用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧

桃源县第九中学 朱梅芳

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

3

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时

,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：

b

a 112

+2a b

+≤≤≤

2

2

2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)2(1)

y x x x =+>-的最小值。 解析：

21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)

x x x x --=+++>-

1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5

2

。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积

为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

①23

(32)(0)2

y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<

解析：

①30,3202x x <<->∴，∴23

(32)(0)(32)2

y x x x x x x =-<<=⋅⋅-

3

(32)[]13

x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，

“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin 0,cos 02

x x x π

<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先

求y 2的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221

(sin sin 2cos )2

x x x =⋅⋅

22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x

x =(0)2

x π<

即x arc =时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是9

。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +∈R ，求4

()f x x x

=+

)10(≤

f x ax a b x

=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，

函数4

()f x x x

=+是减函数。

证明：

任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212

44

()()()()f x f x x x x x -=-+-

211212

()4x x

x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅，

∵1201x x <<≤，∴12

1212

4

0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4

()f x x x

=+在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，4

()f x x x

=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有

4

()f x

x x =+24=+，易知当01x <≤时，

μ

且单调递减，则2

()4

f x=+在(0,1]上也是减函数，即

4

()

f x x

x

=+在(0,1]上是减函数，当1

x=时，4

()

f x x

x

=+在(0,1]上有最小值5。

解法三：（导数法）由4

()

f x x

x

=+得

2

4

()1

f x

x

'=-，当(0,1]

x∈时，

2

4

()10

f x

x

'=-<，则函数4

()

f x x

x

=+在(0,1]上是减函数。故当1

x=时，

4

()

f x x

x

=+在(0,1]上有最小值5。

解法四：（拆分法）4

()

f x x

x

=+)1

0(≤

()

x

x x

=+

+

3

1

≥5

=，当且仅当1

x=时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。

例4、已知正数x、y满足811

x y

+=，求2

x y

+的最小值。

解法一：（利用均值不等式）

2

x y

+

8116

()(2)10

x y

x y

x y y x

=++=+

+1018

≥+=,当且仅当

81

1

16

x y

x y

y x

⎧

+=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

即12,3

x y

==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）

由811

x y

+=得

8

x

y

x

=

-

，由0008

8

x

y x x

x

>⇒>>⇒>

-

又则2

x y

+

22(8)161616

2(8)10

8888

x x

x x x x

x x x x

-+

=+=+=++=-++

---

-

1018

≥=。当且仅当16

8

8

x

x

-=

-

即12,3

x y

==

此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）

令

2

2

8

sin

1

cos

x

x

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

则有2

2

8

sin

1

cos

x

x

y

x

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

则

22

82

2

sin cos

x y

x x

+=+222222

8csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tan

x x x x x x

=+=+++=++

10

≥+18

≥，易求得12,3

x y

==

此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误