2013高考数学 解题方法攻略 二次函数3 理
二次函数压轴题解题口诀
二次函数压轴题解题口诀，是高中数学学习中最重要的一环，可以帮助学生更好的掌
握二次函数的知识，加深对二次函数的理解。
学习二次函数压轴题解题口诀有以下三个步骤：
第一步：认真研究题目，把题目中的关键信息提取出来，如方程的参数、函数的表达
式等；
第二步：根据口诀，结合题目中的关键信息，来解决题目；
第三步：检查解题的正确性，进行有效的复核，确保解题正确。
二次函数压轴题解题口诀的最重要的就是“以a为关键，b和c要靠肩，求根号内容，反求外部法”。
其中a是二次函数的系数，b和c是二次函数的一次项和常数项，求根号
内容是指求二次函数的两个实数根，反求外部法是指求出二次函数的表达式。
此外，还有一些其他的口诀，如：“三角求根，解二次方程，用函数表示，反求外部法”。
这些口诀把二次函数的解题思路概括得很形象，可以帮助学生更好的理解二次函数。
总之，学习二次函数压轴题解题口诀，不仅可以帮助学生深入理解二次函数，还可以
提高学生的解题能力，更好地应对二次函数压轴题。
2013高考数学 解题方法攻略 参数范围 理
导数参数范围数学高考G.导数，高考中新的“经济”增长点1、利用导数研究函数的单调性问题设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0则f(x)为减函数。
反之亦然。
高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
(20)(安徽文 本小题满分14分)设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2x cos 2x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R, 其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)讨论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.20．（福建文 本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．2、利用导数求解函数极（最）值问题设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。
高考常结合求函数极值(最值)、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。
19．（北京理 本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值． 19．（湖南理 本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a 万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，OA =．（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．A（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．3、利用导数的几何意义解决有关切线问题函数f(x)在点x 0处的导数f'(x 0)是曲线y=f(x)在点(x 0.f(x 0))处切线的斜率。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧
1、先求出二次函数的顶点：
设二次函数为y=ax2+bx+c，那么顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2、确定函数的性质：
判断a的正负，可以确定函数的单调性，从而确定函数的大致形状。
3、利用函数的性质，确定函数的根：
若函数为单调递增，则函数的根在顶点左边；若函数为单调递减，则函数的根在顶点右边。
4、利用绝对值函数的性质，确定函数的根：
若函数为绝对值函数，则函数的根在顶点两边，且根的绝对值相等。
5、利用函数的性质，确定函数的最大值和最小值：
若函数为单调递增，则函数的最大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的最小值在顶点左边。
6、利用函数的性质，确定函数的极值：
若函数为单调递增，则函数的极大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值在顶点左边。
7、利用函数的性质，确定函数的极值点：
若函数为单调递增，则函数的极大值点在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值点在顶点左边。
8、利用函数的性质，确定函数的增量和减量：
若函数为单调递增，则函数的增量在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的减量在顶点左边。
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二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究引言：历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想；配方法、换元法、赋值法等。
要求学生掌握二次函数的概念，掌握其图象、性质及图象与性质的关系，能灵活地运用“三个二次”的相关知识解题。
充分体现了学生对函数内容的把握程度，是数学高考中一个永恒的话题，真可谓“考你千遍也不厌倦”。
形如)0(2≠++=a c bx ax y ，的函数叫做关于x 的一元二次函数，其定义域为R ，图象是一条抛物线，对称轴方程ab x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --。
学习时应重点掌握下列内容： ⑴合理选择二次函数的解析式。
*三种常用表达式：①)0(2≠++=a c bx ax y ，（定义式）；②)0(,)(2≠+-=a k h x a y （顶点式）；③)0(),)((21≠--=a x x x x a y （两根式）。
【例题1】已知)(x f 是二次函数，且满足x x f x f f 2)()1(,1)0(=-+=，则=)(x f 。
〖解答〗.1)(,11022.22)1()1(,2)()1(,1,1)0(,)(2222+-=∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++=--+++∴=-+=∴=++=x x x f b a b a a x b a ax bx ax x b x a x x f x f c f c bx ax x f 设【例题2】设二次函数的图象的顶点是)23,2(-，与x 轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
〖解答〗.653261.61,664)(||.2344,23)2(2212212122+--=∴-==-=-+=-+++=++=x x y a a x x x x x x a ax ax y x a y 得由即设二次函数 【例题3】设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根满足 ax x 1021<<<，当),(21x x x ∈时，证明：.)(21x x f x << 〖解答〗.)(),(,0)1)(()().(0)(,01,0,0,10),1)(())(()(),)(()(21212211212121121121x x f x x f x ax ax x x x x f x f x x x f ax ax x x ax x x ax ax x x x x x x x x a x x f x x x x a x x f <<><-+-=-<>-∴>->>-∴<<<<-+-=-+--=-∴--=-综上即同理即由已知设【例题1】函数)),0[(,+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是（ ）A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b>0D ．b<0〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数（决定左增右减还是左减右增）和对称轴方程（决定单调性分界位置）共同制约。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：2.7二次函数(第1课时)
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8，
解得a=-4或a=0(舍去)， 所以所求函数解析式为
f ( x) 4( x 1 2
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) 8 4 x 4 x 7.
