一元二次方程的解法(公式法) 同步练习

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(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a （），那么这个数叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得，移项，得，配方, 得，方程左边写成平方式，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。

（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为。

3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的，通常用字母 “△” 表示。

当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。

苏科版九年级数学上册1-2一元二次方程的解法同步练习题【含答案】

移项、合并同类项，得，
两边开平方，得．
所以，．
19．(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+
（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；
设y=x+2，则原方程可变形为：
y2+6y﹣91=0，
解得：y1=7，y2=﹣13，
当y1=7时，x+2=7，
x1=5；
当y2=﹣13时，x+2=﹣13，
A．x＝2B．x＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝2，x2＝0
二、填空题
9．若，则代数式的值为_____
10．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝．
11．等腰△ABC中，AC＝8，AB、BC的长是关于x的方程x2﹣9x+m＝0的两根，则m的值是．
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．
1.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．用配方法解方程时，应在方程两边同时加上( )
A．3B．9C．6D．36
2．已知，则的值是（）
A．3或 B．或2C．3D．
3．的根是（）
A． B．或 C． D．或
4．如果关于x的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
x= ，
x1= ，x2= ；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，

10道公式法解一元二次方程练习题

10道公式法解一元二次方程练习题公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。

公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。

沪科版八年级数学下册同步练习题-公式法

17.2 一元二次方程的解法2.公式法◆随堂检测 1、用公式法解一元二次方程3x 2-2x+3=0时，首先要确定a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是（）A ．a=3，b=2，c=3B ．a=-3，b=2，c=3C ．a=3，b=2，c=-3D ．a=3，b=-2，c=3 2、用公式法解方程4x 2-12x=3得（）A ．x=263±-B ．x=263±C ．x=2323±- D ．x=2323± 3、方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．4、小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式时，对于b 2-4ac ＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第___________步开始出现错误；5、用公式法解下列方程.（1）22410x x --=；（2）2523x x +=；（3）24310x x -+=；（4）27180x x --=；（5）22980x x -+=；（6）29610x x ++=.◆课下作业●拓展提高1、下列方程适合用求根公式法解的是（）A ．（x-3）2=2B ．325x 2-326x+1=0C ．x 2-100x+2500=0D ．2x 2+3x-1=0 2、小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中，会得到一个新的实数a 2-2b+3，若将实数对（x ，-3x ）放入其中，得到一个新数为5，则x=______________.3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=；（4）3x 2+5(2x+1)=0(5)2x (x ＋2)＋1＝0； (6)x 2＋4x －1＝10＋8x .4、解方程：x 2+23x=2．小明同学解答如下：请你分析以上解答是否有错？若有，找出错误地方，并写出正确解答过程．。

九年级数学(一元二次方程的解法--公式法)同步练习试题

轧东卡州北占业市传业学校一元二次方程的解法用适当的方法解以下方程：(1)2 x 2＋x －6＝0； (2) 0422=+-x x ； (3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.〔5〕3x 2－4x ＝2x ；〔6〕31〔x ＋3〕2＝1；〔7〕x 2＋(3＋1)x ＝0；〔8〕x 〔x －6〕＝2〔x －8〕；〔9〕〔x ＋1〕〔x －1〕＝x 22；〔10〕x 〔x ＋8〕＝16；11、用公式法解方程：3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).12、不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。

13、假设关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

14、y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？15、课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道〔如图〕，要使种植面积为600平方米，求小道的宽.达标测评1．用公式法解以下方程：〔１6〕2220x x +-=；〔17〕23470x x +-=；〔18〕22810y y +-=；〔19〕212308x x -+=． 2．用适当的方法解以下方程：〔20〕2(2)3y -=；〔21〕2(23)3(43)x x +=+；〔22〕2320x x --=；〔23〕(1)(2)5x x -+=．解方程〔1—3配方法，4—6公式法，7、8因式分解法〕〔24〕2230x x --= 〔25〕2450x x +-= 〔26〕(1)(3)8x x --= 〔27〕2310x x --= 〔28〕23740x x -+= 〔29〕(23)46x x x +=+〔30〕(x －3)2+2x(x －3)＝0 〔31〕()963222+-=+x x x 32、关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 〔1〕当k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，〔2〕当k 为何值时，方程有两个相等的实数根，〔3〕当k 为何值时，方程没有实数根，33、关于x 的一元二次方程x ²-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值。

一元二次方程的解法--公式法文档

22.2.2 一元二次方程的解法------公式法巩固·同步练习1．方程5422=-x x 中，=-ac b 42 .2．方程14)52)(3(-=-+x x 的一般形式是， =-ac b 42 .3．一元二次方程032=+x x 的解是（）A ．3-=xB ．3,021==x x C ．3,021-==x x D ．3=x 4．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根5．（2008鄂州市）下列方程中，有两个不等实数根的是（）A ．238x x =-B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+6．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值是（）A. 1m <B. 1m >-C.1m >D.1m <- 拓展·探究创新7．（2008聊城）已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 8.在下列方程中，有实数根的是（）（A ）2310x x ++= （B 1=- （C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 9．方程08)2)((2222=----n m n m 中，22n m -的值为（）A ．4 B.-2 C. 4或-2 D.-4或210．用公式法解下列方程：（1）（2008连云港市）2410x x +-=．（2）y y 21)2(2+=+（3）1)2)(53(=--x x11．用公式法解关于x 的方程：02222=+--a b ax x12.为k 何值时,关于x 的二次三项式5102++-k x x 为一个完全平方式?13. 用配方法解关于x 的方程02=++q px x14．（2008湘潭市）阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++= 的两根，那么有1212,b c x x x x a a +=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=. 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211x x +的值；（2）212()x x -的值.实战·中考链接14．（2008威海市）关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定15．（2008长春市）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，x 1.2x =a c 根据该材料填空：已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为____ __ 16．（2008太原市）2620x x --=．答案1. 562.0132=++x x 133.C4.B5.D6.C7.B8.A9.C 10.(1)52--=x ,522+-=x(2)无解 (3)61311,6131121-=+=x x 11.b a x b a x -=+=21, 12.20=k13.当042≥-q p 时,242q p p x -±-= 当042<-q p 时,原方程无解.14.(1) 2 (2) 8 15.B 16. 10 17.73,7321-=+=x x。

一元二次方程的解法(公式法)练习题

一元二次方程的解法(公式法)练习题本文将会提供针对一元二次方程解法的公式法练题。

在练中我们将回顾一下方程的基本概念并且深入理解方程的求解过程。

第一部分：选择题1. 求解方程 $x^2 + 5x - 14 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{219}}{2}$B. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{209}}{2}$C. $x = \pm \frac{5 \pm \sqrt{219}}{2}$2. 求解方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$B. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{2}{7}$C. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{-2}{7}$3. 求解方程 $4x^2 - 9x + 2 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{2}{3}$B. $x = \frac{-1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$C. $x = \frac{1}{4}$ 或 $x = \frac{-2}{3}$4. 求解方程 $6x^2 - 13x + 5 = 0$ 的根，正确的式子是：A. $x = \frac{1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$B. $x = \frac{-1}{3}$ 或 $x = \frac{5}{2}$C. $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = \frac{5}{3}$第二部分：计算题1. 求解方程 $x^2 - 4x - 45 = 0$ 的根。

2. 求解方程 $x^2 - 2x + 5 = 0$ 的根。

3. 求解方程 $3x^2 - 4x - 2 = 0$ 的根。

4. 求解方程 $2x^2 + 7x - 10 = 0$ 的根。

人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题(解析版)

第 1 页人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．利用求根公式求5x 2+12=6x 的根时，此中a=5，则b、c 的值分别是（） A ． 12、6 B ． 6、12 C ．、6、12 D ．、6、、122．方程x 2﹣9=0的解是（）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x=±9D ． x 1=3，x 2=﹣33．已知a 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣5=0的较小的根，则下面对a 的预计正确的是（）A ． ﹣2＜a ＜﹣1B ． 2＜a ＜3C ． ﹣3＜a ＜﹣4D ． 4＜a ＜54．方程2x 2、√5x、3=0的两根是（）A ． x=√5±√112B ． x=√5±√292C ． x=−√5±√292D ． x=−√5±√2945．若3（x +1）2﹣48=0，则x 的值即是（）A ． ±4B ． 3或﹣5C ． ﹣3或5D ． 3或56．若※是新准则的某种运算标记，设a※b=b 2 -a ，则-2※x=6中x 的值（）A ． 4B ． 8C ．2 D ． -2二、填空题7．根的鉴别式内容：△=b 2﹣4ac ＞0⇔一元二次方程_____；△=b 2﹣4ac=0⇔一元二次方程_____；此时方程的两个根为x 1=x 2=_____．△=b 2﹣4ac ＜0⇔一元二次方程_____．△=b 2﹣4ac ≥0⇔一元二次方程_____．8．用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac=_____，则 x 1=_____，x 2=_____．9．用公式法解一元二次方程﹣x 2+3x=1时，应求出a ，b ，c 的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．10．把方程（x +3）（x ﹣1）=x （1﹣x ）整理成ax 2+bx +c=0的形式_____，b 2﹣4ac 的值是_____．三、解答题11．解方程：3x 2−2x −2=0、12．选择适当的要领解方程:、1、2(x 、3)2、8、、2、x2-6x-4、0.13．解方程：（1、(2x+1)2=(x-1)2;、2、x2+4x-7=014．已知关于x的方程mx2+(3、m)x、3=0(m为实数，m≠0)、(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 要是此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.参考答案1．C【剖析】【剖析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．【详解】=0、5x2、6x+12、所以a=5、b=、6、c=12故选：C、【点睛】考察明白一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的要领是公式法．2．D【剖析】【剖析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平要领解方程．【详解】x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．故选D．【点睛】本题考察明白一元二次方程-直接开平要领：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采取直接开平方的要领解一元二次方程．3．A【剖析】【剖析】利用公式法表示出方程的根，再举行估算即可．【详解】一元二次方程x2-3x-5=0，第 1 页∵a=1，b=-3，c=-5，∴△=9+20=29，∴x=3±√292，则较小的根a=3−√292，即-2＜a＜-1，故选A．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算准则是解本题的要害．4．B【剖析】【剖析】利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程.【详解】方程：、√5x、3=0中b=-√5,a=2,c=-3.∴x=b±√b2+4c2、√5±√292.故选：B.【点睛】考察用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程时，一定要弄明白该公式中的字母a、b、c所表示的意义．5．B【剖析】【剖析】先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】3（x+1）2-48=0，3（x+1）2=48，（x+1）2=16，第 3 页x+1=±4，x=3或-5，故选：B ．【点睛】考察明白一元二次方程，解此题的要害是能把一元二次方程转化成一元一次方程．6．C【剖析】解：由题意得： 226x +=，∴24x =，∴x =±2．故选C ．7．有两个不相等的实数根有两个相等的实数根 ﹣b 2a 无解有实数根【剖析】【剖析】利用根的鉴别式与解的干系鉴别即可得到终于．【详解】△=b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b 2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x 1=x 2=-b 2a ．△=b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程无解．△=b 2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-b 2a ；无解；有实数根．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握根的鉴别式与解的干系是解本题的要害．8． 5 −3+√52 −3−√52【剖析】【剖析】将已知方程化为一般形式，找出a ，b 及c 的值，谋略出b 2-4ac ，发觉其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a ，b 及c 的值代入求根公式，即可求出原方程的解．【详解】x 2+3x=-1整理为一般形式得：x 2+3x+1=0，∵a=1，b=3，c=1，∴b 2-4ac=32-4=5＞0，∴x=−3±√52， ∴x 1=−3+√52，x 2=−3−√52．故答案为：5；−3+√52；−3−√52.【点睛】此题考察了利用公式法求一元二次方程的解，利用此要领解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，然后谋略出根的鉴别式，当根的鉴别式大于即是0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式可得出方程的解；当根的鉴别式小于0时，原方程无解．9． -1 3 -1【剖析】【剖析】先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．【详解】-x 2+3x=1，-x 2+3x-1=0，a=-1，b=3，c=-1，故答案为：-1，3，-1．【点睛】本题考察明白一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着火线的标记．10． 2x 2+x ﹣3=0 25【剖析】【剖析】将方程整理为一般形式，谋略出根的鉴别式的值即可．【详解】方程（x+3）（x-1）=x （1-x ）整理得：2x 2+x-3=0，b 2-4ac=25．故答案为：2x 2+x-3=0；25．第 5 页【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的要害．11．x 1=1+√73、x 2=1−√73. 【剖析】【剖析】先找出a、b、c ，再求出b 2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3、b=-2、c=-2、b 2-4ac=、-2、2-4×3×、-2、=28>0、∴x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−2)+√282×3=1±√73、 ∴x 1=1+√73、x 2=1−√73.【点睛】本题考察明白一元二次方程，解一元二次方程的要领有提公因式法、公式法，因式分化法等，根据方程的系数特点灵敏选择适当的要领举行求解是解题的要害.12．、1、x 1、5、x 2、1、、2、x 1、3+√13、 x 2、3-√13、【剖析】剖析：（1）方程用直接开平要领即可求解；、2）用公式法即可求解方程.详解：（1、2(x、3)2、8、(x、3)2、4、开方，得x、3、2或x、3、-2、解得x 1、5、x 2、1、、2、x 2-6x -4、0a=1、b=-6、c=-4、△=b 2-4ac=52>0、∴方程有两个不相等的实数根x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−6)±√522×1=3±√13、 ∴x 1、3+√13、 x 2、3-√13点睛：此题考察明白一元二次方程的要领-直接开平要领和公式法，根据给出的方程的布局，选择适当的要领举行求解是要害.13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+√11，x2=-2-√11.谋略即【剖析】剖析：（1）用直接开平要领求解即可；（2）根据求根公式：x=−b±√b2−4ac2a可.详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,、2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),、2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,、2x-x=--1或2x+1=-x+1,、x=-2或x=0、即x1=0、x2=-2、（2）x2+4x-7=0∵a=1,b=4,c=-7,=−2±√11,∴x=−4±√42−4×1×(−7)2、x1=-2+√11、x2=-2-√11.点睛：本题主要考察的知识点是一元二次方程的解法－直接开平要领和求根公式法．熟练掌握直接开平要领和求根公式法是解答本题的要害，本题属于一道基础题，难度适中．14．(1)b2−4ac=(m+3)2≥0、(2)m=-1,-3.【剖析】剖析: （1）先谋略鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据鉴别式的意义即可得到结论；、x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．、2）利用公式法可求出x1=3m详解: （1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；，（2）解：∵x=−(3−m)±(m+3)2m，x2=1，∴x1=-3m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0、a≠0）的根的鉴别式、=b2-4ac：当、、0，方程有两个不相等的实数根；当、=0，方程有两个相等的实数根；当、、0，方程没有实数根．也考察明白一元二次方程．第 7 页。

