L平行线的判定和性质
平行线的性质 课件(共22张PPT)
3
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）,
∵∠1=∠3（对顶角相等）,
∴∠1=∠2（等量代换）.
你发现了什么？
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简写成：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
如图，直线a∥b,直线a、b被直线c所截
试一试
翻开你的数学练习横格本，每一页上都有许多如图所示的互 相平行的横线条，随意画一条斜线与这些横线条相交， 找出其中 任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角，你有什么发现？
∠1＝∠2
那么，一般情况下，如图，如果直线a与直线b平行，直线l与 直线a、b分别交于点O和点P，其中的同位角∠1与∠2也必定相等吗？
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
课堂小结
知识点 平行线的性质
1.两直线平行,同位角 相等 . 2.两直线平行,内错角 相等 . 3.两直线平行,同旁内角 互补 .
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度？为什么？
(3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度？为什么？B
D
解：（1）∠2=110o 理由：两直线平行，内错角相等；
（2）∠3=110o 理由：两直线平行,同位角相等；
（3）∠4=70o 理由：两直线平行,同旁内角互补.
C 2E 43
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( B )
例3 将如左图所示的方格图中的图形向右平行移动4格，再向上 平行移动3格，画出平行移动后的图形.
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
平行线与角的性质及判定条件
平行线与角的性质及判定条件平行线与角是几何学中经常出现的概念，它们有着重要的性质和判定条件。
本文将从不同角度探讨平行线和角的性质，并介绍一些常用的判定条件。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不相交的直线。
平行线有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的对应角是相等的。
这个性质可以通过反证法来证明：假设对应角不相等，即存在两个对应角不相等，那么这两条线必然会相交，与平行线的定义相矛盾。
2. 平行线的内错角互补：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的内错角互补，即它们的和等于180度。
这个性质同样可以通过反证法来证明：假设内错角不互补，即存在两个内错角的和不等于180度，那么这两条线必然会相交，与平行线的定义相矛盾。
3. 平行线的外错角相等：当两条平行线被一条横截线所切割时，所形成的外错角是相等的。
这个性质可以通过对应角相等性质的推论来证明。
二、角的性质角是由两条射线共同起点所围成的部分，它有以下几个重要的性质：1. 角的度量：角的度量用角度来表示，常用度（°）作为单位。
一个完整的角度是360度，一个直角是90度，一个平角是180度。
2. 角的分类：根据角的度量，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的度量小于90度，直角的度量等于90度，钝角的度量大于90度，平角的度量等于180度。
3. 角的补角和余角：两个角互为补角，当它们的和等于90度；两个角互为余角，当它们的和等于180度。
三、平行线和角的判定条件在几何学中，我们常常需要判定两条线是否平行，或者判定一个角是否满足某种性质。
以下是一些常用的平行线和角的判定条件：1. 平行线的判定条件：有三种常用的判定条件。
第一种是通过直线与另外两条平行线的交点角度相等来判定，即如果两条直线分别与两条平行线的交点角度相等，则这两条直线也是平行的。
第二种是通过平行线的性质来判定，即如果两条直线分别与一条平行线的对应角相等，则这两条直线也是平行的。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中的基本概念，在平面几何的研究中起着重要的作用。
本文将从性质和判定两个方面介绍平行线和垂直线的特点和判断方法。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上两条直线永远不会相交的直线。
它们具有以下性质：1. 同向性质：平行线在同一平面上，方向相同且不会相交。
2. 等距离性质：平行线之间的任意两条线段均相等。
3. 夹角性质：平行线与横截线之间的夹角相等。
二、平行线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，若两条直线与另一直线的夹角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 反证法：假设两条直线不平行，可以通过找到一个与这两条直线交汇的第三条直线形成一个三角形，利用角的性质证明两条直线是平行的。
3. 斜率法：两条直线平行时，它们的斜率相等。
根据这个性质，可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
三、垂直线的性质垂直线是指在平面几何中与另一直线的夹角为90度的直线。
垂直线具有以下性质：1. 相交性质：垂直线与另一条直线相交，形成直角。
2. 互逆性质：两条垂直线互为对方的垂直线。
3. 斜率性质：两条直线垂直时，它们的斜率之乘积为-1。
四、垂直线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，如果两个夹角的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 互逆法：如果两条直线互为对方的斜率的倒数，则这两条直线垂直。
