数值分析第八章 矩阵特征值计算
数值分析—矩阵特征值问题的数值计算
( vk +1 )i vk = α1 x1 , lim = λ1 . k k →∞ λ k →∞ ( v ) k i 1
lim
可见，当 k 充分大时， vk 近似于主特征向量（相差一个常数倍） ， vk +1 与 vk 的对应非零分 量的比值近似于主特征值。 在实际计算中，需要对计算结果进行规范化。因为当 λ1 <1 时， vk 趋于零；当 λ1 >1 时 ， vk 的 非 零 分 量 趋 于 无 穷 ， 从 而 计 算 时 会 出 现 下 溢 或 上 溢 。 为 此 ， 对 向 量
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn ,
∑x y
i =1 i
n
i
为向量 x 和 y 的内积。
定理 8.3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值都为实数，排列为 对应的特征向量 x1 , x2 ,L , xn 组成正交向量组，则有 1) 对任何非零向量 x ∈ R n ，有 λn ≤ R( x) ≤ λ1 ， 2) λ1 = max R ( x) = R( x1 ) ，
Ζ = ( z1 , z2 ,L, zn )T ∈ R n ， 记 max( Ζ) = zi ，其中 zi = Ζ ∞ ，这样， 我们有 如 下 乘幂 法 的实 用
的计算公式： 任取 v0 = u0 ≠ 0 ，对于 k = 1, 2,L 分别计算 vk = Auk −1 , uk = vk / max(vk ). 求出对应矩阵的主特征向量和特征值的近似值，有下面的定理。 定理 8.4
m1 0 M = 0 0 0
称为质量矩阵，而
0 m2 0 0 0
0 0 m3 0 0
0 0 0 m4 0
0 0 0 0 m5 0 0 −k4 k 4 + k5 − k5 0 0 0 − k5 k5
8 矩阵的特征值和特征向量的计算
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位，故所 求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 44 . 9995 , x 1 (1, 0 . 333 , 0 . 6667 )
T
（2）反幂法
基本思路： 设A没有零特征值，则A非奇异，即A的逆阵存 在，设的特征值为 1 2 n 0 其对应的特征向量为 2 , 3 , , n 因为 A xk = k xk
8.2 按模最大与最小特征值的计算
(1)幂法
定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1 , 2 , , n (它们线性无关)， 则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 V AV
k k 1
有
lim
(V k ) j (V k 1 ) j
k j 1 k 1 j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时） {Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实 际计算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范 化”， 即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向量。 为说明上述算法的正确性，我们试证明下述定理 定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
k k k k
1 [ 1 1
k
i k i( ) i] 1 i2
n
同理可得 V k 1 1 [ 1 1 i (
第八章矩阵特征值计算1
1 0 0 .9
0 3 1 5 10 . 19 19 9 2 9 9 5 .8 2 .2 4 3
定理 9 ( Schur 定理 ) 设 A R r11 T U AU r12 r22
的根称为 A 的 特征值 . ( A ) 表示 A 的所有特征值的集合
(1.1) .
设 为 A 的 特征 值 , 相应的齐次方程组 ( I A ) x 0 的非零解 x 称为 A 的对应于 (1.2)
的 特征向量 .
