牛头刨床运动分析 机械原理剖析

机械原理大作业
——10A
班级：机械113
姓名：姚小龙
学号：201106263
位置方程
利用两个封闭图形ABDEA 和EDCGE ，建立两个封闭矢量方程，由此可得：
⎭
⎬⎫+=++=+' s l l s l l l l
56431
643 (1) 把(1)式分别向x 轴、y 轴投影得：
⎪⎪⎭⎪
⎪
⎬
⎫=+=++=++=+ h l l s l l l h s l l h s l 334
45
334411133441
12334
4sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos θθθθθθθθθθ
(2) 在（2）式中包含3s 、5s 、3θ、4θ四个未知数，消去其中三个可得到只含4θ一个未知数 方程：
[][]{}[
]
[]
sin sin sin 2sin cos cos sin sin 2
441112
3
442
4
2242
441122
44111
=-+--+-++-+θθθθθθθθl l h l hl h l l l h l l h
(3)
当1θ取不同值时，用牛顿迭代法解(3)式，可以求出每个4θ的值，再根据方程组(2)可以求出其他杆件的位置参数3s 、5s 、3θ的值：
⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫-+=+=-= 3
4
41113334453
4
43sin sin sin cos cos )sin arcsin(θθθθθθθl l h s l l s l l h (4)
速度方程
对(2)式对时间求一次导数并把结果写成矩阵的形式得：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡-----00cos sin 0
cos cos 01sin sin 00cos cos sin 0sin sin cos 11
111
434
43344334
43334
4333θθωωωθθθθθθθθθθl l v v l l l l l s l s C e B (5)
其中C v 为刨刀的水平速度，v e
B 为滑块2相对于杆3的速度。

由于每个1θ对应的3s 、
3θ、4θ已求出，方程组式（5）的系数矩阵均为常数，采用按列选主元的高斯消去法可求解（式
5）可解得角速度ω3、ω4、e
B v 、
C v
加速度方程
把（5）对时间求导得矩阵式：
⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡-----00sin cos 0sin sin 00cos cos 00sin sin cos cos 0cos cos sin sin 0
cos cos 01sin sin 00cos cos sin 0
sin sin cos 1111111
43444333444333444333333444333333434
4334
43344333
4
4333θωθωωωωθωθωθωθωθωθωθθωθωθωθθωααl l v v l l l l l s v l s v a a θl θl θl θl θl θs θθl θs θC e
B
e B e
B
C e B
（6）
同样采用按列选主元的高斯消去法可求解（6）可得角加速度3α、4α、e
B a 、
C a %主程序开始
clear;clc;
l1=180; %L1=lab l3=960; %l3=lCD l4=160; %l4=lED h=900; h1=460; h2=110; du=180/pi; omega1=1; alpha1=0;
theta1=linspace(0,35*pi/18,36);
%定义常量和已知参数，l1代表杆1的长度，l3代表杆3的长度，l4代表杆4的长度,h 表示
EG 的长度，h1表示AE 的竖直距离,h2表示AE 的水平距离，theta1表示角θ1的不同值。

theta3=zeros(1,36);theta4=zeros(1,36);s3=zeros(1,36);s5=zeros(1,36);test=zeros(1,36);vBe=zeros(1,36);vc=zeros(1,36);omega1=ones(1,36);omega3=zeros(1,36);omega4=zeros(1,36);aBe=zeros(1,36);ac=zeros(1,36);alpha1=zeros(1,36);alpha3=zeros(1,36);alpha4=zeros(1,36);A=zeros(4,4); dA=zeros(4,1);
%定义最终的结果数据，当θ1取不同值时,theta3表示θ3的值，theta4表示θ4的值，s3表示BD 的长度，s5表示GC 的长度，vBe 表示B 点在杆3上运动的速度，vc 表示杆5的运动速度，即牛头刨刀的速度，omega3表示杆3的转动角速度，omega4表示杆4的转动角速度，aBe 表示B 点在杆3上运动的角加速度，ac 表示杆5的加速度，即牛头刨刀的加速度，alpha3表示杆3的角加速度，alpha4表示杆4的角加速度，矩阵A,dA 表示线性方程组的系数矩阵
i=0; %i 为循环变量，在循环结构中使用 syms THETA1 THETA4 %定义符号变量，为以下计算做准备 fun1=((h1+l1*sin(THETA1)-l4*sin(THETA4))^2+(h2+l1*cos(THETA1)-l4*cos(THETA4))^2)*(l4^2*sin(THETA4)^2+h^2-2*h*l4*sin(THETA4))-l3^2*(h1+l1*sin(THETA1)-l4*sin(THETA4))^2; %定义迭代法中要求解的关于THETA4的方程。