3. 斜率法：若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线垂直。
结论通过对平行线和垂直线的性质和判定方法的介绍，我们可以更好地理解平面几何中的基本概念和关系。
掌握这些知识，可以帮助我们在解题过程中更加准确和便捷地判断线之间的关系，进而解决相关问题。
在实际生活中，平行线和垂直线的性质也广泛应用于建筑、工程等领域。
因此，对于平行线和垂直线的性质和判定方法的学习具有重要的意义。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1．下列说法正确的是()A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行线的性质与判定
A
G
D
例题赏析 例2、如图，已知AB∥CD, ∠BAE=45°， ∠D=∠C,你能求出∠D 、∠C 、 ∠B的度数吗？
E
解： ∵AB∥CD (已知）
A
B
∴∠BAE=∠D
(两直线平行
同位角相等）
同旁内角互补） D
C
∴∠B+ ∠C =180°(两直线平行 ∵∠BAE=45°（已知） ∴ ∠D = 45° ∵ ∠D=∠C （等量代换） （已知）
一、平行线的判定方法：
•同位角相等，两直线平行； •内错角相等，两直线平行； •同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平 行 同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行。
4 3 8 5 7 6 2
1
a
b
二、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
证明：∵ ∠1=∠ACB（已知）
B 3
A 1 E
2
F平行） ∴ ∠2 =∠DCF（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠3 =∠DCF（等量代换） ∴ CD∥FH（同位角相等，两直线平行）
6.如图已知AD∥BC,且DC⊥AD于D.
(1)DC与BC有怎样的位置关系？说说你的理由。 (2)你能说明∠1+∠2=180°吗？ A 1 解：（1）∵ DC⊥AD于D(已知)
E
F B ∴ AB∥DC (同位角相等，两直线平行)
C
达标检测
1、如图，能判定DE∥BC的条件是（ D） A、∠C=∠DAB B、∠C=∠FAE
C、∠C+∠FAD=180° D、∠C=∠EAC
D
第五章 平行线的判定和性质
第五章平行线的判定和性质--专题(2)一知识要点：1、平行线的概念：（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。
（2）同一平面内两条直线的位置关系有两种 1.相交;2.平行2、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行【平行于同一条直线的两条直线平行】3.平行线的判定方法（1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
【同位角相等，两直线平行。
】（2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
【内错角相等，两直线平行。
】（3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
【同旁内角互补,两直线平行。
】（4）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
4.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 【两直线平行，同位角相等.】性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 【两直线平行，内错角相等.】性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 【两直线平行，同旁内角互补.】5.命题（1）定义：判断一件事情的语句叫做命题。
（2）命题的组成：命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。
（3）.命题书写形式：命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
（4）真假命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
6. .公理与定理：（1）数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
（2）有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并7.证明：⑴定义：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质平行线是几何中一个非常基本的概念，它在数学的研究和应用中具有重要的地位。
通过判定两条直线是否平行，我们可以深入了解平行线的性质和特点。
本文将介绍平行线的判定方法和相关性质。
一、平行线的判定1. 直线与直线的判定给定两条直线L₁和L₂，要判定它们是否平行，有以下几种方法：a) 角度判定法：如果两条直线的锐角、直角或钝角相等，那么它们是平行线。
b) 垂直判定法：如果一条直线与第二条直线的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行线。
c) 斜率判定法：如果两条直线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 直线与平面的判定给定一条直线L和一个平面P，要判定直线和平面是否平行，有以下几种方法：a) 垂直判定法：如果直线L和平面P的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行的。
b) 法线判定法：如果一条直线与平面的法线平行，那么它们是平行的。
