复变函数积分的概念与性质

复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
第3章 复变函数的积分
1 复变函数积分的概念和性质 2 柯西积分定理及其应用 3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 4 解析函数与调和函数的关系
复习
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
b
n
a
f ( x )dx lim n i1
f ( i )xi
n
L
f (x, y)ds lim n i1
f (i ,i )si
n
n
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
lim[
n
i 1
P(i ,i )xi
i 1
Q(i ,i )yi ]
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数积分的概念和性质
一、 定义------化整为零,取零为整
设在复平面C上有一条连接 z0 及Z两点的简单曲线C。
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及 v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
把曲线C用分z点0 , z1, z2 ,..., zn1, zn 分z成n个更小的弧，
在这里分点 zn z 在曲线C上, zk (k 0,1,2,...,n)
按从 z0到Z的次序排列的。
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Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是zk 1到 z k 的弧上任意一点，那么下列和式
的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
zk zk zk 1
n1
lim
n k 1
f ( k )zk
C
f (z)dz
z1
zk 1
k
zn Z
zn1
zk
C
z0
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Complex Analysis and Integral Transform
与实函数中第二型线积分类比
C的参数方程
x
y
x y
t t
t
线积分
r F
x,
y
M
x,
y
r i
N
x,
y
r j
drr
r dxi
r dyj
c
r F
gdrr
c Mdx
Ndy
F
x
t
,
y
t
grr
t
dt
c
B
x
drr , y
dz
dy
dx
Ax , y
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Complex Analysis and Integral Transform
复积分
f z u x, y iv x, y
z x iy , dz dx idy
c f z dz c u iv dx idy 一个复积分的实质是
两个实二型线积分
c udx vdy ic vdx udy
f x t , y t zt dt
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二、积分存在的条件及其计算方法
1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时， 积分是一定存在的。
2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
c f z dz cudx vdy icvdx udy
3)化为参变量的定积分来计算。
c
f z dz t t
f
z t zt dt
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r 例1 计算
c z
dz
z0 n1 ,
其中 C
为以
z
为圆心，
0
为半径的正向圆周, n 为整数.
解：C的参数方程为z
z0
rei , 0
2 ,
1 2
dz
c z z0 n1
2 0
irei r n1ein1
d
2 0
r
n
i e
in
d
i rn
2 ein d
0
Ñ 因此
dz
2 i, n 0,
c z z0 n1
0, n 0,
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三、积分的性质
（1） c
f
z dz
c
f
zdz;
（2） c k f z dz k c f z dz （3）c f z g z dz c f z dz c g z dz;
（4） f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C1 C2
C1
C2
（5）c f z dz c f zds ML
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例2
计算
zdz
c
的值，其中 C 为沿从（0，0）到
（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段
所连结成的折线。
解 :
zdz zdz zdz
c
c1
c2
1
xdx
1
(1 iy)d (1
iy)
1
(1
i)
1
i
0
0
22
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Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算 zdz 的值，其中 C 为沿 c x t, y t,0 t 1; 从（0，0）到
（1，1）的线段：
解:
zdz
c
1t it1 idt
0
1
2tdt
0
1;
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例4
计算
zdz,
c
其中
C 为从原点到点
3 4i 的直
线段。
解 直线的方程可写成
x 3t, y 4t,0 t 1
zdz
13 4i2tdt 3 4i2
1
tdt
1
3 4i2
t2
1
1 3 4i2
c
0
0
2
02
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练习:对例4中的积分沿下列路径计算 (1) 当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到
点(3,4)的折线; (2) 当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到
点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?
观察例3、例4两个线积分的结果，分析两种 被积函数的特征，你会得出怎样的结论？