x0=0; %定义在牛顿迭代法中的变量THEA4的初值。

for i=1:36 %用循环结构求当theta1取不同值时，theta3值。

fun2=subs(fun1,THETA1,theta1(i));%把不同的THETA1的值代入要求解的方程
[theta4(i),EA,it]=NEWTON(fun2,'THETA4',x0,0.0001,1000);
%用牛顿迭代法求得THEATA4，并赋值到theta4的数组中
x0=theta4(i); %把这次计算的解作为下一次计算的初值。

end
for i=1:36
%用循环结构求当theta1的值取不同值时，theta3、s3、s5的取值。

因为theta3的值可能的取值范围为[0,π]，对theta3求解时应分以下两种情况讨论
if sign(h2+l1*cos(theta1(i))-l4*cos(theta4(i)))>0 %theta3<π/2
theta3(i)=asin((h-l4*sin(theta4(i)))/l3);
else theta3(i)=pi-asin((h-l4*sin(theta4(i)))/l3); %theta3>π/2
end
test(i)=h1+l1*sin(theta1(i))-l4*sin(theta4(i));
s5(i)=l4*cos(theta4(i))+l3*cos(theta3(i));
s3(i)=(h1+l1*sin(theta1(i))-l4*sin(theta4(i)))/sin(theta3(i));
end
for i=1:36
%用循环结构求当theta1的值取不同值时vBe、omega3、omega4、vc的值。

A(1,1)=cos(theta3(i));A(1,2)=-s3(i)*sin(theta3(i));A(1,3)=-l4*sin(theta4(i));
A(2,1)=sin(theta3(i));A(2,2)=s3(i)*cos(theta3(i));A(2,3)=l4*cos(theta4(i));
A(3,2)=-l3*sin(theta3(i));A(3,3)=-l4*sin(theta4(i));A(3,4)=-1;
A(4,2)=l3*cos(theta3(i));A(4,3)=l4*cos(theta4(i));
dA(1,1)=-omega1(1,1)*l1*sin(theta1(i));
dA(2,1)=omega1(1,2)*l1*cos(theta1(i));
x=gauss(A,dA); %用按列选主元的高斯消去法求解
vBe(i)=x(1);omega3(i)=x(2);omega4(i)=x(3);vc(i)=x(4);
%把求得的结构赋值给各物理量
end
for i=1:36 %用循环结构求当theta1的值取不同值时aBe、alpha3、alpha4、vc的值。

A(1,1)=cos(theta3(i));A(1,2)=-s3(i)*sin(theta3(i));
A(1,3)=-l4*sin(theta4(i));A(2,1)=sin(theta3(i));
A(2,2)=s3(i)*cos(theta3(i));A(2,3)=l4*cos(theta4(i));
A(3,2)=-l3*sin(theta3(i));A(3,3)=-l4*sin(theta4(i));A(3,4)=-1;
A(4,2)=l3*cos(theta3(i));A(4,3)=l4*cos(theta4(i));
dA(1,1)=-omega3(i)*sin(theta3(i))*vBe(i)*2-s3(i)*omega3(i)^2*cos(theta3(i))-l4*omega4(i)^ 2*cos(theta4(i))-l1*cos(theta1(i));
dA(2,1)=omega3(i)*cos(theta3(i))*vBe(i)*2-s3(i)*omega3(i)^2*sin(theta3(i))-l4*omega4(i)^2*sin( theta4(i))-l1*sin(theta1(i));
dA(3,1)=-l3*omega3(i)^2*cos(theta3(i))-l4*omega4(i)^2*cos(theta4(i));
dA(4,1)=-l3*omega3(i)^2*sin(theta3(i))-l4*omega4(i)^2*sin(theta4(i));
%构造速度方程的系数矩阵
x=gauss(A,dA); %用按列选主元的高斯消去法求解
aBe(i)=x(1);alpha3(i)=x(2);alpha4(i)=x(3);ac(i)=x(4);
%把求得的结构赋值给各物理量
end
%主程序结束
%出图程序
figure(1);
i=1:10:360;
%l3角位移图
subplot(2,2,1);
plot(i,theta3*du,'r');
title('角位移图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ');
ylabel('角位移/\circ');
grid on;hold on;
text(200,110,'\theta3');
%l4角位移图
subplot(2,2,2);
plot(i,theta4*du,'r');
title('角位移图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ');
ylabel('角位移/\circ');
grid on;hold on;
text(150,10,'\theta4');
%滑块2位移
subplot(2,2,3);
plot(i,s3,'r');
title('位置');
xlabel('滑块位置\s3/\circ');
ylabel('毫米/\circ');
grid on;hold on;
text(150,500,'s3');
%c点位移
subplot(2,2,4);
plot(i,s5,'r');
title('位置');
xlabel('滑块位置\s3/\circ');
ylabel('毫米/\circ');
grid on;hold on;
text(150,0,'s5');
figure(2);
%l3角速度
subplot(2,2,1);
plot(i,omega3,'r');
title('角速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ') ylabel('角速度/rad\cdots^{-1}') grid on;
hold on;
text(150,0,'\omega_3');
%l4角速度
subplot(2,2,2);
plot(i,omega4,'r');
title('角速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ') ylabel('角速度/rad\cdots^{-1}') grid on;
hold on;
text(150,0.2,'\omega_4');
%c点速度
subplot(2,2,3);
plot(i,vc,'r');
title('速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ'); ylabel('速度mm/s');
grid on;
hold on;
text(200,0,'Vc');
%l4的速度
subplot(2,2,4);
plot(i,vBe,'r');
title('速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ'); ylabel('速度mm/s');
grid on;
hold on;
text(200,-100,'Vbe');
figure(3);
%l3 角加速度图
subplot(2,2,1);
plot(i,alpha3,'r');
title('角加速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ')
ylabel('角加速度/rad\cdots^{-2}')
grid on;
hold on;
text(200,-0.1,'\alpha_3');
%l4 角加速度图
subplot(2,2,2);
plot(i,alpha4,'r');
title('角加速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ')
ylabel('角加速度/rad\cdots^{-2}')
grid on;
hold on;
text(200,-0.5,'\alpha_4');
%c点加速度图
subplot(2,2,3);
plot(i,ac,'r');
title('加速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ')
ylabel('加速度/m\cdots^{-2}')
grid on;
hold on;
text(200,150,'ac');
%c点加速度图
subplot(2,2,4);
plot(i,aBe,'r');
title('加速度图');
xlabel('曲柄转角\theta_1/\circ')
ylabel('加速度/m\cdots^{-2}')
grid on;
hold on;
text(200,100,'Abe');
%牛顿迭代法的函数定义
function [r,ea,iter]=NEWTON(fun,x,x0,es,maxit)
%定义函数名和输入输出的参数。