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点评：用待定系数法求二次函数的解析 式，关键是根据题中条件得到待求系数的 方程组，而正确选用二次函数的形式，可 简化求解过程.
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3.已知函数f(x)= x2+4x(x≥0) 4x-x2(x<0), 若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( C ) A. (-∞,-1)∪(2,+∞) C. (-2,1) 故得2-a2>a， 解得-2<a<1，故选C.
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B. (-1,2) D. (-∞,-2)∪(1,+∞)
Δ≥0时与x轴 ax2+bx+c=0的两实根； ax2+bx+c＜0 Δ＜0时，抛物线与x轴
恒成立.
为方程 不相交 ，
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ax2+bx+c 二、二次函数的解析式 a(x-h)2+k (a≠0). 1. 一般式：f(x)= ) 2. 顶点式：f(x)= a(x-x1)(x-x2(a≠0). 3. 零点式：f(x)= x1，x2为两实根). (a≠0，
由题意得 4a+2b+c=-1 2
4ac b
a-b+c=-1 4a
8，
解得
所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
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高考数学 解题方法攻略 二次函数3 理
2013高考理科数学解题方法攻略—二次函数3（4）方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程20(0,0)ax bx c a ++=≠∆>有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+若0a = ， ()23f x x =- ，显然在[]1,1-上没有零点， 所以 0a ≠令 ()248382440a a a a ∆=++=++= 得 a =当 a =时， ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时， ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上；当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时， 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <因此a 的取值范围是 1a > 或a ≤ ；二次函数专题2()2,f x x ax a R =--∈1、 两根12,x x 小于2，求a 的取值范围 a<12、 两根12,x x 大于2，求a 的取值范围 a φ∈3、 两根一个比2大，一个比2小，求a 的取值范围 a>14、 两根在（-2，3）内，求a 的取值范围 713a -<<5、 两根1211x x <-<<，求a 的取值范围 -1<a<16、 有且只有一个实根在（-2，1）内，求a 的取值范围1(2)(1)0(2)02(1)01222a a f f f f ⇔-<-=-<<-=<<1或且或且-2 1a ≠-方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 7.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.8.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.例1已知函数()221f x ax x a =-+-（a 为实常数），（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()f x 在区间[]1,2的最小值为()g a ，求()g a 的表达式； （3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1)1=a ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≥+-=⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=0,43)21(0,43)21(0,10,11||)(22222x x x x x x x x x x x x x f∴)(x f 的单调增区间为(+∞,21)，(-21,0) )(x f 的单调减区间为(-21,-∞)，(21,0) (2)由于0>a ，当x ∈[1,2]时，1412)21(12)(22--+-=-+-=aa a x a a x ax x f 101210<<a 即21>a 为增函数在]2,1[)(x f 23)1()(-==a f a g 202211≤≤a 即,2141时≤≤a 1412)21()(--==a a a f a g30221>a 即410<<a 时 上是减函数在]2,1[)(x f 36)2()(-==a f a g综上可得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<<-=21,232141,1412410,36)(a a a a a a a a g(3)112)(--+=xa ax x h 在区间[1,2]上任取1x 、2x ，且21x x < 则2121212121()()(1)(1)a a h x h x ax ax x x ---=+--+- )]12([)12)((2121122112---=---=a x ax x x x x x x a a x x (*)∵上是增函数在]2,1[)(x h ∴0)()(12>-x h x h∴(*)可转化为0)12(21>--a x ax 对任意1x 、都成立且212]2,1[x x x <∈ 即 1221->a x ax 10当上式显然成立时,0=a200>a a a x x 1221->由4121<<x x 得 112≤-a a 解得10≤<a 300<a a a x x 1221-< 412≥-a a 得021<≤-a所以实数a 的取值范围是]1,21[-例2设函数f (x )＝x 2－2tx ＋2，其中t ∈R ．