例1
2 求A 1 0
1 3 1
0 1 的特征值及其特征向量 2
nn22211211已知定义12211特征多项式的所有特征值的集合表示的根称为的特征方程的对应于称为常数的特征值向量则是对应的非零特征的特征值是矩阵的特征值是矩阵1211iiiimm均为方阵其中每个对角块为分块上三角阵亏损矩阵定义2个数少于线性无关的特征向量的且其对应的重特征值有一个如果线性无关对应的特征向量个线性无关的特征向量具有的充要条件是的特征向量为对应于向量使得存在正交矩阵圆盘为半径的为圆心以为复平面上以gerschgoriijii某个圆盘之中一个特征值必属于下列个圆盘分离与其余个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的结果质获得特征值的进一步改变根据相似矩阵性和连通性有时可使某些圆盘半径适当选取得到选取非奇异对角矩阵的特征值的范围估计1211的特征值schuriinn1211的两个共轭复特征值的两个特征值是二阶时为一阶时其中当iiiiiiiimm定义4rayleigh对于任一非零向量阶实对称阵定理定理11
定理8 ( Gerschgori
n 圆盘定理
) (1) 设 A ( a ij ) n n , 则 A 的每
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
计算方法第八章矩阵特征值计算
R(vk
)
( Avk , vk ) (vk , vk )
1
o
2 1
2k
由幂法迭代向量 uk , 得
max(
uk
)
1
o
2 1
k
23
3 反幂法 (1) 计算矩阵按模最小特征值
反幂法是用幂法计算矩阵A的逆矩阵 A1 按模最大
特征值的方法，即计算矩阵A的按模最小特征值的
方法。
设A为n阶非奇异矩阵，其特征值排列次序为
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
9
幂法
以下只考虑主特征值是单重实值的情形。
设 1 2 n , 则
vk
a11k x1
n i2
aiik xi
1k
a1
x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
对于充分的k，i
1
21
幂法的加速
（2）Rayleigh（瑞利）商加速 设A为n阶实对称矩阵，x为任一n维非零向量，称数
R(x) (Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商。
R( x1 )
( Ax1, x1) (x1, x1)
1
22
幂法的加速
可证，对应于幂法中迭代向量vk 的Rayleigh商为
AR(p,q)只改变 A的第p列,第q列元素; 3 若A为对称矩阵, 则 RT ( p, q)AR( p, q)
亦为对称矩阵,且与A具有相同的特征值。
35
Jacobi方法
考虑到A的第k次相似变换
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。
如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。
但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定。
常用的方法是迭代法或变换法。
本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。
§1 乘幂法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。
定理8·1 设矩阵A n ×n 有n 个线性无关的特征向量X i （i=1，2，…，n ）,其对应的特征值λi (i =1,2，…,n)满足|λ1|〉|λ2｜≧…≧｜λn ｜则对任何n 维非零初始向量Z 0,构造Z k = AZ k —1（k=1，11()lim()k j k k jZ Z λ→∞-= (8·1)其中（Z k )j 表示向量Z k 的第j 个分量。
证明 : 只就λi 是实数的情况证明如下. 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ，（i = 1，2,…,n 可用X i （i = 1，2，…,n)线性表示，即Z 0=α1X 1 + α2X 2 +用A 构造向量序列｛Z k }其中 21021010,,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2）由矩阵特征值定义知AX i =λi X i (i=1，2, …，n)，故0112211122211121k k k k k n nk k k n n nknki i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===+++=+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ (8。
3）同理有11111121k nk i k i i i Z X X λλααλ---=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ (8.4） 将（8。
3)与（8。
4）所得Z k 及Z k —1的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1｜（i=1,2,…,n)得11()lim()k j k k jZ Z λ→∞-= 证毕定理8·1的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法：1) 先任取一非零向量Z 0,一般可取Z 0=（1,1,1)T ； 2) 按（8.2）式计算Z k =AZ k-1（k=1，2,…）; 3) 当K 足够大时，即可求出11()()k j k jZ Z λ-=，为了减少λ1对于所选的第j 个分量的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替，即111()()nk jjk jZ Z nλ=-=∑关于对应于λ1的特征向量的计算：由（8。
【精品】矩阵特征值计算
【精品】矩阵特征值计算矩阵特征值计算是线性代数中的重要内容之一，它是研究矩阵的性质和分析矩阵的重要工具。
下面我们将详细介绍矩阵特征值的概念、计算方法和应用。
一、矩阵特征值的概念矩阵特征值是指一个矩阵对应于某个非零向量，使得该向量的线性组合与该向量的数量乘积相等，即Ax=kx，其中x为非零向量，k为特征值。