二、平行线的性质平行线具有以下重要性质：1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上不相交且不同于的两条直线。
2. 平行线与平移平行线之间可以进行平移变换，即将一条平行线沿着与之平行的方向平移，得到的仍然是一条平行线。
3. 平行线的夹角平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交点。
4. 平行线的性质a) 平行线具有传递性：如果直线L₁与直线L₂平行，直线L₂与直线L₃平行，则直线L₁与直线L₃也平行。
b) 平行线与截线：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线所截线段的比例相等。
c) 平行线与转角：如果两条直线与平行线相交，它们所成转角相等。
d) 平行线与干涉线：如果两组平行线相互交错，即一组平行线与另一组平行线交叉相交，所交干涉线与平行线相交产生的内、外交角相等。
5. 平行线与平行四边形平行线所围成的四边形称为平行四边形。
平行四边形具有以下性质：a) 对边平行：平行四边形的对边都是平行线。
b) 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。
c) 同底角对顶角相等：平行四边形的同底角对顶角相等。
数学平行线的概念和性质
在空间中，两条永不相交的直线称为 平行线。
平行线性质
空间中平行线具有传递性、同位角相 等、内错角相等、同旁内角互补等性 质，此外还具有垂直于同一平面的性 质。
02
平行线的性质
传递性
总结词
平行线的传递性是指，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行。
详细描述
这是平行线的基本性质之一。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 直线之间不会相交，因此它们也互相平行。这个性质在几何证明中经常被使用， 是平行线的一个重要性质。
位长度内y轴的变化量。
斜率公式
对于直线$y = mx + b$，其斜率 为m。当m>0时，直线从左下到 右上倾斜；当m<0时，直线从左 上到右下倾斜；当m=0时，直线 垂直于x轴。
平行线斜率关系
两直线平行时，它们的斜率相等。 即如果直线$y=mx+b$与直线 $y=n(x-h)+k$平行，那么m=n。
详细描述
这也是平行线的一个重要性质。当两条直线平行时，如果它 们被一条横截线所截，那么在这两条直线上分别形成的内错 角是相等的。这个性质在几何证明中经常被使用，是平行线 的一个重要性质。
同旁内角互补
总结词
同旁内角互补是指两条平行线被一条横截线所截，它们所形成的同旁内角是互补的。
详细描述
这是平行线的另一个重要性质。当两条直线平行时，如果它们被一条横截线所截，那么在这两条直线上分别形成 的同旁内角是互补的，也就是说它们的角度和为180度。这个性质在几何证明中经常被使用，是平行线的一个重 要性质。
数学解题中的平行线应用
几何证明
在几何证明中，平行线是 常用的工具，用于证明角 相等、线段相等、平行四 边形等几何性质。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中重要的概念，它们在许多几何问题的解决中起着关键作用。
了解平行线与垂直线的性质和判定方法，有助于我们理解和解决与它们相关的几何问题。
本文将介绍平行线和垂直线的性质以及常用的判定方法，并结合示例进行说明。
1. 平行线的性质与判定平行线是指在同一平面上永不相交的两条直线。
以下是平行线的主要性质和判定方法：性质1：平行线的对应角相等。
当两条平行线被一条第三线（称为横线）所切割时，同位角和内错角相等。
性质2：平行线的同位角内错角互补。
同位角是指两条平行线被横线所切割，且同侧的内角；内错角是指两条平行线被横线所切割，且在两条平行线之间的角。
同位角之和等于180°，内错角之和也等于180°。
判定方法1：同位角相等法。
如果两条直线上的一对同位角相等，则这两条直线是平行线。
判定方法2：内错角互补法。
如果两条直线上的一对内错角互补，则这两条直线是平行线。
示例：已知直线AB和直线CD分别与直线EF相交于点P和点Q，若∠APQ=∠BPQ，则可得出结论：直线AB与直线CD平行。
2. 垂直线的性质与判定垂直线是指两条直线之间的夹角为90°的线。
以下是垂直线的主要性质和判定方法：性质1：垂直线的夹角为90°。
当两条直线相交，且相交的角度为90°时，这两条直线是垂直线。
性质2：垂直线的斜率乘积为-1。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线是垂直线。
判定方法1：角度法。
如果两条直线相交的角度为90°，则这两条直线是垂直线。
判定方法2：斜率法。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线是垂直线。
示例：已知直线AB与直线CD相交于点O，若∠BOC=90°，则可得出结论：直线AB与直线CD垂直。
总结：通过对平行线和垂直线的性质和判定方法的学习，我们可以更好地理解和解决与它们相关的几何问题。
对于平行线的判定，可以利用同位角相等法和内错角互补法；对于垂直线的判定，则可以使用角度法和斜率法。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质一、平行线的判定与性质的关系平行线的识别与性质，有不少同学由于刚刚接触，往往对其识别与性质容易混淆。
下面，咱们就从它们的意义和作用上进行辨析。
1、从意义上看平行线的识别就是要“判定”两条直线平行或不平行，也就是说从已知角相等（或角互补）的关系出发，推出两直线平行这一结论；而平行线的性质是在两直线平行的已知条件下得出角相等或互补的结论。
2、从作用上看平行线的识别是判断两条直线平行的依据，而平行线的性质是作为判断“两个同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”等的依据。
二者所用文字完全相同，差别就是在于前后两句话的顺序的颠倒，而这个颠倒正是它们之间的本质区别。
所以，我们在学习中要注意两者的因果关系。