1.2一元二次方程解法(共4课时)同步课时练习含答案

一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（1）复习巩固1．方程x2－256＝0的根是()A．16 B．－16C．16或－16 D．14或－142．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为()A．x＝3＋B．x1＝3＋x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋x2＝3－3．以下的配方运算中，不正确的是()A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化为2781=416 t⎛⎫-⎪⎝⎭C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化为2210=39 x⎛⎫-⎪⎝⎭4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是() A．3和5 B．－3和5 C．－3和14 D．3和14 5．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是()A．3 B．－3 C．±3 D．6．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4.9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A ．24B ．24或C ．48D ．12．若4x 2＋(k －1)x ＋9是完全平方式，则k 的值为( ) A ．±12 B ．－11或－12 C ．13 D ．13或－1113．当x 取任意值时，代数式x 2－4x ＋9的最小值为( ) A ．0 B ．9 C ．5 D ．414．在实数范围内定义一种运算“※”：a ※b ＝a 2－b ，按照这个规则，(x ＋3)※25的结果刚好为0，则x 的值为__________．15．若(x 2＋y 2－5)2＝4，则x 2＋y 2＝__________. 16．用配方法解方程(x －1)2－2(x －1)＋12＝0. 17．阅读理解：解方程4x 2－6x －3＝0. 解：4x 2－6x －3＝0，配方，得4x 2－6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－262-⎛⎫⎪⎝⎭－3＝0，即4x 2－6x ＋9＝12. 故(2x －3)2＝12.即132x ，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．参考答案复习巩固1．C 因为x 2－256＝0，所以x 2＝256. 故x 1＝16，x 2＝－16，应选C.2．B 因为(x －3)2＝8，所以x －3＝±.故x 1＝3＋，x 2＝3－.3．A 由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得(x ＋4)2＝7.4．C 将x 2－6x －5＝0配方，得(x －3)2＝14，对应(x ＋m )2＝n ，可得出m ＝－3，n ＝14.故选C.5．C 原式＝x 2＋6x ＋9－9＋a 2＝(x ＋3)2＋(a 2－9)，由其是一个完全平方式知a 2－9＝0，得a ＝±3. 6．(1)94 32(2)1 1 (3)4b 2 2b 7．3或－2 因为(2x －1)2－25＝0，所以(2x －1)2＝25. 所以2x －1＝±5.所以x 1＝3，x 2＝－2. 8．4 因为据题意可得x 2－8x ＋12＝－4，所以x 2－8x ＋16＝0.所以(x －4)2＝0.所以x ＝4. 9．解：原式两边都除以6，移项得x 2－16x ＝2. 配方，得222111261212x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221171212x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此1171212x -=或1171212x -=-，所以132x =，243x =-. 10．解：原方程可化为x 2＋8x ＝16，配方，得x 2＋8x ＋42＝16＋42，即(x ＋4)2＝32，所以x ＋4＝±.所以14x ，2=4x -.能力提升11． B 解方程x 2－16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6. 根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8, 10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24；当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为此时三角形的面积为182⨯⨯故选B. 12．D 因为4x 2＋(k －1)x ＋9＝(2x )2＋(k －1)x ＋32是完全平方式，所以k －1＝±2×2×3，即k －1＝±12. 所以k ＝13或k ＝－11.13．C x 2－4x ＋9＝x 2－4x ＋4＋5＝(x －2)2＋5. 因为(x －2)2≥0，所以(x －2)2＋5的最小值为5，即x 2－4x ＋9的最小值为5.14．2或－8 由规则可得(x ＋3)2－25＝0，解得x 1＝2，x 2＝－8.15．7或3 由题意可知x 2＋y 2－5＝，即x 2＋y 2＝5±2，所以x 2＋y 2＝7或x 2＋y 2＝3.16．解：设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－2y ＋12＝0.解得1y =±.因此x －1＝12±，即2x =.故x 1＝2＋2，x 2＝2－2. 17．解：错在没有把二次项系数化为1. 正解：原式可化为23324x x -=，配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=44x -±，得134x +=，234x =.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（2）复习巩固1．一元二次方程2x 2－3＝4x 化为一般形式后，a ，b ，c 的值分别为( ) A ．2，－3,4 B ．2，－4，－3 C ．2,4，－3 D ．2，－3，－ 4 2．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－4 B ．x 1＝－1，x 2＝4 C ．x 1＝－1，x 2＝－4 D ．x 1＝1，x 2＝43．用公式法解方程x 2－6x －6＝0，正确的结果是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－3C ．x ＝－D ．x ＝4．用公式法解方程2t 2＝8t ＋3，得到( )A ．tB ．tC ．4=2t ± D ．4=2t -± 5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．346．一元二次方程3x 2＋5＝4x 中，b 2－4ac 的值为__________．7．方程3x 2x －2＝0的解是____________．8．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2＋2m －3＝0有一根为0，则m 的值是__________．9．有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．10．用公式法解下列方程： (1)2x 2＋8x －1＝0；(2)(x ＋1)(x －1)＝.能力提升11．关于x 的一元二次方程x 2－m (3x －2n )－n 2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．1,3mn,2mn －n 2B ．1，－3m,2mn －n 2C ．1，－m ，－n 2D ．1,3m,2mn －n 212．解方程(x －1)2－5(x －1)＋4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，即x －1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x －1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5.则利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－2，x 2＝3C ． x 1＝－3，x 2＝－1D ．x 1＝－1，x 2＝－2 13．如果12x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为__________． 14．已知线段AB 的长为a .以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .取AB 边上一点E .以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过点E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为__________．15．解关于x 的方程x 2－m (3x －2m ＋n )－n 2＝0(其中m ，n ≥0)． 16．阅读材料，回答问题．材料：为解方程x 4－x 2－6＝0，可将方程变形为(x 2)2－x 2－6＝0，然后设x 2＝y ，则(x 2)2＝y 2，原方程化为y 2－y －6＝0①，解得y 1＝－2，y 2＝3.当y ＝－2时，x 2＝－2无意义，舍去；当y ＝3时，x 2＝3，解得=x ±所以原方程的解为1x ，2=x 问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．(2)利用上述的解题方法，解方程(x 2－x )2－4(x 2－x )－12＝0.参考答案复习巩固1．B2．A 因为a ＝1，b ＝3，c ＝－4，b 2－4ac ＝32－4×1×(－4)＝25，所以352x -±==.所以x 1＝1，x 2＝－4.3．D 因为a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以663212x ±±===±⨯.4.A5.C6.-447.62621+=x 62622-=x 8．－3 由题意，得m 2＋2m －3＝0，且m －1≠0.解得m ＝－3.9．4m 3m 桌布的面积为3×2×2＝12(m 2)．设垂下的长度为x ，则(3＋2x )(2＋2x )＝12，解得12x =.故桌布的长为4m ，宽为3m.10．解：(1)a ＝2，b ＝8，c ＝－1，代入公式x =，得1x =，242x --=.(2)原方程化简得x 2－－1＝0，a ＝1，b =-，c ＝－1，代入公式2b x a-=，得1x =2x =能力提升11．B 原方程可化为x 2－3mx ＋2mn －n 2＝0.故选B.12．D 由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x ＋5＝y ，则(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1.所以方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝－2.13．43或23- 由题意，得212x ＋1＋4x 2－3x －5＝0，解得43x =或23x =-.14．12a设AE的长为x，则BE的长为a－x，根据题意，得x2＝(a－x)·a.解得x=.故AE.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（3）复习巩固1．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根2．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A ．x 2－＋5＝0B ．2x 2＋4x ＋35＝0C ．2x 2－15x －50＝0D ．20x --3．一元二次方程x 2＋4x ＋c ＝0中，c ＜0，该方程的根的情况是( ) A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．不能确定4．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．D ．0或8 5．若一元二次方程x 2－ax ＋2＝0有两个实数根，则a 的值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．若关于x 的方程x 2＋－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＞－1 B ．