1-2单自由度系统无阻尼振动(1)

J J
a
b
c
d
a、 d是并联，b、 c是串联。
在x方向的刚度：在B处沿x方向施加一力F, B点在x方向的位移为： 这种刚度又叫杆的拉压刚度。 在y方向的刚度：在B处沿y方向施加一力P, B点在y方向的位移为： 这种刚度又叫梁的弯曲刚度。
在绕x轴转动方向的刚度：在B端绕x轴转动方向施加一扭 矩M，等直物体作扭转运动，产生扭角：
这种刚度又叫轴的扭转刚度。
在应用瑞利法时，必须先假设系统的振动 形式，设弹簧在振动过程中变形是均匀的， 即弹簧在连接质量块的一端位移为x，弹簧 （处于平衡位置时）长度为l，则距固定端 x处的位移为 当质量块m在某一瞬时的速度为 弹簧在x处的微段d x的相应速度为 设r为弹簧单位长度的质量，则弹簧的动能为：
弹簧质量 弹簧的等效质量
无 ‘重 力’ 项
即
令
1 运动微分方程的建立
对于离散系统，建立系统的运动微分方程方法： （1）动静法：根据达朗贝尔原理，在质量上添加假想的惯 性力后，一个本质上的动力学问题变成一个形式上的静 力学平衡问题，由此建立运动方程属于动静法。 动静法又分刚度法和柔度法。 刚度法：将质量取出作为隔离体，分析隔离体的受力，包 括：外载荷、弹性力、阻力、约束反力，以及假想的惯性 力，除外载荷给定外，弹性力用位移表示，阻力用速度表 示，惯性力用加速度表示，列出隔离体受力平衡方程并化 简，得到系统的运动微分方程。 柔度法：先考察质量所在处的结构变形，此变形是由外 载荷和惯性力共同产生，写出变形方程并化简，得到系 统的运动微分方程。
T U const
对两端求导，可得
d T U 0 dt
常见物体的动能计算
1 2 质点或平动刚体 T 2 mv 1 2 T J 定轴转动的刚体 2
1 1 2 2 平面运动的刚体 T mvc J c 2 2
常见物体的势能计算
1 2 拉伸弹簧 U kxdx 2 kx 0 x 1 2 U K d K 扭转弹簧 2 0
（rad/ s） 为圆频率或固有频率
振动周期 振动频率
（ s）
（Hz）
结论2：响应满足叠加原理
系统在初始位移 x0 单独作用下的自由振动， 此时 系统在初始速度 x0单独作用下的自由振动， 此时
x0 0
系统的总响应 叠加性是线性系统的重要特征。
结论3
固有特性
这三个量都由振动系统的参数确 定，而与初始条件无关，是系统 的固有特性，因而又称作：固有 圆频率、固有周期和固有频率。
解：设j为圆盘相对于静平衡位置的角坐 标（即单自由度的广义坐标），作用在 圆盘上的恢复力矩 根据刚体绕定轴转动的平衡方程，有：
例3 弹簧—质量系统，在光滑的水平面上，质量为m的物体 用不计重量的弹簧固定，弹簧原长为l0，沿弹簧轴线取坐标 轴x，以弹簧不受力时右端位置o为原点，向右为正，假设物 体只限于沿x轴进行直线运动，故物体任意时刻的位置可由x 完全确定。建立运动微分方程。 解： （用柔度法）
第一章 单自由度系统的振动
本章主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 无阻尼自由振动 有阻尼自由振动 简谐激振力引起的强迫振动 系统对周期激振力的响应 系统对任意激振力的响应
自由度：为确定振动系统的全部质量在任意时刻的 位置所需要的独立的几何参数（坐标）的数目。
注意：一个系统的自由度的确定是一个相当复杂的问题！
若能测出物体在重力作用下弹性元件的静变形，即可确定固有频率。
例5 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由端 附有重为P=mg的物体，求其频率。 解：由材料力学知，在物体重 力作用下，梁的自由端将有静 挠度：
(1)静变形法
(2)能量法
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的 机械能（动能+势能）保持常值。
微振 动 固有频率
单自由度系统的自 由振动——简谐振 动
1 运动微分方程的建立
弹簧—质量系统放在竖直方向，质量运动方向有重力。
重力只影 响质量块 的平衡位 置，并不 影响其振 动规律。
以系统的静平衡位置o为坐标原点，以垂直向下为轴 正向，建立如图所示的坐标系。 在静平衡位置有： 当物体在任意位置x时：
任选两个瞬时位置i和j，满足： 或者，选两个特殊位置，使
由于动能是固有频率的函数，利用上式可直接得 到系统的固有频率。
例6 有一重量为W,半径为r的实心圆柱体，在半径为R的圆柱形面上无滑动 地滚动。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小 摆动时的固有频率。 解：圆柱体在摆动时有两种运动： 移动和滚动，设广义坐标为。 摆动时圆柱体中心C点的速度及圆 柱体的角速度分别为：
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
这是二阶常系数线性微分方程，解的一般形式为：
式中c1、c2是由系统的初始条件决定的。 在t=0 时，初始位移为 ，初始速度为
结论1：
单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时 间的简谐函数（正弦或余弦） A为系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置 的最大位移。 为相位角， 为初相位角。
固有频率只与系统的固有特性（刚度和质量）有关，而 与初始条件无关，刚度越大（振动的恢复力越大，越容易 回到静平衡位置），或质量越小（即惯性越小），系统振 动越快，圆频率或频率越大，周期越小。
系统的固有频率是一个重要的振动参数。下面介绍 确定单自由度系统固有频率的几种常用方法。
（1）静变形法 悬挂的弹簧质量系统，当振动系 统在静平衡位置时，弹簧在重力作用 下将有静伸长。
例7 在长为l，抗弯刚度为EJ的简支梁的中点放一重量为W的物体， 梁的单位长度的质量为r，当考虑梁的分布质量时，求系统的 固有频率。
解：首先假定梁的振型。假设梁在自由振 动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载 荷作用下的静挠度曲线一样。
由材料力学知，其静挠度曲线方程为：
动挠度曲线方程为： 在梁上取微段dx，其质量为r dx，速度为： 弹性梁的动能： 系统最大动能 系统最大势能 假 设 梁 做 简 谐 振 动
选圆柱体在最低点为零势能 点，则系统势能：
圆柱体作微摆：
势能参考点的选取
势能是一个参考值，其具体值的大小和参考点选取有关。
d T U 0 在使用 dt 时，要注意，势能基准值的选 取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。
(1)静变形法 （3）瑞利法
(2)能量法
运用能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把 弹簧的分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的固有频率值。
设在某一时刻 t，物体的位移为x， 则此位移可视为仅由惯性力产生， 列出变形方程：
其中惯性力的柔度系数d为单位力作用在质量上产生的位移，也就是单 位力作用在弹簧上产生的变形量，而弹簧产生单位变形需要的力为k， 将柔度系数代入变形方程，得： 令 得
例4 如图是一测振仪的示意图。已知物体的质量为m，物体 上端悬挂在刚度为k1的弹簧上，并与杠杆AOB的B点铰接， 杠杆与外壳通过刚度为k2的弹簧相连。设杠杆对o点的转 动惯量为I0，弹簧质量不计，系统平衡时OB在水平位置， 用拉格朗日方程建立运动微分方程。
梁的等 效质量
一般来说，假定振型与实际振型之间是 有差异的。这种差异可以认为是由于系统受 到外加约束而增加了系统的刚性所致。因此 用瑞利法求出的固有频率是一偏高的近似值。
4 等效弹簧—质量系统
等效质量 等效刚度
刚度：使系统的某点在指定方向产生单位位移（或角位移）时，在该点同一 方向所要施加的力（或力矩），称为系统在该点在指定方向的刚度。 同一弹性元件，根据所要研究的振动方向不同，刚度亦不同。 左图为一端固定的等直物体，长为l，截面积为A，截面 惯性矩为J，截面极惯性矩为Jp，材料弹性模量为E，剪 切弹性模量为G。Oxy坐标如图。 分析自由端B不同方向的刚度。
刚体的重力势能
x
K 为抗扭弹簧系数
U mgzc
例1 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤（直杆的重量和 锤的体积都可以不计），组成单摆，杆长为l，锤重为mg，试求 摆的运动微分方程。
解：取单摆的铅垂位置os为静平衡位置，当摆从该 位置偏离角时，重力的分量（切向）mgsin力图使 摆回到平衡位置，这里重力起着弹簧的作用。 取为广义坐标，从平衡位置出发，以逆时针 方向为正，锤的切向加速度为
对o取矩
假设不大，可令
例2 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成扭摆。设 有力矩使圆盘绕铅垂轴转过某一角度后突然释放，则圆盘将在 水平面内进行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数（使轴的下 端产生单位转角所需的力矩）为k(Nm/rad),质量不计，圆盘对轴 的转动惯量为I，求扭摆的振动微分方程。
等效刚度：在复杂的单自由度系统中，有较多的弹性元件，每个弹性元 件相当于一个弹簧，它们之间为串联、并联或混联关系，将它们用一个 等效弹簧来代替，其刚度为等效刚度。
两个弹簧串联，在B点施加力F后，两个弹簧伸长: 串联弹簧的等效刚度比原来两个弹簧的刚度 都要小，串联弹簧使系统的弹簧刚度降低。
B点的等效刚度：
（2）能量法（拉格朗日方程法） 拉格朗日方程（单自由度系统）： T为系统的动能，U为系统的总势能（或应变能），y为位移 自由度（广义坐标），Q为非势力的广义力。 对于定常约束系统，动能仅与速度有关 对于定常约束的保守系统 拉格朗日函数
动能与位移无关， 势能与速度无关
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机 械能（动能+势能）保持常值。
N个弹簧串联：
两个弹簧并联，在B端施加力F后，两个弹簧均伸长xB: 两个弹簧受力不同，分别为：
并联弹簧的等效刚度是原来弹簧刚度的总和， 比原来各弹簧的刚度都要大。
混联弹簧
等效刚度：
Fra Baidu bibliotek
设计系统时：若需要减小刚度，采用串联弹性元件； 若需要增大刚度，采用并联弹性元件。
思考题 判断下面的弹簧的串并联情况
单自由度系统：只有一个自由度的振动系统，称为 单自由度振动系统，简称单自由度系统。 几种单自由度系统的示例：
弹簧——质量系统
单摆
扭摆
1-1 无阻尼自由振动
自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种 振动形态。 系统的无阻尼自由振动是在振动过程中不受任何阻力作用。 系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条 件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力 的话，整个世界将处于无休止的振动中。
系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位
结论4 系统参数对振动特性的影响
振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越 长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短， 这个结论对复杂的振动系统也同样的适用。
m , k f , T m , k f , T
3 固有频率的计算