数列求和的常用方法

数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

它与函数，方程，不等式有着密切的联系，数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。

下面介绍数列求和的几种常用方法：
一、公式法
公式法是数列求和最基本也最重要的方法，分为等差数列和等比数列两类，对等差数列、等比数列，求前n项和sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

1.等差数列求和公式
sn==na1+
例1.已知an是等差数列，a1=2，d=3，求数列的前n项和sn
分析：由等差数列的求和公式知 sn==
2.等比数列求和公式：sn=（q≠1）
例2.已知an是等比数列， a1=2，q=3，求数列的前n项和sn 分析：由等比数列的求和公式知sn==3n-1
二、错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

例3.已知数列an=n2n，求数列的前n项和sn
分析：由题可知，n2n的通项是等差数列n的通项与等比数列2n 的通项之积，符合错位相减法的特征，可通过错位相减转化为等比数列的求和来解决。

解：（1）设sn=1×21+2×22+3×23+4×24+...+n·2n （1）
则2sn=1×22+2×23+3×24+4×25+...+（n-1）2n+n2n+1 （2）由（1）-（2），得-sn=2+22+23+24+...+2n-n2n+1
再利用等比数列求和公式，得
sn=（n-1）2n+1+2
三、分组求和
分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例4.求数列的前n项和：
1+1+4+7...+3n-2
分析：所给数列是一个等差数列与一个等比数列的和，故可拆开分组求和。

解：（1+1）+（+4）+（+7）+...+（+3n-2）
=（1+++...+）+（1+4+7+...+3n-2）
前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此
当a=1时，sn=n+=n
当a≠1时，sn=+=n+
四、裂项相消求和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

形如an=，an=的数列可以采用裂项相消求和。

例5.已知数列an满足an= ，求数列的前n项和。

解：因为an==-
所以sn=（-1）+（-）+（-）+...+（-）=-1
数列求和不仅是高中阶段的重点学习和考察内容，也是高等数学的奠基石，只有通过总结分析掌握其中蕴含的数学方法和数学思想，本文仅小结了常见的几种数列求和的方法，还有待继续研究。