北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 第一节等腰三角形(无答案)

等腰三角形知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;
3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB ＝∠ADC ＝90°，AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理
1802
A ︒-∠
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1）假定命题的结论不成立；
（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
典型例题
考点1：利用等腰三角形的性质求角
例1、（1）在△ABC中，AB=AC,若∠A=50°，求∠B;
（2）若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
（3）若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数；
变式：如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
考点2：利用“等边对等角”进行推理证明
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P。

求证：PD=PE；
变式：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

求△ABC各角的度数.
考点3、利用“三线合一”解决有关线段和角的问题
例3、如图，在△
ABC中，AB =AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF ⊥AB，垂足为F。

（1）若∠BAD=25°,求∠C的度数；
（2）求证：EF=ED.
变式：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE
考点4：创造“三线合一”的基本图形解决相关问题（高频考点）
例4：如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M，求证：CM=MD．
变式：如图,已知点D. E为△ABC的边BC上两点.AD=AE,BD=CE,为了判断∠B与∠C的大小关系,请你填空完成下面的推理过程,并在空白括号内注明推理的依据。

过点A作AH⊥BC，垂足为H.
∵在△ADE中,AD=AE(已知)
AH⊥BC(所作)
∴DH=EH(等腰三角形底边上的高也是底边上的中线)
又∵BD=CE(已知)
∴BD+DH=CE+EH(等式的性质)
即：BH=___
又∵___(所作)
∴AH为线段___的垂直平分线
∴AB=AC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴___(等边对等角)
考点5
、利用等腰三角形的特殊性质进行证明
例5、求证：等腰三角形两腰上的中线相等。

考点6、利用等边三角形的性质解决有关的问题
例6、如图在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，计算△DEF各个内角的度数。

变式：已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

考点7：利用等边三角形性质解决有关线段的问题（高频考点）
例7：已知:如图所示,在等边三角形ABC的边AC上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证BD=DE.
考点8、利用等边三角形的定义和性质证明等边三角形
例8、如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证，△DEF是等边三角形．
考点9、利用等腰三角形判定定理证明等腰三角形
例9、如图△ABC中P是BC边上一点过点P作BC的垂线交AB于点Q 交CA的延长线于点R 若AQ=AR 则△ABC是等腰三角形吗,说明理由.
考点10、利用等腰三角形判定定理证明线段间关系（高频考点）
例10、如图所示,△ABC中,∠ABC、∠CAB的平分线交于点P,过点P作DE平行AB,分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE
变式：如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
考点11、利用等腰三角形的性质与判定进行证明
例11、已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，过D点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE=CF．求证：DE=DF．
考点12、利用反证法的一般步骤进行设计
例12、用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为
变式：下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）
A . a= -2
B . a= -1
C . a=1 D. a=2
考点13、利用反证法进行证明
例13、用反证法证明：两条直线相交只有一个交点
变式：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

考点14、利用判定定理1判定三角形是等边三角形
例14、如图所示，在等边三角形ABC中，∠ABC、和∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，连接OE,OF.求证：△OEF是等边三角形。

变式：如图，D、E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=120°.求证：△ADE是等边三角形.
考点15、利用判定定理2判定三角形是等边三角形
例15、如图：在△EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC．试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
考点16：利用含30°的直角三角形的性质计算有关的线段或角（高频考点）
例16：在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E.若DE=1,求BC的长.
变式：如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
考点17、利用含30°的直角三角形的性质证明线段的倍分问题
例17、如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且AE=CD ，BE 与 AD 相交于点P ，BQ ⊥AD 于点Q.求证：PQ=2
1BP
变式: 如图,在△ABC,∠ACB=90°，CD 、CE 三等分∠ACB，CD⊥AB， 求证：(1)AB=2BC;(2)CE=AE=EB.。