二、解决平行线问题的方法在解决有关平行线的问题中，我们可从下面几个方面入手.1．寻找基本图形在一个图形中有两组以上的平行线,先根据每一组平行线探索其中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系.2.构造基本图形当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过适当的辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题.3. 综合运用平行线的特征与平行的条件图3平行线的特征与平行的条件的综合运用,是解决与平行线有关的问题的常用方法.先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等（或互补），再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系.然后再由“数”到“形”得到一组新的平行.三、借助辅助线解决问题1．在解题过程中，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。
添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。
添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线. 本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.2．学习了平行线的特征，我们可以根据特征来解决一些与角度的计算以及探索角度关系的问题，但有一类问题不能根据已知条件直接求出角的度数或找到角的关系．需要先适当地引平行线，然后综合借助平行线的特征求解。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
知识卡片-平行线的判定与性质
平行线的判定与性质能量储备平行线的判定和性质的区别与联系平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”．通关宝典★ 基础方法点方法点1.平行线的判定和性质的综合运用综合分析法：对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要有哪些条件，再结合已知条件进行推证，看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合，找到解题思路，写出证明过程．例1：如图所示，已知∠BAE ＋∠AED ＝180°，AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC.求证：∠M ＝∠N.分析：要证∠M ＝∠N, 根据两直线平行，内错角相等需要证AM ∥EN ；要证AM ∥EN ，根据内错角相等，两直线平行需要证∠EAM ＝∠AEN ；要证∠EAM ＝∠AEN ，条件中AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，所以只需要证∠BAE ＝∠AEC ；要证∠BAE ＝∠AEC ，根据两直线平行，内错角相等需要证AB ∥CD ，因为∠BAE ＋∠AED ＝180°，所以AB ∥CD 得证．证明：∵ ∠BAE ＋∠AED ＝180°，∴ AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，∴ ∠BAE ＝∠AEC (两直线平行，内错角相等)．∵ AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，∴ ∠EAM ＝12∠BAE ，∠AEN ＝12∠AEC ， ∴ ∠EAM ＝∠AEN (等量代换)，∴ AM ∥EN (内错角相等，两直线平行)，∴ ∠M ＝∠N (两直线平行，内错角相等)．方法点2.利用平行线的性质和判定解决生活实际问题例1：如图所示，MN ，EF 表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜面MN 上，反射光线为BC ，此时∠1＝∠2；光线BC 经过镜面EF 反射后的光线为CD ，此时∠3＝∠4.试判断入射光线AB 与反射光线CD 的位置关系，并说明理由．解：AB∥CD.理由：∵ MN∥EF，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，∴∠ABC＝∠BCD，∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．★★易混易误点1.混淆平行线的判定和性质例1：如图:所示，已知∠1＝∠A，∠2＝40°，则∠3＝________.解析：∵∠1＝∠A，∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠2＝40°(两直线平行，内错角相等)．答案：40°蓄势待发考前攻略平行线的判定方法常与平行线的性质综合命题，有一定难度．完胜关卡。
平行线的判定与性质(含答案)-
22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。
当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角 已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线 已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。
解：3个 提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。
解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。
解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。
初中数学知识归纳平行线的性质与判定
初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。
平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。
本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。
一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。
同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。
例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。
根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。
2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。
内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。
例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。
根据内错角性质，可知∠A = ∠B。
3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。
同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。
例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。
根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。
二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。
例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。
2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。
例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。
3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。
平行线的判定、性质公理及定理
你有几种方法。
1.如图 6-21,已知Z B =142平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2. 两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角 例1.如下图，当/1= /时，直线a 、b 平行吗？当/ 2+ / 3=180 °时，直线a b 平行吗？为什么?例2 •请将下面的空补充完整1. ___________________________ 如右图，若/ 1= / 2，则 ____________________________________ // _______若/ 3= Z 4,则 _______________ // ___________ ( 若/ 5= /B ,贝U __________ / _____________ ( 若 / D + Z DAB =180 ° , 贝U __( )2.如右图，Z 1+ Z 2=180。
(已知)Z 3+ Z 2=180 °()/•Z 1= _________••• AB // CD ()课堂练习：,启FE =38 ° , ZEFD =40 ° , ZD=1402.已知，如下图(1), (2),直线AB // ED . 求证：ZABC +Z CDE =Z BCD .求证：AB // C D .3.如图，如果AB// CD,求角(1) ( 2)4.如图，已知CD是/ ACB的平分线，/求：/ EDC和 / BDC的度数。
ACB = 50 / B = 7C°, DE // BC,达标训练：一•选择题1 .下列命题中，不正确的是(A .两条直线被第三条直线所截，B .两条直线被第三条直线所截，C.两条直线被第三条直线所截，)如果同位角相等，那么这两条直线平行如果同旁内角互补，那么这两条直线平行那么这两条直线平行D .如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2. 如右图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：(1) Z 1= Z 2,其中能判定a//A. (1)(3)3. 如右图，如果ZA . AD // BC C.Z 3= Z4(2) / 3= / 6, (3) / 4+ / 7=180b的条件是()B.⑵⑷C. (1)(3)(4) D .1= / 2，那么下面结论正确的是(B. AB / CDD. Z A=Z C(,(4) Z 5+ Z(1)⑵⑶⑷))8=1804 .一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来) 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(A.第一次向右拐40 °，第二次向左拐40 °B.第- 次向右拐50 °，第二次向左拐130C.第- 次向右拐50 °，第二次向右拐130D.第一次向左拐50 °，第二次向左拐130填空题o o o求证.AB / CD .5.如右图，/ 1= / 2= / 3，则直线、12、l a 的关系是 ______________6•如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3 : 2，差为36。
平行线与垂直线的性质与判定方法
平行线与垂直线的性质与判定方法平行线与垂直线是几何学中常见的概念，它们在许多数学问题和实际情境中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质，并说明它们的判定方法。
一、平行线的性质1.定义：平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
记作∥。
2.性质1：平行线上的任意两点与另一直线的交点的连线，与平行线上的任意两点与该直线的交点的连线相交于同一直线上。
3.性质2：平行线与同一条直线的两条相交线段的比例相等。
4.性质3：平行线的错位角、内错角、同旁内角和同旁外角相等。