可以发现，矩阵特征值是一种特殊的线性变换，它将一个向量变换为与其数量乘积相等的另一个向量。
二、矩阵特征值的计算方法矩阵特征值的计算方法有多种，其中比较常用的有幂法、逆矩阵法和行列式法。
1.幂法幂法是一种通过不断将矩阵自乘来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的n次幂的特征值就是k的n次方。
具体来说，我们可以从1开始逐渐乘以矩阵A，直到得到一个与原始矩阵相同的矩阵为止，这时得到的乘积就是矩阵A的特征值。
2.逆矩阵法逆矩阵法是一种通过计算逆矩阵来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的逆矩阵的特征值就是1/k。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的逆矩阵，然后再计算逆矩阵的特征值，得到的结果就是矩阵A的特征值。
3.行列式法行列式法是一种通过计算行列式来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的行列式的特征值就是k的阶乘。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的行列式，然后再计算行列式的特征值，得到的结果就是矩阵A 的特征值。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值在许多领域都有广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景：1.判断矩阵是否可逆如果矩阵A的特征值均为非零，则A可逆；如果存在一个特征值为零，则A不可逆。
因此，通过计算矩阵的特征值，可以判断该矩阵是否可逆。
2.求解线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果A存在特征值k，且k不为0，那么可以通过将方程组转化为(A/k)x=b的形式来求解x。
这是因为(A/k)x=b等价于Ax=(k/k)x=b，也就是说(A/k)x=b有解当且仅当Ax=b有解。
第八章矩阵特征值问题的数值解法
(X (k))j ( X (k1) )
j
1
幂方法
k充
分
大
时
，( X (X(
(k) ) j k1) )
j
1
即1
x ( k 1) i x(k) i
,
i 1,2,...n
此式说明了什么？
当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零
分量的比值近似等于主特征值。
解题步骤： (1)任给n维初始向量X (0) 0
雅克比方法的一般推广
如果a 0,取使得tan 2 2a /(a a ) ( / 4)则有
ij
ij
jj
ii
a(1) a(1) 0, 得到一个使A中非零的非对角元素a a
ij
ji
ij
ji
变成零的正交相似变换。
对A(1)重复上述过程 A(2) ，得到一个矩阵序列{A(k) }。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零 元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减。
运行结果：
程序运行结果
预备知识：
E预ig备en知-ve识ctor
定义: 设A Rnn ,若存在数 及非零向量x, 使得
Ax x
则称 为A的特征值，x为A的属于的特征向量。
重要结论：
Eigen-value
(1) c 为cA的特征值（c为常数c 0）;
(2) k为Ak的特征值；
(3) 设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
Print[“矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为”]； Eigensystem[A]
运行结果：
8.3 反幂法运算及程序
原理：设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
(数值分析)第八章 矩阵特征值与特征向量计算
华长生制作
2
为了简单，取 （x, y) : 1 x, y 1, 为的边界。若取x y h
0.25,以二阶均差代替二阶导 数，按自然次序离散化 可得下列矩阵特征值问 题
1 Bu u,
h2
在电磁学、机械和结构振动等问题也会遇到类似的固有值、临界值等问题， 所以特征值的计算有重要意义。
,
uk
Ak v0
。
max(Ak v0 )
而
Ak v0
1k [1x1
n
i2
i
(
i 1
)
k
xi ]
1k (1 x1
k ),
uk
Ak v0 max(Ak v0 )
1k (1x1 k ) max[1k (1x1 k )]
1x1 k x1 (k )。 max( 1x1 k ) max( x1 )
n)。如果
p是A的特征值
的一个
j
近似值，且
i p j p , i j,
即(i p)1是( A PI )1的主特征值，可用反幂法计算相应的特征值和
特征 华长向 生制量 作 ，计算公式为
15
定理
u0 v0 0, vk ( A PI)1uk1`,
称（）为特征多项式。方程 （） 0有n个根，包括重根和复根 。
在很多科学与工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算。例如， 弹性薄膜的固有振动问 题可描述为：求 和非零函数 u（x, y)，满足
(u xx u yy ) u, (x, y) ,
u 0, (x, y) 。
矩阵特征值计算
*
几点注记
令 p 足够靠近 k
将参数 p 取为 k 附近 带位移的反幂法中需要计算 带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 k 若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法
*
作业
教材 276 页，习题 3(1)
*
假设：(1) |1| > |2| … |n| 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程：
幂法（乘幂法，幂迭代）
*
幂法的收敛性
收敛性分析
设
越小，收敛越快
*
幂法的收敛性
vk 为 1 的近似特征向量
又
当 k 充分大时，有
( j =1, 2, ... , n )
