空气动力学大作业

题目
已知燃烧室总压07
P MPa
=
，总温02900
T K
=
，燃气比热比 1.15
k=，燃气气体常
数为
)
318
R J Kg K
=
，燃气流量为2
kg s，燃烧室直径200mm，按照环境大气压分别
为0、0.5和1atm最佳膨胀比设计轴对称喷管，其中超声速段型面需用特征线法设计。

喷管收缩段设计方法
收缩段主要功能是使气流从亚声速加速到声速，同时保证气流在喷管中流动过程中保证均匀，平直，稳定。

其性能受进出口面积比和喷管曲线形状的影响，因此管壁的设计常采用维托辛斯基曲线的方法，其方程为：
R=2
1−1− R2
1
2
1−x
2
2
2
1+x
2
2
3
已知燃烧室总压P0和总温T0，则由
P1=ρ1R T1由
q m=ρ1V1A1可得：
T0=T1+V12 2C p
p0=p1+
V12
A1=πR12其中R1=0.1m
由上述5个公式可得：
V1=8.387m/s
T1≈T0
其马赫数
Ma1=V1
c
=
V
kRT1
=0.008
气流流量一定，则有
ρ1V1A1=ρ2V2A2
A1 A2=
ρ2V2
ρ1V1
=
ρ2
ρ1
Ma2c2
Ma1c1ρ2
1
=
T2
1
1
k−1
Ma2=1
c2 1=
kRT2
kRT1
=
T2
1
A1 A2=
Ma2
Ma1
T2
T1
k+1
2k−1
=
1
Ma1
2
k+1
1+
k−1
2
Ma12
k+1
由此式可得R2=11.7mm
收缩段的长度的确定：
收缩段长度即不能过长（从成本问题和体积问题出发考虑），也不能过短（过短，气流可能不均匀甚至分离），在保证收缩性的前提下，有经验公式L=1~2R1，这里取L=R1=100mm，由维托辛斯基曲线公式：
R=
R
1−1− R2
R1
2
1−x
2
L2
2
1+x
2
3L2
3
用matlab画出喷管收缩段取不同长度时的喷管曲线形状如下图示：
从上图可以看出喷管曲线在入口处陡然收缩，后面直径变化不大，这样形状的喷管很容易使气流在入口处不能均匀分布，解决的办法是“加R”的方法，选取合适的R∗，令
R2′=R2+R∗
R1′=R1+R∗
R′=R+R∗
用R2′，R1′代替R2，R1，再根据式R=R′−R∗可得到所求的R。

如选取R∗=5mm时，对于L=100mm的喷管曲线
R∗=10mm时
R∗=15mm时
R∗=50mm时
R∗=100mm时
R∗=200mm时
R∗=500mm时
R∗=1000mm时
可见当选取的R∗≥100mm时曲线的形状变化不大，那么图形的标准是什么呢？。

还有另外一种公式法，是比较常用的方法，这里不作赘述，很多论文都是用的那种方法。

喷管扩张段设计方法
喷管出口处和喉部面积比决定了出口处气体马赫数，喷管形面决定了气流的均匀程度。

扩张段曲线采用基于特征线的方法设计，超声速扩张段曲线包括三个部分：喉部过渡段，直线段，消波段，其中喉部过渡段和直线段是使气流加速的，消波段是为了消除激波在喷管中的反射波，使气流在喷管出口出是一个理想状态。

喷管一般是根据特征线理论设计的。

从物理观点来讲，特征线定义为一个物理扰动的传播轨迹。

从数学的观点来看，特征线定义为这样的一种曲线，沿这种曲线可以把偏微分控制方程改变成全微分方程。

穿过这条曲线，物理参数的导数可以是不连续的，而物理参数本身却保持连续。

那样，沿着特征线就可以把这样一些流动区域连接在一起，即使在每一个区域中特性参数和参数的导数是连续的，而在它们的交界面上导数是不连续的。

由于喷管设计首先需要知道喉道附近的流动情况，然后用特征线理论继续计算。

所以，准确的知道气流在喉道的流动情况是十分重要的。

本文采用计算较为准确，工程上常用的索尔法确定喉道区的流场。

对于二维或轴对称的无旋流动，其扰动方程为：
1−M2u x+v y+δv
=M2k+1
u
u x
对于轴对称流动δ=1，喉道处M=1，则有：
k+1u
∗
u x−v y−
δv
=0
取
u′=u
∗
v′=
v
∗
则上式可变成为：
k+1u′u x′−v y′−δv′
=0
引入无量纲速度势函数，可变形为：
k+1ϕx′ϕxx′−ϕyy′−δϕy′
=0
此式为跨音速流的无量纲扰动速度势控制方程。

用幂级数解法可得：
u x，y ′=αx+
k+1α2y2
v x，y ′=k+1α2xy
+
k+12α3y3
其中α为常数。

这两个方程给出了对线性轴向扰动速度分布的无量纲扰动速度。

由v′=0可得
x=−
1+kαy2
这个就是初值线方程，其中y取值范围是[0-11.7mm]。

定常二维平面和轴对称无旋流动的气体动力学方程为：
c2−ϕx2ϕxy−2ϕxϕyϕxy+ c2−ϕy2 ϕxy+δc2ϕy
y
=0
对其进行处理得到特征线方程为：
λ±=dy
±
=
ϕxϕy±c2 M2−1
x
22。