2013高考数学 解题方法攻略 二次函数3 理

(2)“对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5”．
若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增．
当1≤a＋1，即a≥0时，
由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得
…………8分
（2） 在 上恒成立 在 上恒成立
令 ，则 在 上单调递减
∴ ．
例5已知函数 是偶函数.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，其中 若函数 与 的图象有且只有一个交点，求 的取值范围
解：（1）∵ 是偶函数，
∴ 对任意 ，恒成立2分
(1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1．
①当x∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值来自百度文库围为[1，10]；
所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．……………………………3分
或
解得 或
因此 的取值范围是 或 ；
二次函数专题
1、两根 小于2，求a的取值范围a<1
2、两根 大于2，求a的取值范围
3、两根一个比2大，一个比2小，求a的取值范围a>1
4、两根在（-2，3）内，求a的取值范围
5、两根 ，求a的取值范围-1<a<1
6、有且只有一个实根在（-2，1）内，求a的取值范围
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
例1已知函数 （ 为实常数），
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式；
（3）设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
解析：(1) ,
，考虑到 ，解得 ， ，综上所述
例4已知二次函数 满足条件 ，及 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在区间 上， 的图像恒在 的图像上方，试确定实数 的取值范围；
解：（1）令
∴二次函数图像的对称轴为 ．∴可令二次函数的解析式为 ．
由
∴二次函数的解析式为
另解：⑴设 ，则
与已知条件比较得： 解之得， 又 ，
方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若 ，则 ；
， ， .
(2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， .
－3≤a≤1，
从而0≤a≤1．
当1＞a＋1，即a＜0时，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)2＋1≤5，得
－1≤a≤3，
从而－1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[－1，1]．……………………………6分
(3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等价于“M－m≤8”．
③当2＜t≤4时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．
由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－2 ≤t≤2 ．
从而2＜t≤2 ．
④当t＞4时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．
从而t∈．
综上，a的取值范围为区间[4－2 ，2 ]．……………………………10分
例3已知 定义在 上的奇函数，当 时， ．
（1）求 时， 的解析式；
（2）问是否存在这样的正数 ，当 时， ，且 的值域为 ？若存在，求出所有的 的值，若不存在，请说明理由．
18．解：（1）设 ，则 ，于是 ，又 为奇函数，所以
，即 时， ；
（2）分下述三种情况：① ，那么 ，而当 时， 的最大值为1，故此时不可能使 ．②若 ，此时若 ，则 的最大值为 ，得 ，这与 矛盾；③若 ，因为 时， 是单调减函数，此时若 ，于是有
∴ 的单调增区间为( )，(- ,0) 的单调减区间为(- )，( )
(2)由于 ，当 ∈[1,2]时，
10 即
20 即
30 即 时
综上可得
(3) 在区间[1,2]上任取 、 ，且
则
(*)
∵ ∴
∴(*)可转化为 对任意 、
即
10当
20 由 得 解得
30 得
所以实数 的取值范围是
例2设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．
①当t≤0时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．
从而t∈．
②当0＜t≤2时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2．
由M－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得
4－2 ≤t≤4＋2 ．
从而4－2 ≤t≤2．
(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；
(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．
解因为f(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在区间(－∞，t]上单调减，在区间[t，∞)上单调增，且对任意的x∈R，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
2013高考理科数学解题方法攻略—二次函数3
（4）方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且
若 ， ，显然在 上没有零点，所以
令 得
当 时， 恰有一个零点在 上；
当 即 时， 也恰有一个零点在 上；
当 在 上有两个零点时，则
8.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根.
设 ，则
（1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ；
（2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ；
（3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .