章伯努利方程

应用2．水流对喷嘴的合力
已知:管径,d1,d2,截面1的
表压强p1-pa,
求为固定喷嘴所需的力F.
设喷嘴给水流的合力为F，则
（p1－pa）A1－(p2－pa）A2－F =ρQ(V2－V1)
∵p2=pa ∴F=(p1－pa）A1－ρQ(V2－V1)
今求V1和V2
p 1
g
V2 1
2g
p 2
g
V2 2
g
2g
单位：mH 2O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头,
即：沿流线总水头守恒
伯努利方程
三种形式：
1) 能量形式 2) 压头形式 3) 水头形式
gz p V 2 const
2
单位：J/kg
gz p V 2 const 单位：Pa
2
z p V 2 const
g 2g
V sin
R
应用8 叶轮机械基本方程
1、伯努利方程
采用动坐标，离心惯性力属质量力
沿动坐标的一条流线S:
由于p1=p2=pa,忽略
重力作用,在水平面上， 位置水头一致，则有:
V1=V2=V 伯努利方程
0 F
Q1V1 Q2V2 0 Q(V sin
QV cos ) QV sin
X方向
y方向
因:Q1+Q2=Q
所以:
Q1
1 2
(1
cos
)Q,
Q2
1 2
(1 cos
)Q
应用5. 射流对固定叶片的作用力
p2
p1
u22
u12 2
0
l du g(x sin ) g(x sin ) 0
dt
u dx ,
令 g(sin sin ) 2
dt
l
x x sint
0
d2x dt 2
2
x
0
例 习题3-21
水库的出水管设有调压井, 已知
l,d,h,D,求调压井水面的震荡周期
解:
s2 u
s1 t
s
s
s
u2
p
( gz ) 0
s 2
u2
p
gz c
2
u2
p
z c
2g g
伯努利方程
•伯努利方程的物理意义
能量意义： p gz V 2 常数
2
单位：J/kg
沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
p gz V 2 常数
2
单位：Pa
沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒
几何意义： p z V 2 常数
§3-7 总流的伯努利方程
总流：全部流束的总体
研究总流在截面1—1和2—2的部份，取某一流束，
速度和截面积为u1, dA1和u2，dA2。
伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
不可压缩连续方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2
(z1
A1
p1
g
u12 2g
)u1dA1
求水坝给水流的合力F.
F
1 2
g (h12
h22
)
Q(V2
V1 )
F
1 2
g (h12
h22 )
Q(V2
V1 )
F
Q(V2
h1
pa
g
V1 ) V12
2g
V22
h2
h2
(1
h2 h1
pa V22
g 2g
)
g ( h1 h2 )3 2 h1 h2
应用4．射流对固定平板的作用力
单位：mH2O
伯努利方程应用
1、静压管、总压管测速度
p 1
u2
p 0
g 2g g
P0=Pa+ρg(Δh+x)
P1=Pa+ρg x
u1
2g p0 p1
g
2gh
伯努利方程应用
2、 毕 托管 (Pitot Tube) 测流速
用于测点速度.
沿流线伯努利方程
z0
p0
g
u02 2g
z1
p1
g
u12 2g
总流伯努利方程应用
1、文丘里流量计(Venturi Meter) 对截面1和2，总流伯努利方程
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
2
V22 2g
V1 A1 V2 A2
V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1( d
)4
( z1
z2
p1 p2 )
g
D
文丘里流量计
如果用水银压差计测压差则有
2
)
其中，P为风机的静压头，[Pa]
2、水泵
(
z1
p1
g
V12 2g
)
H
(
z2
p2
g
V22 2g
)
其中，H为水泵的扬程，[mH2O]
3、涡轮机
( gz1
p1 V12
2
) ( gz2
p2
V22 2
) N
其中，N为涡轮机的输出功，[J/kg]
§3-8 非定常的伯努利方程
非定常一元流动的运动方程：
总流的动量方程与动量矩方程
总流的动量方程 :
( VQ) 流出
(VQ) 流入
F
对圆管层流，β=4/3， 工程上的管流为紊流，β≈1.02~1.05 ≈1
应用1．水流对弯管的作用力
分析管壁受力
设：为固定弯管所需外力为F
则F
(
p
p a
)ndA 0
0
A0
即
F
(
p
p )ndA
a
0
A0
分析控制体内水的受力
总流伯努利方程应用
22
2、烟囱排烟原理 对截面1和2，总流伯努利方程
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
2
V22 2g
1
1
V1 A1 V2 A2
V1 V2 A2 A1 (d D)2
V2
2g 1( d
)4
( z1
z2
p1 p2 )
g
D
设烟囱周围大气压为 Pa1，Pa2
则烟囱正常排烟时，P P
2
a2
但 Pa2 Pa1 a g H
22
Z2 Z1 H
1
1
由 P P 得到
2
a2
P1
Pa1
(
a
)
gH
1 2
( V12
V22
)
称为烟囱的自然抽力，通常为负值。
可见，H越大时，烟囱的自然抽力也越大。
总流伯努利方程的推广（流体对外界作功）
1、风机
(
gz1
p1
V12
2
)
P
(
gz2
p2
V22
p1+ρg(x+Δh)=p2+ρg(z2-z1+x)+ρ’gΔh
p1 p2
g
z1
z2
(,
/
1)h
Q
A2V2
d 2
4
2g( , / 1)h
1 (d / D)4
考虑到流体的粘性影响及制造工艺等 因素，流量应乘上一个流量系数μ， 实验方法测定，一般取0.95-0.98。
文丘里效应
文丘里效应简单说就是，当空气从一个比较广大的空间流向比较 狭窄的端口时，在阻挡物的背风面上方端口附近气压相对较低， 产生的吸附作用使空气流动自然加速。这是美国著名建筑设计大 师赖特设计的一个房子，利用文丘里效应来冷却中间的空间。
F 2 u2dy 2V02h1
0
物体阻力
h1为上游半宽,待求. F为物体给流体的合力(即阻力)
h2
2V0h1 2 udy
0
即
h1 2 h2
连续性方程
F
(4
1) V02 h2
应用7．洒水器转速
设ω为顺时针方向，则阻力矩 为逆时针方向，则
M=ρQ（V sinθ－ωR）R
阻力为零时， M=0，则
2g
VA V A
11
22
∵p2=pa
得
p
p
1
V
2[1
(
A 2
)2
]
1
a2
2
A
1
F ( p p ) A [1
2
](p
p
)A
A 1
A 1 2
1
a
1
1 A A
1 a 1 A A 1
1
2
1
2
思考: 如果已知d1,d2,及流量Q, 外力F是多少?
应用3．
水流对水坝的合力 (溢流坝）
已知:上下游水深h1和h2,
解:V1=1.13m/s,V2=2.55m/s
p1
g
V12 2g
p2
g
V22 2g
得 p2-pa=p1-pa+ρ(V12-V22)/2=506.6N
F x=(p1-pa)A1-(p2-pa)A2cosθ -ρQ(V2cosθ -V1)=506.6N
F y=(p2-pa)A2sinθ-ρQV2 sinθ =249.5N
§3-5 伯努利方程 (Bernoulli equation,1738)
一、理想流体定常流的伯努利方程
a f 1 p
s s s
u u a u
s t s
f g cos g z
s
s
u u g z 1 p
s s s
u u g z 1 p
s s s
(u2 / 2) (gz) ( p / )
s2 u
s1 t
ds g(z2
z1)
p2
p1
u22
u12 2
0
即
du
u2
l gh 0
dt
2
u
0
du gh u2
2
1 t dt l0
例: U形管中的液体振荡
初始时，液面在虚线上
振荡时，左液面向下位移x，右液面向上位移x。
设液柱之长为l
s2 u
s1 t
ds g(z2
z1)
习题
3-2 3-9
3-15 3-18
§3-9 动量方程与动量矩方程
运动微分方程 式3-10
流体对物体 的作用力
表面压强 积分求解
动量方程 动量矩
§3-9 动量方程与动量矩方程
质点动量方程 • 系统的动量方程：
d
(mV ) F
dt
d dt
Vd
F
• 对于控制体，不计粘性力影响,则有动量方程（3-9）
2
a
22
2
2
1
1
F
(p
p
)nA
(p
p
)nA
QV
QV
1
a
11
2
a
22
2
2
1
1
投影式
Fx ( p1 pa ) A1 ( p2 pa ) A2 cos Q(V2 cos V1)
F ( p p ) A sin QV sin
y
2
a
2
2
例:求固定弯管所需外力
已 知 :Q=0.08 m3/s,d1=0.3m,d2=0.2m, θ=30°,p1-pa=12kN/m2,求F x ,F y.
(z2
A2
p2
g
u22 2g
)u2dA2
总流的伯努利方程
设两截面处在缓变流中，在1—1和2—2
截面上，z+p/ρg=常数,则
(z
A
p
g
)dQ
(z
p
g
)Q
令 u2 udA V 2 V A
A 2g
2g
V为 截面平均速度
1
u3 ( ) dA
称为动能(通量)修正系数
AA V
对圆管层流，α=2，
ds g(z2
z1)
p2
p1
u12
u12 2
0
du dV
V2 0
l h gy
0
dt dt
2
u d 2 V D2
4
4
D2 dV
V2
(h l ) gy 0
d 2 dt
2
忽略 V 2 , 2
且V dy , dt
令 2
h
g
l
D2 d2
d2y dt 2
2
y
0
其解为 y=y0sinωt
fr
g
cos
g
z r
u 2 (gz p )
r r
u2 (gz p )
r r
当r 时,
(gz p ) 0,
r
即沿流线法向
z p 常数
g
曲率半径很大时，沿流线的法向，压强服从静压分布公式
缓变流和急变流的概念: 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处 的流动称为缓变流.否则称为急变流.
工程上的管流为紊流，α≈1
( z1
p1
g
1
V12 2g
)Q1
(z2
p2
g
2
V22 2g
)Q2
Q1 Q2
z1
p1
g
1
V12 2g
z2
p2
g
2
V22 2g
z, p 通常在截面中心取值。
它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计 算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用
此式。
总流伯努利方程应用举例
静压管和总压管
z0 z1, u0 0,
u1
2g p0 p1
g
伯努利方程应用
3、小孔定常出流
对0—0和1—1：
z0
pa
g
z1
pa
g
1
V12 2g
1 1, z0 z1 h
V1 2gh 平均速度
§3-6 压强沿流线法向的变化
设流线某处的曲率半径为r 。
ar
fr
1
p r
u2 ar r ,
射流对运动叶片所作的功率 :
P Fxu (V0 u)2uA0 (1 cos )
应用6．物体阻力
物体上游速度均布V0.
物体下游的速度分布为
u(
y)
wenku.baidu.com
V0
sin(
y
2h2
)
u( y) V0
y h2
试用动量定理求物体的阻力.
y h2
取如图的两条流线，对控制体应用动量方程（表压为0）：
h2
（弯管水平，不计重力，f项不计）
pndA ( p pa )ndA
A
A
( p pa )ndA ( p pa )ndA ( p pa )ndA
A1
A2
A0
( p1 pa )n1A1 ( p2 pa )n2 A2 F
F
(p
p
)nA
(p
p
)nA
QV QV
1
a
11
设叶片给水体的合力为Fx和Fy,
如图所示,不计重力作用
Fx A0V0 (V0 cos V0 )
Fy
A0V
2 0
sin
应用5
射流绝对速度为V0, 叶片运动速度为u. 控制面上流体的相对速度为V0-u
Fx (V0 u)2 A0 (cos 1)
Fy (V0 u)2 A0 sin
u t
u
u s
fs
1
p s
式中f s
g
z s
或 u ( gz p u2 ) 0
s1
t s
2
沿流线从1到2点积分
s2 流线s
s2 u t ds g(z2 z1)
p2
p1
u22 u12 2
0
s1
• 例 旁管非定常流出流
容器的旁管打开瞬间，出流速度从零开始增加，
容器内速度视为零，水深 h 可视常数
(V )
t
d
A
V dA n
fd
A
pndA
定常动量方程
VndA
fd
pndA
A
A
总流的动量方程：
单位时间内，流出控制体的动量 等于作用在控制体上的外力和
V2dQ V1dQ F
A2
A1
udQ VQ
A
(V为平均速度)
1 u dQ 1 ( u )2 dA
Q AV
AA V
称为动量( 通量 )修正系数