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
改进的幂法
*
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
01
ex81.m
02
*
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于 的大小
*
Rayleigh 商
称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。
则对任意非零向量 x，有
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为
且
*
幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
*
特征值性质
( C, x 0 )
A x = x
矩阵特征值的求法
矩阵特征值的求法
矩阵特征值是矩阵在特定方向上的伸缩比率，或者说是矩阵在某
些方向上的重要程度，因此它在数学中有很多的应用。
在这篇文章中，我们将介绍矩阵特征值的求法。
一、定义
矩阵特征值是矩阵 A 的特征多项式P(λ) 的根，即
P(λ)=det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵，det 表示行列式。
该多项
式的阶数等于矩阵 A 的阶数。
二、求法
1. 直接计算
对于小阶的矩阵，可以直接求解特征多项式的根，得到特征值。
2. 特征值分解
对于大阶的矩阵，可以通过特征值分解的方式求得矩阵的特征值。
特征值分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法，即矩阵
A=QΛQ^-1，其中 Q 是正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素
就是特征值。
3. 幂迭代法
幂迭代法是一种通过连续迭代计算矩阵 A 的最大特征值和对应
特征向量的方法。
该方法的基本思想是利用矩阵特征值的性质，通过
不断迭代对特征向量进行单调放缩，最终得到矩阵的最大特征值和对
应特征向量。
4. QR 分解法
QR 分解法是一种通过 QR 分解求解矩阵特征值和特征向量的方法。
该方法的基本思想是将矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上
三角矩阵 R，即 A=QR，然后对 R 迭代求解特征值和特征向量。
三、总结
矩阵特征值的求法有多种方法，其中直接计算适用于小阶矩阵，
而特征值分解、幂迭代法和 QR 分解法则适用于大阶矩阵。
在实际应
用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便快速、准确地求解矩阵的特征值和特征向量。
数值分析Ch8矩阵特征值的计算
• 注(2)可用 A pI 来加速.
例 用反幂法求矩阵A的最接近 p 13 的特征值和特 征向量.
解
其中:
3 12 3 A 3 1 2 3 2 7 3 1 3 LU A pI 3 14 2 3 2 20 0 0 3 1 1 3 L 3 1 0 U 0 5 11 11 66 1 3 0 0 5 5
取 1 max v7 3.41, X1 u7 (.707,1,.707)
2.加速方法(原点平移法)
• 令 : B A pI ,设 B 的特征值为 i 则: i i p
i i p i 希望 : 1 1 p 1
若设 : 1 2 n1 n
2 p n p 选p使 : max , min 1 p 1 p
n p 2 n 2 p * 当 取p 达最小. 1 p 1 p 2
2 n • 使用幂法,取 p 计算 1 得到加速. 2
i (1 X 1 i Xi ) i 2 1
k 1 n
k
vk Avk 1 X 1 X 2 X n
k 1 1
k 2 2
k n n
i i 1 (1 X 1 i X ) i 1 i 2 1 vk k lim k 1 X 1 vk 11 X 1
取
v0 u0 1,1,1
T
计算公式:
vk Lyk uk 1 , Uvk yk , uk max vk
0 1
k 迭代向量 分
量 max
数值分析第8章——矩阵特征值问题计算
2
定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关
的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使
1
P 1 AP D
2
n
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
征向量 x1 , x2, …, xn ，即
Axi i xi (i 1,2,, n)
任取非零向量 v0 , 则可
唯一表示为 v0 a1x1 a2 x2
an xn
15
v0 a1x1 a2 x2 an xn
则
vk Akv0 Ak a1x1 a2 x2 an xn
a11k x1 a2k2 x2 ankn xn
(k 1,2,)
uk vk k
v1
2,4,1T
,
1
4, u1
1
1
v1
0.5, 1,0.25T
23
直到k=8 时的计算结果见下表
k
vk
k
1 2, 4, 1,
4
uk
0.5, 1, 0.25
2 4.5, 9, 7.75
9
0.5, 1, 0.8611
3 5.7222, 11.4444, 8.361 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 5 5.5075, 11.0142, 8.2576
第八章 矩阵特征值问题计算
对n 阶方阵A求数 和非零向量x ,使其满足Ax=x 这样的 值称为矩阵A的特征值，非零向量 x 称为矩 阵A的与特征值 相对应的一个特征向量。
1
8.1 预备知识
定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 B P1AP
第8章 矩阵特征值与特征向量的计算
Ax k = y k −1 m = max( x ) k k y = x / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
式(8.8)称为反幂法. 显然有 1 lim mk =
k →∞
(8.8)
λn
, lim y k = x n / max( x n )
k →∞
每一步求xk需要求解线性方程组, 可采用LU分解法求解.
i =2
n
其收敛速度由比值|λ2/λ1|来确定.