(1)若t ＝1，求函数f (x )在区间[0，4]上的取值范围；(2)若t ＝1，且对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f (x )≤5，求实数a 的取值范围．(3)若对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤8，求t 的取值范围．解 因为f (x )＝x 2－2tx ＋2＝(x －t )2＋2－t 2，所以f (x )在区间(－∞，t ]上单调减，在区间[t ，∞)上单调增，且对任意的x ∈R ，都有f (t ＋x )＝f (t －x )，(1)若t ＝1，则f (x )＝(x －1)2＋1．①当x ∈[0，1]时．f (x )单调减，从而最大值f (0)＝2，最小值f (1)＝1． 所以f (x )的取值范围为[1，2]；②当x ∈[1，4]时．f (x )单调增，从而最大值f (4)＝10，最小值f (1)＝1． 所以f (x )的取值范围为[1，10]；所以f (x )在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]． ……………………………3分(2)“对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f (x )≤5”等价于“在区间[a ，a ＋2]上，[f (x )]max≤5”．若t ＝1，则f (x )＝(x －1)2＋1，所以f (x )在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增． 当1≤a ＋1，即a ≥0时，由[f (x )]max ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＋1≤5，得－3≤a ≤1，从而 0≤a ≤1．当1＞a ＋1，即a ＜0时，由[f (x )]max ＝f (a )＝(a －1)2＋1≤5，得－1≤a ≤3，从而 －1≤a ＜0． 综上，a 的取值范围为区间[－1，1]． ……………………………6分(3)设函数f (x )在区间[0，4]上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤8”等价于“M －m ≤8”． ①当t ≤0时，M ＝f (4)＝18－8t ，m ＝f (0)＝2． 由M －m ＝18－8t －2＝16－8t ≤8，得t ≥1． 从而 t ∈∅．②当0＜t ≤2时，M ＝f (4)＝18－8t ，m ＝f (t )＝2－t 2．由M －m ＝18－8t －(2－t 2)＝t 2－8t ＋16＝(t －4)2≤8，得4－22≤t ≤4＋22．从而 4－22≤t ≤2．③当2＜t ≤4时，M ＝f (0)＝2，m ＝f (t )＝2－t 2． 由M －m ＝2－(2－t 2)＝t 2≤8，得－22≤t ≤22． 从而 2＜t ≤22．④当t ＞4时，M ＝f (0)＝2，m ＝f (4)＝18－8t ． 由M －m ＝2－(18－8t )＝8t －16≤8，得t ≤3． 从而 t ∈∅．综上，a 的取值范围为区间[4－22，22]． ……………………………10分例3已知()y f x =定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-．（1）求0x <时，()f x 的解析式；（2）问是否存在这样的正数,a b ，当[],x a b ∈时，()()g x f x =，且()g x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出所有的,a b 的值，若不存在，请说明理由． 18．解：（1）设0x <，则0x ->，于是()22f x x x -=--，又()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =--=+，即0x <时，()22f x x x =+；（2）分下述三种情况：①01a b <<≤，那么11a>，而当0x ≥时，()f x 的最大值为1，故此时不可能使()()g x f x =．②若01a b <<<，此时若()()g x f x =，则()g x 的最大值为()()111g f ==，得1a =，这与01a b <<<矛盾；③若1a b ≤<，因为1x ≥时，()f x 是单调减函数，此时若()()22g x f x x x ==-，于是有()()221212g b b b bg a a a a⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩()()()()22110110a a a b b b ⎧---=⎪⇔⎨---=⎪⎩，考虑到1a b ≤<，解得1a =，b =1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 例4已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，试确定实数m 的取值解：（22(1)()[(1)(1)]()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=+++-++=++与已知条件比较得：22,0a a b =⎧⎨+=⎩解之得，1,1a b =⎧⎨=-⎩又(0)1f c ==，2()1f x x x ∴=-+…………8分（2）212x x x m -+>+在]1,1⎡-⎣上恒成立 231x x m ∴-+>在]1,1⎡-⎣上恒成立令2()31g x x x =-+，则()g x 在]1,1⎡-⎣上单调递减∴min ()(1)1,1g x g m ==-∴<-．