•梅州期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为(

) A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

2．（2020春•成都期末）已知数列{}n a 的通项公式1

(*)(21)(21)

n a n N n n =∈-+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，

满足4

(*)9

n S n N >∈，则n 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．（2020春•常德期末）明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，⋯” ( “倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为( ) A ．12

B ．24

C ．48

D ．96

4．（2020春•嘉兴期末）对于数列{}n a ，若存在常数M ，使对任意*n N ∈，都有||n a M 成立，则称数列{}n a 是有界的．若有数列{}n a 满足11a =，则下列条件中，能使{}n a 有界的是( ) A ．11n n a a n ++=+ B ．11

1n n a a n

+-=- C ．112n n n a a +=+

D ．

121

1n n a a n

+=+ 5．（2020•山东模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为( ) A ．1118433

⨯+

B ．1114

433

⨯-

C ．1018

433

⨯+

D ．1214

433

⨯-

6．（2020春•石家庄期末）如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2)，且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

7．（2020春•宜宾期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕

像”的数量为( ) A ．508

B ．256

C ．128

D ．64

8．（2020春•宜宾期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100a <，101010110a a +>，则满足0n S >的最小正整数n 的值为( ) A ．1010

B ．1011

C ．2020

D ．2021

9．（2020春•河南期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的(n = ) A ．50

B ．51

C ．100

D ．101

10．（2020春•九龙坡区期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，⋯⋯，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为{()}F n ，则{()}F n 的通项公式为( )

A ．(1)1()2

n n

F n -+=

B ．(1)()(1)F n F n F n +=+-，2n 且F （1）1=，F （2）1=

C ．()]

n n F n =

-

D ．()]

n n F n =

+

11．（2020春•镜湖区校级期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿？( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

12．（2020春•宣城期末）已知等比数列{}n a 的公比为3，前n 项和为n S ，若关于(*)m m N ∈的不等式1||1m S a m -<+有且仅有两个不同的整数解，则1a 的取值范围为( ) A ．(1-，11

][33-，1)

B ．(1-，11

][22-，1)

C ．1(3-，0)(0⋃，1

)3

D ．1(2-，0)(0⋃，1

)2

13．（2020春•威宁县期末）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1