又由于
A k x0 mk = max( y k ) = max( Axk −1 ) = max( ) k −1 max( A x0 )
所以
lim mk = λ1
k →∞
= λ1
λ max[β 1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k ξ i ] λ max[ β1ξ1 + ∑ β i ( λ1i ) k −1 ξ i ]
可取 λ1 ≈6.000837, ξ1 ≈(1,0.714316,-0.249895)T.
研究生学位课程 数值分析
8.1.2 加速技术
由于
mk = max( x k ) = λ1 + o(
λ2 k λ1
)
所以,乘幂法收敛速度取决于比值|λ2/λ1|,当|λ2/λ1|≈1时,收敛是很慢的.
1.Aitken 加速方法 Aitken
可得
y k = Ax k −1 m = max( y ) k k x = y / m , k = 1,2,3, ⋯ k k k
A x0 xk = = max( A k x0 )
k
λ β1ξ1 + ∑ β i ( λ ) k ξ i
矩阵特征值的计算步骤
矩阵特征值的计算步骤
矩阵特征值的计算步骤：
①确定矩阵首先需要有一个给定的方阵A其阶数为nxn即行数和列数相等；
②构造多项式接下来计算行列式|λE-A|其中λ代表待求解特征值E为单位矩阵该表达式称为特征多项式；
③求解方程令上述结果等于零得到关于λ的一元n次方程这就是我们要寻找的特征方程；
④解出根利用因式分解数值法等手段找出所有可能的λ值它们正是我们所求A的特征值；
⑤验证正确性将求得的每一个λ代回到原方程中检验是否真的能使行列式为零从而验证答案正确性；
⑥特殊情况处理如果发现方程存在重根即某个λ出现了两次及以上那么该矩阵就不是可对角化矩阵；
⑦实际意义理解特征值反映了矩阵在变换过程中保持不变的方向以及该方向上的拉伸比例大小；
⑧应用实例在图像处理模式识别等领域常常需要通过计算协方差矩阵的特征值来揭示数据内部结构；
⑨复数情况当矩阵元素为复数时同样可以定义特征值只不过此时λ也可能为复数需用复数域来讨论；
⑩矩阵对角化如果一个矩阵存在n个线性无关的特征向量那么就可以用它们组成新的基从而实现对角化；
⑪几何解释在二维三维空间中特征值直观上表示了变换后图形相对于原图形放大缩小的程度；
⑫高级话题对于非方阵非线性系统也可以引入广义特征值概念来研究其稳定性响应特性等问题。
数值分析——矩阵特征值问题计算
17
vk 1k a1x1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
且
vk 1 Avk 1k 1a1x1 1vk
用 (vk)i 表示 vk 的第 i 个分量,则当k充分大时,有
vk1 i
vk
i
1
即为主特征值的近似值。
18
定理 设 A Rnn 有 n 个线性无关的特征向量，
主特征值 1 满足
a11k x1 a2k2 x2 ankn xn
1k
a1
x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1k Fra bibliotek xn 1k a1x1 k
16
其中
k
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
由假设条件 从而
j 1
1 j 2, ,n, 所以
lim
k
vk
1k
a1x1
lim
k
k
0
所以当k充分大时，有
vk 1k a1x1
9
0.5, 1, 0.8611
3 5.7222, 11.4444, 8.361 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 5 5.5075, 11.0142, 8.2576
11.4444 10.9223 11.0142
0.5, 1, 0.7360 0.5, 1, 0.7536 0.5, 1, 0.7494
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
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定理9( Schur定理) 设A R nn， 则存在酉矩阵U使 r11 r12 r1n r22 r2n R, U T AU rnn 其中rii (i 1,2,, n)为A的特征值.
定理10 (实Schur分解) 设A R nn， 则存在正交矩阵 Q使 R11 R12 R1m R22 R2m , QT AQ Rmm 其中当 Rii (i 1,2,, m)为一阶时 Rii是A的实特征值，当 Rii为 二阶时 Rii的两个特征值是 A的两个共轭复特征值 .
2 n a1 x1 a2 x2 an xn k A v0 1 1 uk k k k max( A v0 ) 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 x1 (k ) max( x1 )
定义3 设A (aij ) nn , 令 n （1 ri | aij | (2) Di {z | | z aii | ri , z C }, (i 1,, n) ） ， ji 称Di为复平面上以aii为圆心以ri为半径的Gerschgorin圆盘.