例5已知函数()()()2log 41,x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设函数()24log 23x g x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，其中0.a >若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围 解：（1）∵2()log (41)()x f x kx k =++∈R 是偶函数，∴2()log (41)()x f x kx f x --=+-=对任意x R ∈，恒成立 2分 即：22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，∴1k =- 5分 （2）由于0a >，所以24()log (2)3x g x a a =⋅-定义域为24(log ,)3+∞， 也就是满足423x >7分 ∵函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 即：方程414223x xx a a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 9分 令2,xt =则43t >，因而等价于关于t 的方程 24(1)103a t at ---=（*）在4(,)3+∞上只有一解 10分① 当1a =时，解得34(,)43t =-∉+∞，不合题意； 11分 ② 当01a <<时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =<- ∴函数24()(1)13h t a t at =---在(0,)+∞上递减，而(0)1h =- ∴方程（*）在4(,)3+∞无解 13分③ 当1a >时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =>- 所以，只需4()03h <，即1616(1)1099a a ---<，此恒成立 ∴此时a 的范围为1a > 15分 综上所述，所求a 的取值范围为1a > 16分巩固练1．定义在R 上的奇函数)(x f 有三个零点321,,x x x ，则下列关系中正确的是（B ） A ．0321>x x x B ．0321=x x x C ．0321<x x x D ．以上三种关系都可能成立 2．二次函数c bc ax x f ++=2)(是偶函数，它有两个零点21,x x ，则21x x +=0． 3．函数1log 2-=x y 的零点有（D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若函数m y x -=--12有零点，则实数m 的取值范围是]1,0(．5．已知函数12)(++=a ax x f ，当]1,1[-∈x 时，)(x f 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是311-<<-a ．6．已知关于x 的方程0532=+-a x x 的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，求实数a 的值．解：设a x x x f +-=53)(2，则0)3(,0)0(,0)2(><>-f f f 同时成立，解得012<<-a ．7.对于函数,)(2n mx x x f ++=若,0)(,0)(<>b f a f 则函数)(x f 在区间),(b a 内( ) A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点8.若函数在区间(2, 4)内有零点,则下列说法正确的是 ( D ) A. 在区间(2, 3)内有零点 B 在区间(3, 4)内有零点C. 在区间(2, 3)或(3, 4)内有零点D. 在区间(2, 3]或(3, 4)内有零点 9.函数132)(3+-=x x x f 的零点个数是 ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二次函数练习题 2012-5-31 班级_______ 姓名________1、在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致是( )2、二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则二次函数的关系式为（ ） A. y x x =--+222 B. y x x =-+222 C. y x x =-+221 D. y x x =--222 3、 方程01632=-+xx x 的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =，且经过点(30)P ，．则a b c ++的值为 ( )Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 5、“04<<-k ”是函数12--=kx kx y 恒为负的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）既不充分又不必要条件6、函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ）A ()()()110f f f <-<B ()()()011f f f <-<C ()()()101f f f <<-D ()()()101f f f -<< 7、已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞8、已知函数f(x)＝x 2+2(m-1)x+2m+6,若f(x)＝0有两个实根,且一个比2大,一个比2小,则m 的取值范围为( )A.(-∞,-1］B.(-∞,-1)C.(-1,+∞)D.［-1,+∞)二、填空题：9、b a ax x x f +++=222)(，当)(x f 在区间]1,(-∞上为减函数时，a 的取值范围为____________；若R x ∈时，恒有0)(≥x f ，则b 的取值范围是_______________；若)(x f 是偶函数时，则必有____________。
