必修5课件 1.1.2 余弦定理

问题：
在ABC中，已知a 7，b 10， c 6，求A、B和C（精确到 ）。 1
C b a
A
c
B
问题：
在ABC中，已知边a、b、c， 求A、B、C。
∵ AC =AB + BC C b a |AC| =|AB + BC| ∴|AC| =|AB + BC|
A
c
Hale Waihona Puke Baidu
B
∴AC•AC=（AB+BC）•（AB+BC） 2 2 =AB +2AB • BC+BC 2 2 =|AB|+2|AB| •|BC|cosB+|BC| =c2 +2accosB+a2
人教版 必修五
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理
复习回顾 1.正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用 (1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角; C b A a B 第二种情况若知道的是大边的对角,只有唯一的 一组解;若给出的是小边的对角,则结果可能是 两解或一解、或无 解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对 角(从而进一步求出其它的边和角).
小结:
1.余弦定理 a2 =b2+c-2bccosA2 2 2 b =c 2+a-2accosB c2 =a2+b-2abcosC2 2.余弦定理的作用
b2 c2 a 2 cos A ， 2bc c2 a2 b2 cos B ， 2ca a 2 b2 c2 cos C 。 2ab
延伸变形：
b c a cos A ， 2bc
2 2 2
c2 a2 b2 cos B ， 2ca
a 2 b2 c2 cos C 。 2ab
注意:余弦定理适用任何三角形.
余弦定理的作用： （1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
以上推导是否正确？
不正确！
∴AC•AC=（AB+BC）•（AB+BC）
=AB 2+2AB 2• BC+BC
2 2 =|AB|+2|AB| •|BC|cos（180 -B）+|BC| =c 2-2accosB+a2
即：
b =c 2+a-2accosB
2
注:当B=90º 时，此结论即为勾股定理.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。 2 2 a =b2+c-2bccosA b2 =c2+a-2accosB2 c2 =a2+b-2abcosC2
3.推论:
在ABC中，
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其它两角；
若a 2 b 2 c 2，则C为直角；
若a 2 b 2 c 2，则C为锐角；
（3）判断三角形的形状。
若a 2 b 2 c 2，则C为钝角；
应用举例：
例1：在ABC中，已知a 7，b 10， c 6，求A、B和C（精确到1） .
例2：在ABC中，已知a 2.730，b 3.696， C 82 28，解这个三角形(边长保留四个有 效数字, 角度精确到 ） 1 .
加深提高：
1.在ABC中，已知a 7，b 10， c 6，试判断ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3： 5： 7，求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60, 求a; 2.已知a 20, b 29, c 21, 求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150 , 求b.
练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7.