输出参数为r,ea,iter。

其中，r代表方程的解，ea代表最终解r代入方程的误差值，iter代表在运算过程中迭代的次数。

fun,x,x0,es,maxit为输入参数。

其中，fun代表要求解的方程，x代表要求解的未知数名称，x0代表求解过程取的初值，es 表示求解要求的精度，maxit表示最大迭代步数。

if nargin<3,error('请输入包括函数名，函数变量，变量初始值在内的至少三个参数'),end
if nargin<4||isempty(es),es=0.005;end
if nargin<5||isempty(maxit),maxit=300;end
%对调用函数时输入的参数进行检查，如果调用时输入的参数不足3个，则报错，如果用户没输入es和maxit的值，则设置默认的求解精度为0.005，默认的迭代步数为300。

iter=0; %初始迭代次数为0。

t=sym('t','real'); %定义符号变量，来取代输入函数的变量。

y=sym('y','real'); %定义符号变量，来取代输入函数。

y=subs(fun,x,t);
y1=inline(y); %定义内联函数，表达式与y的表达式一致，方便计算。

y2=inline(t-y/diff(y,t)); %定义内联函数，用于牛顿迭代。

r=x0;
for i=0:maxit
%定义一个循环结构来产生迭代过程，当循环次数大于最大迭代次数时，循环结束。

r=y2(r); %牛顿迭代iter=iter+1; %每循环一次，迭代次数iter加一。

if abs(y1(r))<=es||iter>=maxit,break;end
%如果误差小于允许误差或循环次数大于最大迭代次数，迭代停止。

end
ea=y1(r); %把最终迭代误差赋值给ea。

end
%NEWTON函数定义完成。

%按列选主元的高斯消去法的函数定义
function x = gauss( A,b )
%定义函数名和输入输出的参数。

输出参数为列向量x，即线性方程的解向量。

A,b为输入参数。

其中，A为与解向量x维数相同的方阵，b为与解向量维数相同的列向量，这个函数的作用是解线性方程组‘AX=b’。

[m,n]=size(A);
%获得A的行数和列数，其中m代表矩阵的行数，n代表矩阵的列数。

if m~=n, error('A必须是方阵'); end %检查A是否是方阵。

B=[A,b]; %把方阵A和向量b组成增广矩阵B。

for k=1:n-1 %用嵌套的循环结构进行消元。

[big,i]=max(abs(B(k:n,k)));
%找出B(k，k)、B（k+1，k）、B（k+2，k）…B(n,k)中的最大值。

u=i+k-1; %u为第k列中的最大元素所在的列。

if u~=k
a=B(k,:);B(k,:)=B(u,:);B(u,:)=a;
%把第u行的元素与第k行的元素位置互换。

end
for i=k+1:n
factor=B(i,k)/B(k,k);
B(i,k:n+1)=B(i,k:n+1)-factor*B(k,k:n+1);
%用初等行变换对第k+1行至第n行进行消元。

end
end
x=zeros(n,1);
x(n)=B(n,n+1);
for i=n-1:-1:1
x(i)=(B(i,n+1)-B(i,i+1:n)*x(i+1:n))/B(i,i);
%的回代过程
end
end
%gauss函数定义完成。

位置-时间曲线
速度-时间曲线
加速度-时间曲线。