2013高考数学 解题方法攻略 导数求根 理
第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点第三课时用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例1】（2008江西卷， 文）已知函数()()4322411 043f x x ax a x a a =+-+> （Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）令()()()322220f x x x a x x x a x a '=+-=+-=，得12320x a x x a =-==，，．在0a >的已知条件下，()f x '及()f x 随x 的变化情况列表如下：x() 2a -∞-，2a - ()2 0a -， 0 ()0a ，a() a +∞，()f x '-+-+()f x减极小值增极大值增极小值减所以()f x 的递增区间为()2 0a -,与()a,+∞，()f x 的递减区间为()2,a -∞-与()0a ,．（Ⅱ）要研究函数()y f x =的图象与直线1y =的交点的情况,就要考虑函数()y f x =的极大值和极小值相对于1y =的位置.由（Ⅰ）得到()()4523f x f a a =-=-极小值，()()4712f x f a a ==极小值，()4f x f =极大值，由图可知，要使()f x 的图象与直线1y =恰有两个交点，只需(1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即44571312a a -<<;(2) 极大值小于1,即41a <，即a >01a <<． 【例2】（2008四川 卷,理）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）因为()2101af x x x'=+-+， 所以(3)61004af '=+-=．因此16a =． 当16a =时, ()()()224323116()210111x x x x f x x x x x -+--'=+-==+++, 由此可知,当()1,3x ∈时, ()f x 单调递减,当()3,x ∈+∞时, ()f x 单调递增,所以, 当16a =时, 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．于是, 16a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1)x ∈-+∞，， ()()231()1x x f x x --'=+．当(11)(3)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>， 当(13)x ∈，时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间是(11)(3)-+∞，，，，()f x 的单调减区间是(13)，．（Ⅲ）y b =与()y f x =的图象有3个交点；等价于()f x b =有3个实数根；即()0f x b -=有3个实数根；此时,函数()f x b -的图象与x 轴有3个不同交点，令()()()216ln 110x f x b x x x b ϕ=-=++--，则()()()2131621011x x x x x xϕ--'=+-=++()1x >-，。
二次函数解题方法总结
二次函数解题方法总结二次函数解题方法总结二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！1.求证“两线段相等”的问题：2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。
4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：(方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。
(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题：(1)点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
2013高考数学 解题方法攻略 解题建议 理
数学高考解题的六点建议我们对高考解题的基本建议是（6条）：明确解题过程；夯实解题基础；防止解题错误；掌握解题策略；精通三类题型；运用答题技术．（1）明确解题过程；（四步程序）①理解题意②思路探求③书写解答④回顾反思（2）夯实解题基础；（四个因素）①知识因素②能力因素③经验因素④情感因素（3）防止解题错误；（四种类型）①知识性错误②逻辑性错误③策略性错误④心理性错误．（4）掌握解题策略；（四个策略）①模式识别②差异分析③层次解决④数形结合（5）精通三类题型；①选择题②填空题③解答题（6）运用答题技术．①提前进入角色②迅速摸清“题情”③执行“三个循环”④做到“四先四后”（先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异）⑤答题“一慢一快”⑥立足中下题目，力争高上水平⑦立足一次成功，重视复查环节⑧运用解题策略于分段得分：●分解分步—缺步解答●引理思想—跳步解答●以退求进—退步解答●正难则反—倒步解答●扫清外围—辅助解答1 测试复习成果提供复习导向1-1 第一阶段复习要做到“四过关”（1）能准确理解书中的任一概念；（测试1，测试4）（2）能独立证明书中的每一定理；（测试1，测试2）●定理从两个方面提供重要方法；要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用．