二、垂直线的性质1.定义：垂直线是与另一条直线形成直角的线段。
记作⊥。
2.性质1：垂直线与同一条直线的两条相交线段的乘积相等。
3.性质2：垂直线的错位角互补，即错位角的和为180°。
4.性质3：垂直线的内错角互补，即内错角的和为180°。
三、平行线的判定方法1.方法1：同位角相等法。
若两条直线被一条横截线所截，且截线上的同位角相等，那么这两条直线是平行线。
2.方法2：平行线与传统几何图形的关系法。
在平行线与其他几何图形（如矩形、正方形等）相交的条件下，可以判定出平行线的存在。
3.方法3：斜率法。
若两条直线的斜率相等且不为无穷大，则这两条直线是平行的。
四、垂直线的判定方法1.方法1：垂直线的定义法。
两条直线的斜率相乘为-1时，它们是互为垂直的。
2.方法2：对称法。
若两条直线关于某点对称且这条直线垂直于另一条直线，那么这两条直线是垂直的。
3.方法3：垂直线与传统几何图形的关系法。
在垂直线与其他几何图形（如正方形、直角三角形等）相交的条件下，可以判定出垂直线的存在。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
学好这些性质和方法，对于解决相关的数学问题和实际生活中的空间关系具有重要的指导意义。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和应用平行线与垂直线的性质与判定方法。
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平行线的判定和性质
一、 填空
1、两条直线被第三条直线所截，则 。
A 、同位角相等
B 、内错角相等
C 、同旁内角互补
D 、以上结论都不对。
2、a 、b 、c 是同一平面内的三条不同直线，下列说法不正确的是 。
A 、若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； B 、若a ⊥b ，b ∥c ，则a ⊥c ； C 、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； D 、若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 3．如图1，填空并在括号中填理由：
（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）
4．如图2，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 5．如图3，尽可能地写出能判定AB ∥CD 的条件来： ． 6.汽车原来向北偏西50°方向行进,先向右拐30°，再向左拐30°，两次拐弯后汽车向 方向行进。
7.如图4,已知∠1=∠2,∠BAD=∠BCD,下列结论正确的有 。
A.AB ∥CD ； B.AD ∥CB ；C.∠B=∠D ； D.∠ACD=∠D
8.同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则直线c 、d 的位置关系为（ ）
A ．互相垂直
B ．互相平行
C ．相交
D ．无法确定 9.如图，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ）
A ．∠1+∠2=180°
B ．∠2+∠3=180°
C ．∠3+∠4=180°
D ．∠2+∠4=180° 10.∠1=50°，∠2的两边分别与∠1的两边平行，则∠2= 。
11.∠1=50°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2= 。
12.如图5，已知AB ∥CD ，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为 。
A
D C
B
O
图1
图2
5 1 2
4
3 l 1 l 2
图3
5
4 3
2 1 A D C B
图4
13.如图6，若AB∥CD，则图中相等的同位角有。
相等的内错角有，互补的同旁内角有。
14.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向和角度可能是。
A、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
B、第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C、第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
D、第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
15.如图，已知AE、CE分别是∠BAC，∠ACD的平分线，
并且∠1+∠2=90°，求证：AB∥CD
16.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，求证：AE⊥CE
17.如图，CD⊥BD于D，∠1+∠2=90°，求证：AB∥EF
18.如图，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME 。
求证：AB ∥CD ，MP ∥NQ ．
19.已知：如图：∠AHF ＋∠FMD ＝180°，GH 平分∠AHM ，MN 平分∠DMH 。
求证：GH ∥MN 。
20.如图，把一块长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若∠EFG=40°，求∠DEG ，∠EGF 的度数。
F
2
A B C
D
Q
E 1
P
M
N
21.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．
22.如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证：DB∥CE
23.如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，试说明AB∥EF
24.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C是多少度？说明你的理由．。