k ≥－1 C ．k ＞1 D ．k ≥07．关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋(a －1)＝0的根的情况是__________．8．若|b －1|0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是__________．9．当k 取何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．能力提升10．对于关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解11．已知a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形12．若一元二次方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为__________．13．若关于x的方程(a－6)x2－8x＋6＝0有实数根，则整数a的最大值是__________．14．证明不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根．(2)若此方程的两个实数根分别为x1，x2(x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．参考答案复习巩固1．D因为Δ＝22－4×1×2＝4－8＝－4＜0，所以原方程无实数根．2．A3．B由于Δ＝42－4c＝16－4c，而c＜0，故Δ＞0.因此该方程有两个不相等的实数根．4．D由题意，得(m－2)2－4×1×(m＋1)＝0.解得m1＝0，m2＝8.故选D.5．D由题意，得(－a)2－4×1×2≥0.化简，得a2≥8.四个选项中满足a2≥8的只有3，故选D.6．D由题意得24110k⎧(-⨯⨯(-)>⎪⎨≥⎪⎩，，解得k≥0.7．有实数根因为Δ＝(－a)2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以原方程一定有实数根．8．k≤4，且k≠0由|b－1|0，得a＝4，b＝1.故一元二次方程kx2＋ax＋b＝0即kx2＋4x＋1＝0.因为该方程有实数根，所以16－4k×1≥0，且k≠0.解得k≤4，且k≠0.9．解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k.(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即36－4k＞0.解得k＜9.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即36－4k＝0.解得k＝9.(3)因为方程没有实数根，所以Δ＜0，即36－4k＜0.解得k＞9.能力提升10．C当k＝0时，方程变为x－1＝0，x＝1.故选项A错误．当k＝1时，方程变为x2－1＝0，方程有两个实数解x1＝1，x2＝－1.故选项B错误；当k＝－1时，方程变为－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1.故选项C正确，选项D错误．故选C.11．B原方程可变形为(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0.依题意，得4b2－4(a＋c)(a－c)＝0.整理，得b2＋c2＝a2.所以此三角形是直角三角形．故选B.12．14a<，且a≠0因为方程ax2－2x＋4＝0有两个不相等的实数根，所以4－16a＞0，解得14 a<.因为ax2－2x＋4＝0是一元二次方程，所以a≠0. 13．8讨论：(1)若a＝6，则原方程变为－8x＋6＝0.此时34 x=.(2)若a≠6，则b2－4ac＝(－8)2－24(a－6)≥0.解得263 a≤.综上，263a≤.故整数a的最大值为8.14．证明：因为b2－4ac＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1＞0，所以不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．15．(1)证明：因为k是整数，所以12k≠.所以2k－1≠0.因为b2－4ac＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)解：y是k的函数．解方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0，得41212k kxk(+)±(-) =.所以x＝3或x＝1＋1 k .因为k是整数，k≠0，所以11 k ≤.所以1＋1k≤2＜3.又因为x1＜x2，所以x1＝1＋1k，x2＝3.所以11 312yk k⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭.一元二次方程课时练习1.2一元二次方程解法（4）复习巩固1．一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A．x＝0 B．x＝1C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－12．一元二次方程x2－x＋14＝0的根是()A．11 2x=，21 =2x-B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝12-D．x1＝x2＝123．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较为简便的方法是()A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法4．方程x(x－4)＝32－8x的解是()A．x＝－8 B．x1＝4，x2＝－8C．x1＝－4，x2＝8 D．x1＝2，x2＝－85．用因式分解法把方程(x－1)(x－2)＝12分解成两个一元一次方程，下列分解中正确的是()A．x－5＝0，x＋2＝0 B．x－1＝3，x－2＝4C．x－1＝2，x－2＝6 D．x＋5＝0，x－2＝06．如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，那么方程x2－6mx＝0的根为()A．x＝2 B．x＝0C．x1＝2，x2＝0 D．以上答案都不对7．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．8．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．9．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是__________．10．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.能力提升11．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px ＋q可分解为()A．(x＋3)(x－4) B．(x－3)(x＋4)C．(x＋3)(x＋4) D．(x－3)(x－4)12．用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，则m的值为()A．7 B．－7 C．6 D．－613．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝ab＋b；当a＜b时，a⊕b＝ab－a.若(2x－1)⊕(x＋2)＝0，则x＝__________.14．按指定的方法解下列方程：(1)12(2x－1)2－32＝0(直接开平方法)；(2)3x2＋4x＋1＝0(配方法)；(3)x2－x－7＝0(公式法)；(4)x2－1＝3x－3(因式分解法)．15．小张和小林一起解方程x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0，所以3x＋2＝0或x－6＝0.方程的两个解为12 3x=-，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得x(3x＋2)＝6(3x＋2)，方程两边都除以(3x＋2)，得x＝6.小林说：“我的方法多简便！”可另一个解12 3x=-哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？16．有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32 cm2，求这两个正方形的边长．参考答案复习巩固1．C由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.故选C.2．D因为x2－x＋14＝0，即212x⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以x1＝x2＝1 2 .3．B4．B移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.5．A原方程可化为x2－3x－10＝0，即(x－5)(x＋2)＝0.故x－5＝0或x＋2＝0. 6．C因为x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，所以(－1)2－m－2m＝0，得13 m=.所以方程x2－6mx＝0即为x2－2x＝0，解得x1＝2，x2＝0.7．x1＝－2，x2＝3移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.8．±3由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.9．0或4把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.10．解：(1)因为将原方程整理，可得x2＋2x＝0，即x(x＋2)＝0，所以x＝0或x＋2＝0.所以x1＝0，x2＝－2.(2)整理，得(3x－1)2－[2(2x＋3)]2＝0，即[3x－1＋2(2x＋3)][3x－1－2(2x＋3)]＝0，(3x－1＋4x＋6)(3x－1－4x－6)＝0，(7x＋5)(－x－7)＝0，所以7x＋5＝0或－x－7＝0.所以157x =-，x 2＝－7. 能力提升11．B 因为方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－4，所以x 2＋px ＋q ＝(x －3)[x －(－4)]＝(x －3)(x ＋4)．12．C 由题意可得x ＋1＝0，则x ＝－1，即方程x 2－mx －7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m ×(－1)－7＝0.故m ＝6.13．－1或12若2x －1＜x ＋2，此时x ＜3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0，解得x 1＝－1，212x =，这两个解均符合题意．若2x －1≥x ＋2，此时x ≥3.根据定义，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)·(x ＋2)＋(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，这两个解均不符合题意．综上所述，x ＝－1或12x =. 14．解：(1)将原方程整理，得(2x －1)2＝64，开平方，得2x －1＝±8,2x ＝1±8，182x ±=，所以118922x +==，218722x -==-. (2)将原方程移项，得3x 2＋4x ＝－1，方程两边同时除以3，得24133x x +=-，配方，得22242123333x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2133x +=±，2133x =-±.所以1211333x =-+=-，221133x =--=-.(3)因为b 2－4ac ＝(－1)2－4×(－7)＝29，所以x =即1x =2x =. (4)原方程可化为x 2－1－3x ＋3＝0，即(x ＋1)(x －1)－3(x －1)＝0，(x －1)(x ＋1－3)＝0，于是x －1＝0或x －2＝0，所以x 1＝1，x 2＝2.15．解：小林的解法不对，因为3x ＋2可能为0，等式两边不能同时除以一个等于零的整式．16．解：设大正方形的边长为x cm，根据题意，得2242x⎛⎫+⎪⎝⎭－x2＝32.整理，得x2－16x＝0，即x(x－16)＝0.解得x1＝16，x2＝0(不合题意，舍去)．因此16×12＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm，小正方形的边长为12cm。