●潘承洞教授1979年出高考题，只出了一道题：“叙述并证明勾股定理”，得分不全国做对的人不到0．01（百里挑一），潘教授不敢承认是他出的；1981年考余弦定理呈两极态势；2010年四川高考证明两角和的余弦公式，50万考生做对的仅几百人（千里挑一），议论纷纷；2011年陕西考余弦定理，也是议论纷纷；2012年陕西考三垂线定理及逆定理没有议论了．（3）能熟练求解书中的所有例题；（4）能历数书中各单元的作业类型．（统计）（真正做到“四过关”可望高考得120分，得分率0．80）●课本类型统计1-2 第二阶段复习要抓住五个方向如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习、全面覆盖的话，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了．（1）第一阶段中的弱点；（2）教材体系中的重点；（3）高考试题中的热点；（4）中学数学的解题方法体系；（5）应试的技术:针对性、实用性、系列化．这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近．（这五个方面与近几年的高考题相结合，可望高考得130分，得分率0．86）1-3 “四过关”测试大家“四过关”没有呢？测试1：（是否形成良好的认知结构，脑子里有无思维路线图）例1-1闭上眼睛，你能回忆起几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！●文科必考内容：共20个知识板块，约260课时、180个知识点；●理科必考内容：共21个知识板块，约290课时、210个知识点．）例1-2 当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！（思维概念图）图1例1-3 对于sin α您能写出多少个等式？越多越好！（思维概念图）sin tan cos ααα== （同角关系）()()sin 2sin παπα=+=- （诱导公式）()()sin sin 23cos cos 223cos cos 22παπαππααππαα=-+=--⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos cos cos sin αβαββ-+= （和差倍半公式） =ββαβαsin cos cos )cos(-- =ββαβαcos cos cos )cos(--。
二次函数综合题解题方法
二次函数综合题解题方法
二次函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型。
解题方法的掌握对于学生来说至关重要。
下面我们就来详细介
绍一下二次函数综合题的解题方法。
首先，对于二次函数综合题，我们需要明确题目中所给出的条
件和要求，然后根据这些条件和要求建立方程。
在建立方程的过程中，我们需要注意将题目中的信息转化为数学语言，建立起方程与
未知数之间的关系。
其次，建立好方程后，我们需要利用二次函数的性质和解题方
法来解方程。
对于一元二次方程，我们可以利用配方法、公式法、
因式分解法等来求解方程，根据题目的要求来选择合适的方法进行
求解。
再次，解出方程后，我们需要对所求得的解进行验证，确保所
得的解符合题目的要求。
在验证的过程中，我们可以将所得的解代
入原方程中，检验是否满足方程的等式关系，从而确定解的正确性。
最后，我们需要对解题过程进行总结和归纳，总结解题的思路
和方法，归纳出解题的一般步骤和技巧。
这样可以帮助我们在以后遇到类似的题目时更加快速、准确地解题。
总的来说，二次函数综合题的解题方法主要包括建立方程、求解方程、验证解和总结归纳四个步骤。
通过对这些步骤的熟练掌握和实际应用，相信大家在解答二次函数综合题时会更加得心应手。
希望以上内容能够帮助到大家，祝大家学习进步！。
无锡新领航教育特供：2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题03 二次函数和指数函数
1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是( )
A．f(2)>f(0)>f(-2)
B．f(-2)＞f(2)＞(0)
C．f(0)＞f(-2)＞f(2)
D. f(-2)＞f(0)>f(2)
3设函数f(x)=ax2+bx+1(1，b∈R)．
(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．
综合，得t>1．
即满足条件t的取值范围是(1，+∞)
2．设函数f(x)=ax+3a(a＞0且a≠1)的反函数为y=f-1(x)，已知函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x)的图像关于点(a，0)对称．
(1)求函数y=g(x)的解析式；
(2)是否存在实数a，使当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f-1(x)-g(-x)|≤1成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
2．(2013模拟题精选)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0<x1<x2<1，使f > 恒成立的函数的个数是( )
A.0 B．1 C．2 D．3
3．(2013模拟题精选)若函数f(x)=lo ga(2x2+x)(a>0且a≠1)在区间(0, )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
(3)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
.
