数值分析第八章 矩阵特征值计算

定理9( Schur定理) 设A R nn， 则存在酉矩阵U使 r11 r12 r1n r22 r2n R, U T AU rnn 其中rii (i 1,2,, n)为A的特征值.
定理10 (实Schur分解) 设A R nn， 则存在正交矩阵 Q使 R11 R12 R1m R22 R2m , QT AQ Rmm 其中当 Rii (i 1,2,, m)为一阶时 Rii是A的实特征值，当 Rii为 二阶时 Rii的两个特征值是 A的两个共轭复特征值 .

k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (v k 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
且S与其余n m个圆盘分离, 则S中恰有A的m个特征值.
选取非奇异对角矩阵D diag (1,, n )，得到 aij j D AD . i nn
1
适当选取 i (i 1,2,, n)有时可使某些圆盘半径和连通性 改变，根据相似矩阵性质获得特征值的进一步结果. 4 1 0 | 4 | 1 1 0 1 的特征值的范围. | | 2 例2 估计A | 4 | 2 1 1 4 1 1 0 4 3 1 5 1 D 1 , D AD 1 0 10 . 19 19 9 2 9 9 10 5 .8 2 .2 0.9 0.9 4 9 3
k
k
k A v0 max( vk ) max max( Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
2 n a1 x1 a2 x2 an xn k A v0 1 1 uk k k k max( A v0 ) 2 n max a1 x1 a2 x2 an xn 1 1 x1 (k ) max( x1 )
线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵.
定理6 （1 A R nn可对角化， 非奇异矩阵P使 ） 即 1 2 1 P AP n 的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量. ( 2) 若 A R
nn
有m(m n)个不同的特征值1, 2 ,, m , 则
Ak v 0 vk Ak v0 vk , uk . k 1 k max( vk ) max( A v0 ) max( A v0 )
k k 2 n k Ak v0 1 a1 x1 a2 x2 an xn , 1 1
设为A的特征值, 相应的齐次方程组 (I A) x 0 的非零解x称为A的对应于的特征向量. (1.2)
2 1 0 例1 求A 1 3 1 的特征值及其特征向量. 0 1 2
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p ) x； (3) k 是Ak的特征值,即 Ak x k x； (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x 1
2 收敛速度由比值r 确定. 1
例3 用幂法求 1 0 .5 1 A 1 1 0.25 2 0.5 0.25 的按模最大特征值及其特征向量.
A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2] u=[1,1,1]' v=A*u,v1=max(v),u=v/v1
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
m i 1
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P 1 AP B, 则 (1) A与B有相同的特征值; (2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
定义2 设A R
nn
, 如果A有一个k重特征值 且其对应的
定义3 设A (aij ) nn , 令 n （1 ri | aij | (2) Di {z | | z aii | ri , z C }, (i 1,, n) ） ， ji 称Di为复平面上以aii为圆心以ri为半径的Gerschgorin圆盘.
定理8 (Gerschgorin圆盘定理) (1) 设A (aij ) nn , 则A的每 一个特征值必属于下列某个圆盘之中 n | aii | | aij |, (i 1,, n). ji (2) 如果上述的n个圆盘中有m个圆盘构成一个连通域S ,
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x R n , 称 ( Ax , x ) R( x ) ( x, x ) 为关于向量x的瑞雷( Rayleigh )商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （1 ） （2） ( Ax , x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax , x ) 1 max , xR n ( x, x )
第8章
矩阵特征值问题计算
§1 引 言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求 矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物 的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临 界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a11 ( ) det(I A)
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理 7( 对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P ( u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
1 1
1


x.
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr ( A), i 1 i 1 (2) det( A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( AT ) ( A).
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
(2.9)
则
事实上，对于任给非零向量u0 v0， v1 Au0 Av0 , v1 Av0 u1 , max( v1 ) max( Av0 )
A2 v0 v2 A2 v 0 v2 Au1 , u2 , 2 max( Av0 ) max( v2 ) max( A v0 ) ,
为了避免“溢出”下面做改进. 记 max( v )为向量v的绝对 v 值最大的分量，规范化得 u (v 0 ). 就有 max( v ) 定理13 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 ( a1 0)， 计算 u0 v0 , v Au , k k 1 (k 1,2,) k max( vk ), uk vk / k . x1 lim uk , lim k 1. k max( x1 ) k
二、加速方法
1. 原点位移法 B A pI . 例4 设 (A) {5,3,1}，考察带原点平移的幂法求A的按模
最大特征值及其特征向量的收敛速度. 若 1 2 n， 则p* 2 n . 2 例5 用带原点平移的幂法求
1 0 .5 1 A 1 1 0.25 2 0.5 0.25 的按模最大特征值及其特征向量. 取p 0.75.
则对任何非零初始向量v0 (a1 0)， vk lim k a1 x1
k 1 k
lim
(v k 1 ) j (v k ) j
1.
当1 2 r，r r 1 n , 且A R nn有n个 线性无关的特征向量时，上述结果仍成立 r (vk 1 ) j vk lim k ai xi , lim 1. k 1 k (v k ) j i 1
a21 an1
a12 an 2

a1n a2 n
a 22
a nn
n (a11 a22 ann )n 1 (1) n | A | 为A的特征多项式. A的特征方程
( ) det(I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
2. 瑞雷商加速法
定理14 设A R nn为对称矩阵, 其特征值满足
1 2 n ,
应用幂法(2.9)，则uk的瑞利商给出1的较好近似 2k ( Auk , uk ) 1 O 2 . 1 (uk , uk )
x 0
（3）
( Ax , x ) n min . xR n ( x, x )
x 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2
一、幂法
幂法及反幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ 1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
设A (aij ) nn R nn有一个完全特征向量组, 其特征值 为1, 2 ,, n , 对应的特征向量为x1, x2 ,, xn .