一元二次方程的解法同步练习含答案

一元二次方程的解法同步练习含答案一元二次方程的解法练习第1题.解一元二次方程x2?x?12?0，结果正确的是（）ａ．x1??4，x2?3ｃ．x1??4，x2??3答案：b第2题.若方程x2?m?0有整数根，则m的值可以是（只填一个）．1，，49，?答案：如m?0，ｂ．x1?4，x2??3ｄ．x1?4，x2?3第3题.方程x2?2x?0的解法．答案：x1?2，x2?0；第4题.方程x2?2x的解是x1?、x2?．答案：x1?0，x2?2；第5题.解方程：（1）x2?25?0；（2）(x?3)2?2．答案：（1）x1?5，x2??5；（2）x1??3?22，x2??3?222．22第6题.已知(x?y?1)?4，求x?y．答案：x?y?1．第7题.用配方法解方程：（1）2x?7x?4?0；（2）3x?2x?3?0．12?1?103?1?1032222答案：（1）x1?4，x2??；（2）x1?2，x2?．第8题.用分体式方法谋代数式x?5x?7的最小值．35?3?答案：x?5x?7??x最小值为．42?4?22第9题.用公式法解下列方程（1）x?23x?3?0；（2）x?x?1．22答案：（1）x1?x2?（2）x1?3；?1?25；x2??1?25．第10题.用公式法解关于x的方程x2?m(3x?2m?n)?n2?0．答案：x1?2m?n，x2?m?n．第11题.未知关于x的方程mx2?(2m?1)x?m?0存有两个实数根，则m的值域范围就是________答案：m≥?14且m?0第12题.方程2x(kx?4)?x2?6?0没有实数根，则k的取值范围是_______．答案：k?116且k?12第13题.当m为何值时，2x2?(m?2)x?2m?2?0存有两个成正比实数根，ZR19此时方程的求解．答案：b2?4ac?(m?2)2?8(2m?2)?0，?m1?2，m2?10．当m1?2时，方程解为x1?x2?1；当m2?10时，方程根为x1?x2?3．第14题.x?23x?3tan??0存有两个成正比的实数根，则锐角??________?．答案：45第15题.一张正方形硬纸片，其边长为60cm，要在它的四个面上各截取一个小正方形后（截取的小正方形边长相等）折成一个底面积为1600cm的无盖的长方体盒子，求截取的小正方形的边长．答案：求解：设立边长为xcm，依题意存有(60?2x)?1600解之得x1?10，x2?50（舍弃）请问：撷取的小正方形边长为10cm．第16题.一矩形铁片，长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，做成高是5cm，容积为300cm的无盖的长方体盒子，求铁皮的长和宽．3222答案：求解：设宽为xcm，则短为2xcm．依题意得5(2x?10)(x?10)?300．第17题.要做一个容积为750cm3，高为6cm，底面长比宽多5cm的无盖长方体盒子，应选用多大尺寸的长方形铁片？答案：求解：设长为xcm，则阔为?x?5?cm，依题意得6(x?12)(x?12?5)?750．第18题.直角上甩物体的高度h和时间t合乎关系式h?v0t?12其中重力加速度g以gt，210米／秒2计算．爆竹点燃后以初速度v0?20米／秒上升．问经过多长时间爆竹离地15米？答案：求解：设x秒．15?20x?12?10x2第19题.某物体在搞匀速运动时，路程s与时间t存有着以下关系式：s?15t?t2，何况：当t?_____时，该物体运动了250个单位长度．答案：10第20题.运动员掷标枪时，为使标枪掷出距离最远，应使标枪与水平线成45?角向斜上方v2扔出，扔出的距离s与标枪下手速度v之间满足用户s?命令标枪下手时的速度．答案：求解：48?v210若王成掷出来了48米的好成绩，?2，10?2，解之得v1?2105，v2??2105（舍去）第21题.两个数的差等同于5，内积等同于50，则这两个数就是______．10．?5或5，答案：?10，第22题.用一根长44cm的铁丝，折成一个面积为85cm的矩形，求此矩形的长和宽？答案：长为17cm，宽为5cm．第23题.某工厂生产一种产品，原来每件的成本价就是500元，销售价就是625元，经市场预测，现在该产品销售价第一个月将减少20%，第二个月比第一个月提升6%，为并使两个月后的原销售利润维持不变，该产品的成本价平均值每月应当减少百分之几？答案：10%第24题.某进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，若该商品每涨价1元，2其销售量增加10个，为了挣8000元利润，售价应当订为多少元？答案：60元或80元．第25题.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．答案：35或53．第26题.某商场今年一月份销售额60万元，二月份由于种种原因，倒闭，销售额上升10%，以后改进了管理，激发了员工积极性，月销售额大幅上升，到四月份销售额反猛增至96万元，谋三、四月份平均值每月增长率？答案：33.3%第27题.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值达175亿元，问二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为_________．答案：50?50(1?x)?50(1?x)2?175第28题.某服装原价为200元，连续两次涨价a%，售价为242元，则a的值为________．ａ．5答案：ｂ第29题.某种产品，原来每件的成本就是100元，由于已连续两次降低成本，现在的成本就是81元，则平均值每次降价成本（）ａ．8.5%答案：ｄ第30题.用适当的方法解方程：2（1）9(x?2)?16；（2）(x?3)?6x；（3）x?(3?1)x?ｂ．10ｃ．15ｄ．20ｂ．9%ｃ．9.5%ｄ．10%223?0．答案：（1）x1??23，x2??103；（2）x1?1，x2?9；（3）x1??3，x2??1．第31题.未知m?1?2，试解关于x的方程mx(x?1)?3?(2?x)?(2?x)．答案：当m?3时，意指x1?1，x2??214；当m??1时，意指x?1．第32题.已知方程(a?x)?4(b?x)(c?x)?0，求证：（1）此方程必有实数根；（2）若a，b，c为△abc的三边，方程存有两个成正比的实数根，则△abc为等边三角形．答案：证明：（1）b2?4ac?8?(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?≥0．?必存有实数根．（2）?方程有两个相等的实数根，?b2?4ac?0．abc，?△abc为等边三角形．(8715)第33题.已知5x2?xy?6y2?0（x≠0），求答案：?1或56yx的值．第34题.已知三角形两边长分别为3和8，第三边的数值是一元二次方程x2?17x?66?0的根，求此三角形的周长．答案：17第35题.以下方程中，没实数根的就是（）ａ．x?12x?1ｂ．y2?1?2yｄ．3x?2ｃ．x2?x?6?0答案：ｄ2x?2?0第36题.已知方程ax2?7x?2?0的一根是?2，那么a的值是_______，方程的另一根为__________．1答案：4，4第37题.长方形的短比阔多2cm，面积为48cm，则它的周长就是______．答案：28cm第38题.当x?______时，答案：?5第39题.若3x?2x?6的值8，则代数式答案：22第40题.代数式(2m?1)x?2(m?1)x?4是完全平方式，则m?_______．2x?3x与2x?15既是最珍根式又就是同类根式．232x?x?1的值是_______．2答案：1或5。

一元二次方程解法公式法练习试题

一元二次方程的解法－公式法同步练习一、选择题1 ．用公式法解方程 4x2-12x=3 ，获得（）．A ．x= 3 6 2B ．x= 3 623 2 3 3 2 3C ．x=D ．x=2 22 ．方程2 x2+4 3 x+6 2 =0 的根是（）．A ．x 1= 2 ，x 2= 3B ．x 1=6，x 2= 2C ．x 1=2 2 ，x 2= 2D ．x 1=x 2=- 63 ．（m2-n 2）（m 2-n 2-2 ）-8=0 ，则 m 2- n 2 的值是（）．A ．4B ．-2C ．4 或-2D ．-4 或 2二、填空题1 ．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是 ________，条件是 ________．2 ．当 x=______时，代数式 x 2-8x+12 的值是 -4 ．2+x+m 2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是 _____．3 ．若对于 x 的一元二次方程（ m-1）x三、综合提升题1 ．用公式法解对于 x 的方程： x2-2ax- b 2+a 2=0．2 ．设 x 1，x 2 是一元二次方程 ax 1+x 2=- 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导 x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导 x b a，x 1·x 2=c a ；3+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．（2）?求代数式 a （x 13．某电厂规定：该厂家眷区的每户居民一个月用电量不超出 A千瓦时， ?那么这户居民这个月只交 10 元电费，假如超出 A 千瓦时，那么这个月除了交 10?元用电费外超出部分还要按A每千瓦时元收费．100（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超出规定 A 千瓦时，则超出部分电费为多少元？（?用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电状况和交费状况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3 80 254 45 10依据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？答案:一、1．D 2 ．D 3 ．C二、1．x= 2 4 b b ac 2a，b 2-4ac ≥0 2 ．4 3 ．-32-4ac ≥0 2 ．4 3 ．-3 三、1．x=2 2 2 2a 4a 4b 4a2=a ±│b │ 2．（1）∵x 1、x 2 是 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1= 2 4 b b ac 2a，x 2=2 4 b b ac 2a ∴x 1+x 2=2 4 2 4 b b ac b b ac 2a=- b a， x 1·x 2= 2 4 b b ac 2a · 2 4b b ac2a= c a （2）∵x 1，x 2 是 ax 2+bx+c=0 的两根，∴ ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0 3 2 3 2原式=ax 1 +bx 1 +c 1x 1+ax 2 +bx 2 +cx 2=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ）=03．（1）超出部分电费 =（90-A ）· A 100=- 1 100 A 2+ 9 2+ 9 10 A（2）依题意，得：（80-A ）· A 100=15，A 1=30（舍去），A 2=50。

人教版数学九年级上学期课时练习-一元二次方程解法-公式法(巩固篇)(人教版)