难点2三个“二次”的综合问题
1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，且a>0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，
数学二次函数压轴题解题技巧
数学二次函数压轴题解题技巧数学二次函数是中学数学中的一个重要内容，而在高考数学中，二次函数也是一个重要的考点。
二次函数在高考中的压轴题往往难度较大，需要学生具备扎实的数学知识和高超的解题技巧。
下面是一些解决二次函数压轴题的技巧。
1. 熟悉常见二次函数的形式和性质常见的二次函数包括：二次项系数为 1 的二次函数，即 y=x^2;二次项系数不为 1 的二次函数，即 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 为常数;以及二次函数的平移变换，即 y=x^2+bx+c(x-a)。
熟悉这些函数的形式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
2. 掌握求最值的方法在二次函数中，求最值是一个重要的问题。
常用的求最值方法包括：利用函数的导数求最值;利用二次函数的图像求最值;利用不等式求最值等。
其中，利用函数的导数求最值是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
3. 掌握求顶点的方法求顶点是解决二次函数压轴题的一个常用方法。
常用的求顶点的方法包括：利用函数的导数求顶点;利用二次函数的图像求顶点;利用对称轴求顶点等。
其中，利用函数的导数求顶点是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
4. 掌握求范围的方法在二次函数中，求范围也是一个重要的问题。
常用的求范围方法包括：利用函数的导数求范围;利用二次函数的图像求范围;利用不等式求范围等。
其中，利用函数的导数求范围是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
5. 利用图形结合数学方法解决问题在解决二次函数压轴题时，常常需要利用图形结合数学方法解决问题。
例如，可以利用图像的对称性质、周期性、平移变换等，帮助我们更好地理解和解决问题。
此外，还需要善于总结各种技巧和方法，熟练掌握各种解题套路，以应对各种可能出现的二次函数压轴题。
二次函数的解法
二次函数的解法一、知道三个点可设函数为y=ax^2+bx+c,把三个点代入式子得出三个方程,就能解出a、b、c 的值。
二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点可设函数为y=a(x-x?)(x-x?),把第一个交点的x值代入x1中,第二个交点的x值代入x2中,把另一点的值代入x、y中求出a。
三、使用韦达定理一元二次方程韦达定理一元二次方程即设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)两个根为X?和X?则X?+X?= -b/aX?·X?=c/a例:已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10),设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2四、牛顿插值公式y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式y=a x^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x?,0)和B (x?,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0]由一般式变为交点式的步骤:二次函数(16张)∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。
高中数学解题技巧之二次函数求解
高中数学解题技巧之二次函数求解在高中数学中，二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的求解技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍二次函数求解的相关技巧，并通过具体的例题进行分析和说明，帮助高中学生和他们的家长更好地理解和应用这些技巧。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在求解二次函数时，我们需要关注以下几个方面的内容。
1. 求解二次函数的根二次函数的根即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解。
求解二次函数的根可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法。
例如，考虑二次函数y = x^2 - 3x + 2，我们可以通过因式分解的方法进行求解。
首先，将二次函数改写为：(x - 1)(x - 2) = 0。
由此可得，x - 1 = 0 或 x - 2 = 0，即x = 1 或 x = 2。
因此，二次函数y = x^2 - 3x + 2的根为x = 1和x = 2。
2. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，也是函数的极值点。
求解二次函数的顶点可以使用平移变换或求导数等方法。
例如，考虑二次函数y = x^2 - 4x + 3，我们可以通过平移变换的方法进行求解。
首先，将二次函数改写为：y = (x - 2)^2 - 1。
由此可得，顶点坐标为(2, -1)。
因此，二次函数y = x^2 - 4x + 3的顶点为(2, -1)。
二、二次函数求解技巧举例下面我们通过几个具体的例题来进一步说明二次函数求解的技巧。
例题1：求解二次函数y = x^2 - 6x + 8的根。
解析：我们可以使用因式分解的方法进行求解。
首先，将二次函数改写为：(x - 2)(x - 4) = 0。
由此可得，x - 2 = 0 或 x - 4 = 0，即x = 2 或 x = 4。
因此，二次函数y = x^2 - 6x + 8的根为x = 2和x = 4。
2013高考数学 解题方法攻略 思想方法 理
数学思想方法
知识网络构建
考情分析预测
数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括，数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁．
高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是充分利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写出解答过程)，
突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由“形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化等．
纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．预测2011年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．
第19讲函数与方程思想