定理8 (Gerschgorin圆盘定理) (1) 设A (aij ) nn , 则A的每 一个特征值必属于下列某个圆盘之中 n | aii | | aij |, (i 1,, n). ji (2) 如果上述的n个圆盘中有m个圆盘构成一个连通域S ,
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (v k 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
设为A的特征值, 相应的齐次方程组 (I A) x 0 的非零解x称为A的对应于的特征向量. (1.2)
2 1 0 例1 求A 1 3 1 的特征值及其特征向量. 0 1 2
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p ) x； (3) k 是Ak的特征值,即 Ak x k x； (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x 1
a21 an1
a12 an 2
a1n a2 n
a 22
a nn
n (a11 a22 ann )n 1 (1) n | A | 为A的特征多项式. A的特征方程
( ) det(I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
Ak v 0 vk Ak v0 vk , uk . k 1 k max( vk ) max( A v0 ) max( A v0 )
k k 2 n k Ak v0 1 a1 x1 a2 x2 an xn , 1 1
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x R n , 称 ( Ax , x ) R( x ) ( x, x ) 为关于向量x的瑞雷( Rayleigh )商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （1 ） （2） ( Ax , x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax , x ) 1 max , xR n ( x, x )
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max( v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0 ). 就有 max( v ) 定理13 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 ( a1 0)， 计算 u0 v0 , v Au , k k 1 (k 1,2,) k max( vk ), uk vk / k . x1 lim uk , lim k 1. k max( x1 ) k
2 收敛速度由比值r 确定. 1
例3 用幂法求 1 0 .5 1 A 1 1 0.25 2 0.5 0.25 的按模最大特征值及其特征向量.
A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2] u=[1,1,1]' v=A*u,v1=max(v),u=v/v1
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理 7( 对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P ( u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
1 1
1
x.
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr ( A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( AT ) ( A).
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
2. 瑞雷商加速法
定理14 设A R nn为对称矩阵, 其特征值满足
1 2 n ,
应用幂法(2.9)，则uk的瑞利商给出1的较好近似 2k ( Auk , uk ) 1 O 2 . 1 (uk , uk )
线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵.
定理6 （1 A R nn可对角化， 非奇异矩阵P使 ） 即 1 2 1 P AP n 的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量. ( 2) 若 A R
nn
有m(m n)个不同的特征值1, 2 ,, m , 则
第8章
矩阵特征值问题计算
§1 引 言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求 矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物 的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临 界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a11 ( ) det(I A)
k
k
k A v0 max( vk ) max max( Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
(2.9)
则
事实上，对于任给非零向量u0 v0， v1 Au0 Av0 , v1 Av0 u1 , max( v1 ) max( Av0 )
A2 v0 v2 A2 v 0 v2 Au1 , u2 , 2 max( Av0 ) max( v2 ) max( A v0 ) ,
m i 1
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P 1 AP B, 则 (1) A与B有相同的特征值; (2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
定义2 设A R
nn
, 如果A有一个k重特征值 且其对应的
且S与其余n m个圆盘分离, 则S中恰有A的m个特征值.
选取非奇异对角矩阵D diag (1,, n )，得到 aij j D AD . i nn
1
适当选取 i (i 1,2,, n)有时可使某些圆盘半径和连通性 改变，根据相似矩阵性质获得特征值的进一步结果. 4 1 0 | 4 | 1 1 0 1 的特征值的范围. | | 2 例2 估计A | 4 | 2 1 1 4 1 1 0 4 3 1 5 1 D 1 , D AD 1 0 10 . 19 19 9 2 9 9 10 5 .8 2 .2 0.9 0.9 4 9 x ) n min . xR n ( x, x )
x 0
§2
一、幂法
幂法及反幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ 1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
设A (aij ) nn R nn有一个完全特征向量组, 其特征值 为1, 2 ,, n , 对应的特征向量为x1, x2 ,, xn .
则对任何非零初始向量v0 (a1 0)， vk lim k a1 x1
k 1 k
lim
(v k 1 ) j (v k ) j
1.
当1 2 r，r r 1 n , 且A R nn有n个 线性无关的特征向量时，上述结果仍成立 r (vk 1 ) j vk lim k ai xi , lim 1. k 1 k (v k ) j i 1
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,