专题21.10 一元二次方程解法-公式法（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、解一元二次方程--公式法1．方程210x x +-=的根是（）A ．1B C ．1-+ D 2．定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（）A ．－1B ．－1CD ．1 3．对于方程2x 2x 2m -+=，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于（）A ．1B ．2C ．D ．2.54．设x 1为一元二次方程2x 2﹣4x ＝54较小的根，则（）A ．0＜x 1＜1B ．﹣1＜x 1＜0C ．﹣2＜x 1＜﹣1D ．﹣5＜x 1＜﹣92类型二、根的判别式5．关于x 的一元二次方程()22x k x k --=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．已知关于x 的一元二次方程2()0x m n x mn +++=，其中m 、n 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定7．定义运算：a ※b ＝3ab 2﹣4ab ﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定8．对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ※若0a b c ++=，则240b ac -≥；※若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；※若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立； ※若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型三、根据一元二次方程求参数9．若关于x 的方程240x mx -+=有实数根，则m 的值可以是（）. A ．1B ．2C ．3D ．410．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程2100x x k -+=的两个根，则k 的值为（）A ．21B ．25C ．21或25D ．20或2411．关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．14k ≥且1k ≠± B ．14k ≥且1k ≠ C ．14k >D ．14k ≥ 12．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，则一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限类型四、公式法在几何中的应用13．已知△ABC 为等腰三角形，若BC ＝6，且AB ，AC 为方程x 2﹣8x +m ＝0两根，则m 的值等于（）A ．12B ．16C ．﹣12或﹣16D ．12或1614．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出AD 、BC 的中点G 、H ，再折出线段AN ，然后通过沿线段AN 折叠使AD落在线段AH 上，得到点D 的新位置P ，并连接NP 、NH ，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程210x x +-=的一个正根，则这条线段是（）A ．线段BHB ．线段DNC ．线段CND ．线段NH15．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm 2，则它移动的距离AA ′等于（）A ．12cmB cmC ．14cm 或34cmD cm 16．如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得A′D′对应边过点C ，若※B ＝60°，AB ＝2，当A′E※AB 时，AE 的长是（）A ．B ．2CD ．二、填空题类型一、解一元二次方程--公式法17．方程6022x x x +=-+的解为________．18x 的取值范围是 _____．19．已知2252,b 52,a ab则a b +的值=___________20．若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于_______.类型二、根的判别式21．关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣3）x +1﹣k ＝0的根的情况是_____． 22．一元二次方程2310x x -++=的根的判别式的值是______．23．当b +c =5时，关于x 的一元二次方程3x 2+bx ﹣c =0的根的情况为____．24．已知a ，b ，c 为常数，点P （a ，c ）在第二象限，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况是_____．类型三、根据一元二次方程求参数25．若一元二次方程230x x c -+=没有实数根，则常数项c 的最小整数值为_______． 26．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +c =0有两个相等的实数根，则1a﹣c +1的值等于_______．27．已知关于x 的方程260x x k +-=无实数根，则k 满足的条件是______．28．已知关于x 的不等式组0721x m x ->⎧⎨->⎩无解，且关于y 的一元二次方程2410my y ++=有两个实数根，则整数m 的值可以是______类型四、公式法在几何中的应用29．如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则ba的值是___．30．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若2AM BM AB =⋅，2BN AN AB =⋅，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m n -=_______．31．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S ，则nm的值为______．32．如图是“赵爽弦图”，※ABH 、※BCG 、※CDF 和※DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于___三、解答题33．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +- 解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭左边用平方差公式可化为22713=122x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．再移项，开平方可得x 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．34．解下列方程：（1）x 2﹣6x +8＝﹣1；（2）2x 2﹣4x ﹣3＝0．35．已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m 的值．36．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0．(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．37．如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是AD上一点，且AE=m（m是常数），作※BAE 关于直线BE的对称※BFE，延长EF交直线BC于点G.(1)求证：EG=BG；(2)若m=2．※当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；※当直线BF经过点D时，直接写出AB的长．参考答案：1．D观察原方程，可用公式法求解. 解：※1a =，1b =，1c =-，※241450b ac -=+=>，※x =；故选：D .【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．B 【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．解：当x>0时，有2322x x x --=，解得1x =2x =(舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)．故选B.【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．3．B 【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．解：原方程可化为x 2-2|x|+2-m=0，解得※若10，则方程有四个实数根， ※方程必有一个根等于0，0，※1，解得m=2．【点拨】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．4．B 【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案．解：2x 2-4x=54，8x 2-16x -5=0，=※x 1为一元二次方程2x 2-4x=54较小的根，※x 11=，※5＜6， ※-1＜x 1＜0．故选B ．【点拨】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．5．A 【分析】对于()200++=≠ax bx c a ，当0∆>，方程有两个不相等的实根，当0∆=，方程有两个相等的实根，0<，方程没有实根，根据原理作答即可.解：将()22x k x k --=转换为一般式为()220x k x k ---=则222424140b ac k k k所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键.6．A 【分析】根据根的判别式Δ=(m +n )²-4mn =(m -n )²＞0，判定根的情况有两个不相等实数根. 解：由图看出m n ≠，※m +n ≠0，m -n ≠0，※2()0x m n x mn +++=是关于x 的一元二次方程， ※Δ=(m +n )²-4mn =(m -n )²＞0， ※原方程有两个不相等的实数根故选A【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键.7．B 【分析】利用新定义得到6x 2﹣8x ﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．解：由新定义得6x 2﹣8x ﹣2＝0，※Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0， ※方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．8．C 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．解：※若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b 2-4ac ≥0，故※正确； ※方程ax 2+c =0有两个不相等的实根， ※Δ=0-4ac ＞0，※-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，※方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故※正确；※※c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，※c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故※不正确；※若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0，※2ax0+b※b2-4ac=（2ax0+b）2，故※正确．故正确的有※※※，故选：C．【点拨】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．9．D【分析】根据根的判别式，确定ｍ的范围，后判断．解：※关于x的方程240-+=有实数根，x mx※△=240-≥，b ac※24140m-⨯⨯≥，即216m≥，故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．10．B【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．方程x 2﹣10x +k ＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k ≥0，得k ≤25．※当底边长为3时，另两边相等时，则a +b ＝10，※另两边的长都是为5，※k ＝ab ＝25；※当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x 2﹣10x +k ＝0的根，则32﹣10×3+k ＝0解得k ＝21解方程x 2﹣10x ＋21＝0解得另一根为：x ＝7．※3+3＜7，不能构成三角形．※k 的值为25．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．11．D【分析】分两种情况讨论：※2(1)k =0，为一元一次方程；※2(1)k ≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．解：※当2(1)k =0时1k =，此时方程为310x +=，有实数根；※当2(1)k ≠0时1k ≠，此时方程为为一元二次方程，※方程有实数根※22(21))1(04k k +--∆=≥，解得：14k ≥综上所述：14k ≥故选：D【点拨】本题主要考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．12．A【分析】根据判别式的意义得到△2(2)40m =-+<，解得1m <-，然后根据一次函数的性质可得到一次函数(1)1y m x m =++-图象经过的象限．解：一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△0<，∴△44()440m m =--=+<，1m ∴<-，111m ∴+<-，即10+<m ，111m -<--，即12m -<-，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选：A ．【点拨】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式△=-24b ac ：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．13．D【分析】由△ABC 为等腰三角形，BC ＝6，且AB ，AC 为方程x 2﹣8x +m ＝0两根，可得两种情况：※BC ＝6＝AB ，把6代入方程得36﹣48+m ＝0※AB ＝AC ，此时方程的判别式为0，分别求解即可．解：※※ABC 为等腰三角形，若BC ＝6，且AB ，AC 为方程x 2﹣8x +m ＝0两根，则※BC ＝6＝AB ，把6代入方程得36﹣48+m ＝0，※m ＝12；※AB ＝AC ，此时方程的判别式为0，※Δ＝64﹣4m ＝0，※m ＝16．故m 的值等于12或16．故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．B【分析】设ND=x ，由折叠可得DN=NP=x ，则NC=1x -，根据勾股定理可得NP 2+PH 2=CN 2+CH 2，列出方程求出x 的值，进而可得DN 的长度可以用来表示方程210x x +-=的一个正根．解：解方程210x x +-=，得：12x x ==．※方程210x x +-=的一个正根为x =由折叠可知：※AD=AP=AB=1，CH=BH=12， ※A 选项不符合题意；设ND=x ，由折叠可知：DN=NP=x ，则NC=1x -，==※PH=AH -1=， ※※NPH=※D=※C=90°，※NP 2+PH 2=CN 2+CH 2，※()2222112x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：x =即DN = ※B 选项符合题意；NC=11x -==， ※C 选项不符合题意；在Rt※NHP 中，※BCG=90︒，，※D选项不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查了解一元二次方程、正方形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握翻折变换的性质．15．D【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，由平移的性质知AC※A'C'，A'B'※CD，※四边形A'HCG是平行四边形，※※A＝45°，※D＝90°，※※A′HA是等腰直角三角形，同理，△HCB′也是等腰直角三角形，设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，※x•（2﹣x）＝1，2※x cm）．即AA′cm）．故选：D．【点拨】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.16．