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高考数学复习考点知识与结论专题讲解9 二次函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。
【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。
若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟 【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。
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(2)由于 ，当 ∈[1,2]时，
10 即
20 即
30 即 时
综上可得
(3) 在区间[1,2]上任取 、 ，且
则
(*)
∵ ∴
∴(*)可转化为 对任意 、
即
10当
20 由 得 解得
30 得
所以实数 的取值范围是
例2设函数f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．
①当t≤0时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．
从而t∈．
②当0＜t≤2时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2．
由M－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得
4－2 ≤t≤4＋2 ．
从而4－2 ≤t≤2．
－3≤a≤1，
从而0≤a≤1．
当1＞a＋1，即a＜0时，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)2＋1≤5，得
－1≤a≤3，
从而－1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[－1，1]．……………………………6分
(3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等价于“M－m≤8”．
(2)“对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5”．
若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增．
当1≤a＋1，即a≥0时，
由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得
，考虑到 ，解得 ， ，综上所述
例4已知二次函数 满足条件 ，及 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）在区间 上， 的图像恒在 的图像上方，试确定实数 的取值范围；
解：（1）令
∴二次函数图像的对称轴为 ．∴可令二次函数的解析式为 ．
由
∴二次函数的解析式为
另解：⑴设 ，则
与已知条件比较得： 解之得， 又 ，
方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若 ，则 ；
， ， .
(2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， .
8.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根.
设 ，则
（1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ；
（2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ；
（3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(1)若t＝1，则f(x)＝(x－1)2＋1．
①当x∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范围为[1，10]；
所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．……………………………3分
③当2＜t≤4时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．
由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－2 ≤t≤2 ．
从而2＜t≤2 ．
④当t＞4时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．
从而t∈．
综上，a的取值范围为区间[4－2 ，2 ]．……………………………10分
…………8分
（2） 在 上恒成立 在 上恒成立
令 ，则 在 上单调递减
∴ ．
例5已知函数 是偶函数.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，其中 若函数 与 的图象有且只有一个交点，求 的取值范围
解：（1）∵ 是偶函数，
∴ 对任意 ，恒成立2分
(1)若t＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；
(2)若t＝1，且对任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范围．
解因为f(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在区间(－∞，t]上单调减，在区间[t，∞)上单调增，且对任意的x∈R，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
例3已知 定义在 上的奇函数，当 时， ．
（1）求 时， 的解析式；
（2）问是否存在这样的正数 ，当 时， ，且 的值域为 ？若存在，求出所有的 的值，若不存在，请说明理由．
18．解：（1）设 ，则 ，于是 ，又 为奇函数，所以
，即 时， ；
（2）分下述三种情况：① ，那么 ，而当 时， 的最大值为1，故此时不可能使 ．②若 ，此时若 ，则 的最大值为 ，得 ，这与 矛盾；③若 ，因为 时， 是单调减函数，此时若 ，于是有
2013高考理科数学解题方法攻略—二次函数3
（4）方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且
若 ， ，显然在 上没有零点，所以
令 得
当 时， 恰有一个零点在 上；
当 即 时， 也恰有一个零点在 上；
当 在 上有两个零点时，则
或
解得 或
因此 的取值范围是 或 ；
二次函数专题
1、两根 小于2，求a的取值范围a<1
2、两根 大于2，求a的取值范围
3、两根一个比2大，一个比2小，求a的取值范围a>1
4、两根在（-2，3）内，求a的取值范围
5、两根 ，求a的取值范围-1<a<1
6、有且只有一个实根在（-2，1）内，求a的取值范围
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
例1已知函数 （ 为实常数），
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式；
（3）设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值