B【分析】先延长AB ，D'A'交于点G ，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC ＝BG ＝BA ，设AE ＝x ＝A'E ，则BE ＝2−x ，GE ＝4−x ，A'G ＝2x ，在Rt △A'GE 中，依据勾股定理可得A'E 2＋GE 2＝A'G 2，进而得出方程，解方程即可．解：如图所示，延长AB ，D'A'交于点G ，※A'E※AB ，※EA'C ＝※A ＝120°，※※BGC ＝120°﹣90°＝30°，又※※ABC ＝60°，※※BCG ＝60°﹣30°＝30°，※※BGC ＝※BCG ＝30°，※BC ＝BG ＝BA ，设AE ＝x ＝A'E ，则BE ＝AB ﹣AE ＝2﹣x ，A'G ＝2x ，※GE ＝BG+BE ＝2+2﹣x ＝4﹣x ，※Rt △A'GE 中，A'E 2+GE 2＝A'G 2，※x 2+（4﹣x ）2＝（2x ）2，解得：x ＝﹣（负值已舍去）※AE ＝2，故选B ．【点拨】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．17．1244x x =-+=--【分析】利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；解：6022x x x +=-+ 方程两边都乘（x -2）（x +2），得：x （x +2）+6（x -2）=0，去括号，得：226120x x x ++-=，移项、合并同类项，得：28120x x +-=，解得：1244x x =-+=--检验：当14x =-+（x +2）（x -2）≠0，当24x =--（x +2）（x -2）≠0，※1244x x =-+=--【点拨】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验．18．﹣3≤x ≤12且x≠4-+ 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．有意义，必有300120x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩①②③，解※得3x ≥-解※移项得x ≠两边平方得整理得2840x x +-≠解得425x ≠=- ※12x ≤ ※解集为﹣3≤x ≤12且x ≠4-+ 故答案为：﹣3≤x≤12且x ≠4-+a≥0a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．19．5-或5-【分析】依题意解252x x 后，分a=b 与a b 进行讨论即可．解：依题意得a,b 是方程252x x的解，解252x x 得：12x x ==当a b ==时，a+b=当a b ==a+b=当a b 时，a b 5+==-，故答案为：5-或5-【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．20．2【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．解：根据题意:x 2-x -2=0,且x 2+2x+1≠0解x 2-x -2=0，解得x=2或x=-1．当x=2时，分母x 2+2x+1=9≠0，分式的值为0；当x=-1时，分母x 2+2x+1=0，分式没有意义．所以x=2．故填2.21．有两个不相等的实数根【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k ﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．解：△＝（k ﹣3）2﹣4（1﹣k ）＝k 2﹣6k +9﹣4+4k＝k 2﹣2k +5＝（k﹣1）2+4，※（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，※方程总有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查根的判别式以及配方法，只要涉及到一元二次方程根的情况，就要用到根的判别式，将根的判别式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成完全平方的形式，再进行分析.22．13【分析】根据※=b2-4ac计算可得答案．解：※a=-1，b=3，c=1，※※=32-4×(-1)×1=13，故答案为：13．【点拨】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（※=b2-4ac）是解题关键．23．有两个不相等的实数根【分析】由b+c=5可得出c=5-b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=（b-6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b-6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根．解：※b+c=5，※c=5-b．△=b2-4×3×（-c）=b2+12c=b2-12b+60=（b-6）2+24．※（b-6）2≥0，※（b-6）2+24＞0，※※＞0，※关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当※＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．24．有两个不相等的实数根【分析】根据第二象限坐标符号特点，从而确定a、c的符号，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况．解：P a c点（，）在第二象限，00a c∴＜，＞，ac∴＜240b ac∴-＞，※方程有两个不相等的实数根.故答案为有两个不相等的实数根.【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与※=b2-4ac有如下关系：※当※＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；※当※=0时，方程有两个相等的两个实数根；※当※＜0时，方程无实数根．25．3【分析】由方程没有实数根可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论．解：※关于x的一元二次方程230x x c-+=没有实数根，※※=234940c c-=-<，解得：94c>，c的最小整数值是3，故答案为：3．【点拨】本题考查了根的判别式，牢记当0<时，方程有实数根是解题的关键．26．1【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2-2x+c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．解：根据题意得：※()224440ac ac=--=-=，解得：1ac=，※方程ax2-2x+c＝0是一元二次方程，※a ≠0，等式两边同时除以a 得：1c a=，则111c a -+=．故答案为1．【点拨】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．27．9k <-【分析】一元二次方程()200ax bx c a ++=≠无实数根的条件是240b ac =-<，依此列不等式求出k 的范围即可．解：※该一元二次方程无实数根，※243640b ac k =-=+<，解得9k <-．故答案为：9k <-．【点拨】本题考查了一元二次方程无解的条件，解题关键是根据无解的条件列出不等式求解．28．3，4．【分析】先利用不等式组的解集情况可确定m ≥3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m ≠0且※＝42－4m ≥0，解得m ≤4且m ≠0，所以m 的范围为3≤m ≤4，然后找出此范围内的整数即可．解： 0721x m x ->⎧⎨->⎩①②，解不等式※，得x ＞m ，解不等式※，得x ＜3，※关于x 的不等式组无解，※m ≥3，※关于y 的一元二次方程2410my y ++=有两个实数根，※※＝42－4m ≥0，且m ≠0，解得m ≤4且m ≠0，※3≤m ≤4，※符合条件的整数m 为3，4．故答案为：3，4．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与※=b 2-4ac 有如下关系：当※＞0时，方程有两个不相等的实数根；当※=0时，方程有两个相等的实数根；当※＜0时，方程无实数根．也考查了解一元一次不等式组．熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式组的解法是解题的关键．29【分析】等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形四边形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得()21()2+=++a b a a b b ，求出a 和b 之间的关系即可得出结论．解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平行四边形，※等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积，由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为()a b +，由图（2）可知：平行四边形的底边长为()++a b b ，高为a ， ※()21()2+=++a b a a b b ， ※2220b ab a --=， ※2210⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b a a解得：1b a 或1=b a（舍去），※b a 1．1【点拨】本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边形的面积公式．解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等．30．8##8-+【分析】设AM=x ，根据2AM BM AB =⋅列一元二次方程，求出x ，得出AM =BN=2，从而求出MN 的长，即m -n 的长解：由题意得：AB =b -a =4，设AM =x ，则BM =4-x ，由2AM BM AB =⋅，可得：24(4)x x =- ，解得：12x =-+22x =--则AM =2-+BN =2-+所以AB=AN+NM+MB=AN+NM+NM+MB -MN=AM+NB -MN所以MN =m -n =AM +BN -4=2AM -4=2(2-+-4=8故答案为8【点拨】本题考查了数轴上两点的距离和一元二次方程，以新定义的形式给出，解题的关键是理解题意，灵活应用线段的和差关系．31【分析】如图（见解析），设AB CD a ==，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出12,S S 的值，再根据12S S 建立等式，然后根据212S S m 建立等式求出a 的值，最后代入求解即可．解：如图，由题意得：AC m =，BD n =，AB CD =，ABC 是直角三角形，且,m n 均为正数则大正方形的面积为22AC m小正方形的面积为22BD n设(0)AB CD a a ==> 则222114422RtABD S S n AB BD n an n 2214422ACD S S CD AB a 12S S 2222an n a又212S S m ，即222S m224a m 解得2m a =或2m a （不符题意，舍去）将2m a =代入2222an n a 得：222m mn n 两边同除以22m 得：222()1n n m m 令0nx m则2221x x解得x =或3102x （不符题意，舍去）即n m．【点拨】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出12,S S 的值是解题关键．32．6【分析】由全等可知：AH ＝DE ，BH ＝BG ＋HG ，由直角三角形可得222AH HB AB +=，列出方程即可解决问题解：由全等可知：AH ＝BG ，BH ＝BG ＋HG =AH+HG ，四边形EFGH 是正方形，2HG EF ∴==，在Rt ABH 中设 AH x =，则2HB x =+，222AH HB AB +=，即222(2)10++=x x ，解得：126,8x x ==-（舍去），6AH ∴=，故答案为：6．【点拨】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键．33．)240x b ac =-≥ 【分析】根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式x ，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可．解：※()200++=≠ax bx c a ※2b c x x a a+=- ※b c x x a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 取x 与b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的平均值2b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即将x 与b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭ 240b ac -≥开平方可得：b x 2a =-2b a -±=．【点拨】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题步骤是解题的关键．34．（1）x 1＝x 2＝3；（2）x 1，x 2 【分析】（1）先移项，合并后根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x 2﹣6x+8＝﹣1，x 2﹣6x+8+1＝0，x 2﹣6x+9＝0，（x ﹣3）2＝0，x ﹣3＝±0，※x 1＝x 2＝3；（2）2x 2﹣4x ﹣3＝0，2x 2﹣4x ＝3，x 2﹣2x ＝32， x 2﹣2x+1＝32+1，（x ﹣1）2＝52，开方得：x ﹣1＝x 1，x 2 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．35．（1）5m ＜；（2）3m =【分析】（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．解：（1）※关于x 的方程26210x x m -+-=有两个实数根，※()()264218400m m ∆=---=-+>，解得，5m ＜；（2）由题意得，x ※x 为整数，且m 为正整数，※3m =或5m =，又※5m ＜※3m =．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．36．(1)证明见解析 (2)﹣1（答案不唯一）【分析】（1）由题意知()()()222242412442b ac mm m m m ∆==⨯⨯-=+=-++-﹣，判断其与0的关系，即可得出结论；（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．解：(1) 证明：由题意知()()()222242412442b ac mm m m m ∆==⨯⨯-=+=-++-﹣ ※（m +2）2≥0，※※≥0，※关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0总有实数根；(2)解：由（1）知，※＝（m +2）2，※x ()222m m -+±+==，※12222m m x -+++==，2222m m x m -+--==-， ※方程有一根小于2，※﹣m＜2，※m＞﹣2，※m为整数，※满足条件的m的一个值为﹣1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．37．(1)点G是与点C重合，见分析；(2)※见分析，【分析】（1）欲证明EG=BG，只要证明※EBG=※BEG即可；（2）※如图1中，过点E作EH※BG 于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt※EHG中，EG2=EH2+HG2，构建方程求出x，即可判断；※由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则1212ABEBEDAB AES AES DEBD EF∆∆⨯⨯==⋅⋅，推出14ABBD=，设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt※DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得结论；(1)解：※四边形ABCD是矩形，※AD※BC，※※AEB=※EBG，※※ABE与※FBE关于BE对称，※※AEB=※BEF，※※EBG=※BEF，※EG=BG；(2)解：※点G与C重合；理由：如图1中，过点E作EH※BG于点H，则四边形ABHE是矩形，※EH =AB =6．AE =BH =2，设BG =EG =x ，在Rt ※EHG 中，EG 2=EH 2+HG 2， ※x 2=62+（x -2）2，※x =10，※BC =AD =10，BG =10，※点G 与C 重合；※如图2中，由轴对称的性质可知AB =BF ，AE =EF =2， ※,1028••1212ABE BED AB AE SAE ED AD AE S DE BD EF ⨯⨯===-=-=， ※14AB BD = ， ※设AB =k ，BD =4k ，则DF =3k ，在Rt △DEF 中，DE 2=EF2+DF 2， ※82=22+（3k ）2，※k =（负根已经舍去）， ※AB 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题．。

一元二次方程解法————公式法(含答案)

一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。

21、2、2解一元二次方程——公式法(第2课时)同步练习 21-22学年人教版数学九年级上学期

初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）一、单选题1.当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定2.方程的根是（）A. B. C. D.3.关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）B. m≥ 且m≠2C. m≤ 且m≠﹣2D. m≥A. m≤ 144.用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的过程中，a、b、c的值分别是（）A. a=3 b=﹣1 c=﹣2B. a=﹣2 b=﹣1 c=3C. a=﹣2 b=3 c=﹣1D. a=﹣1 b=3 c=﹣25.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A. B. xC. D.6.以x=为根的一元二次方程可能是（）A. x2+bx+c=0B. x2+bx﹣c=0C. x2﹣bx+c=0D. x2﹣bx﹣c=07.对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数，如max{2,4}=4,按这个规定，方程的解为( )A. 1-√2B. 2-√2C.D. 1+√2或-18.定义：如果一元二次方程满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A. a=cB. a=bC. b=cD. a=b=c二、填空题9.用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程________．10.若x2+3xy﹣2y2=0，那么x y=________11.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是________12.用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=________，x1=________，x2=________．三、计算题13.解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0.14.解方程：15.解下列方程：（1）（2）2x2+3x+3=0四、解答题16.小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴（第三步）∴x1=5+√212，（第四步）（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________．（2）写出此题正确的解答过程．17.关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．18.已知关于x的方程kx2+（k+3）x+2＝0，求证：不论k取任何非零实数，该方程都有两个不相等的实数根.19.已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二、填空题9.【答案】10.【答案】11.【答案】四；平方根的定义．12.【答案】41；；．三、计算题13.【答案】解：方程化为x2﹣5x+2＝0∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，则x＝，，x2＝故x1＝5+√17214.【答案】解：．15.【答案】（1）解：∵a=1，b=3，，，（2）解：∵a=2，b=3，c=3，∴．∴原方程无实数根．四、解答题16.【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴∴x1=5+√292，．17.【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得：，∴，∴，∴，∴，又∵当时，所给方程不是一元二次方程，∴．18.【答案】解：由题意可知：k≠0，∴△＝（k+3）2﹣8k＝k2+6k+9﹣8k＝k2﹣2k+9＝k2﹣2k+1+8＝（k﹣1）2+8＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.19.【答案】解：由已知得：，解得：．20.【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k2-k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=（2k）2-4（k2-k）=4k＞0，∴k＞0，∴实数k的取值范围是k＞0．（2）把x=0代入方程得：k2-k=0，解得：k=0，k=1，∵k＞0，∴k=1，即0是方程的一个根，把k=1代入方程得：x2+2x=0，解得：x=0，x=-2，即方程的另一个根为x=-2．。

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课题一元二次方程的解法（公式法）
[学习目标]
1、会用公式法解一元二次方程。

2、了解一元二次方程根的判别式。

3、灵活运用一元二次方程的各种解法解方程.
[学习流程]
·流程一·
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
2、用配方法解一般形式的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax
3、一元二次方程的求根公式：
·平行训练·
用公式法解下列方程:
(1)2 x 2＋x －6＝0； (2) 0422
=+-x x ；
(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.
·合作探究·
用公式法解方程：3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).
·流程二·
4、一元二次方程的根的判别式
关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是：
5、性质
（1）当b 2－4ac ＞0时，；
（2）当b 2－4ac ＝0时，；
（3）当b 2
－4ac ＜0时，
·平行训练·
1、不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况。

2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

·合作探究·
解方程：2x 2－x －3=0观察它的两个根，并计算两根之和，两根之积分别等于多少？你能得到什么结论吗？
·流程三·
现在，你学会了几种解一元二次方程的方法了？你能灵活的选择合适的方法来解一元二次方程吗？下面我们来试一试
·平行训练·
用适当的方法解下列方程：
（1）3x 2－4x ＝2x ；（2）
3
1（x ＋3）2＝1；
（3）x 2＋(3＋1)x ＝0；（4）x （x －6）＝2（x －8）；
（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16；
·合作探究·
已知y 1＝2x 2
＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？
学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
达标测评
1．用公式法解下列方程：
（１）2220x x +-=；（２）2
3470x x +-=；
（３）22810y y +-=；（４）212308x x -+
=．
2．用适当的方法解下列方程：
（１）2(2)3y -=；（２）2(23)3(43)x x +=+；
（３）2320x x --=；（４）(1)(2)5x x -+=．
[我的收获—我快乐]________________________________________
[我的不足—我改正]
你有做错的题吗？请你记录下来并更正到错题记录本！ ____________________________________。