必修二直线与方程复习讲义

第八章 平面解析几何
第一节 直线与方程
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
0. ③倾斜角α的范围00
0180α≤<. （2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0
90的直线斜率不存在。

②经过两点
的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为斜率
不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式
且
是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴
的直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直
线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴
或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置
的直线注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则
此公式为线段的中点坐标公式。

三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交
点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

四、两条直线的位置关系
【要点名师透析】
一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※
2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2
π
的子集，且k=tan α
为增函数；若k 为负数，则α的范围为(
,)2
π
π的子集，且k=tan α为增函数。

若k 的范围有正有负，则可
所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。

（二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：21
21
y y k x x -=
-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 21
2121
()y y k x x x x -=
≠-求斜率；
（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，0
90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

※例题解析※
〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果3
3
3
(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：
0a b c ++=
（三）两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点M （2，2），N （5，-2），点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。

（1）∠MOP=∠OPN （O 是坐标原点）； （2）∠MPN 是直角。

二、直线的方程 （一）直线方程的求法 ※例题解析※
〖例〗求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系 ※相关链接※
两条直线位置关系的判定
已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则 （1）
12122112211221111222222
//00(0)(0).
l l A B A B AC A C B C B C A B C
A B C A B C ⇔-=-≠-≠=≠且或或记为：、、不为
（2）121212//0.l l A A B B ⇔+= （3）
（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线1:260l ax y ++=和直线2
2:(1)10l x a y a +-+-=，（1）试判断1l 与2l 是否平行；
（2）1l ⊥2l 时，求a 的值。

（三）直线方程的应用 ※相关链接※
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。

一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。

另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。

注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。

（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。

※例题解析※
〖例〗如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、
B 两点。

（1）当⊿AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； （2）当｜PA ｜·｜PB ｜取最小值时，求直线l 的方程。

三、直线的交点坐标与距离公式 （一）有关距离问题 ※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。

2、点到几种特殊直线的距离
（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。

（2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.
（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。

（4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。

※例题解析※
〖例〗已知点P （2，-1）。

（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

（二）有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直
线方程。

（2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段
的中点在对
称轴l 上，而且连接
的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点
关于l 对称的点
的坐标
（其中
）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

※例题解析※
〖例〗求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程。

（三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点，P M ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。

【感悟高考真题】
1．（2011·北京高考文科·T8）已知点(0,2)A ，(2,0)B .若点C 在函数2
y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
2．（2011·安徽高考理科·Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线
3．（2011·安徽高考理科·Ｔ17）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F —OBED 的体积.
4．（2011·安徽高考文科·Ｔ17）设直线11221212:x+1:y=k x 1k ,k k k +20l y k l =-=，，其中实数满足， （I ）证明1l 与2l 相交；
（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆22
2x +y =1上.
直线与方程复习大全
一、 直线与方程：
1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).
2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在.
②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
（1）.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是――――――（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° （2）．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
A 0
45,1 B 0
135,1- C 090，不存在 D 0180，不存在
（3）. 如图1，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，
则必有（ ） A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2 C. k 1<k 2<k 3 D. k 3<k 2<k 1 3、 直线的方程
a. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1). 注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；
当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1； b. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）
c. 两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) d. 截矩式：1x y a
b
+= 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b （a ≠0且b ≠0） 注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；
直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点； e. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）
注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；
②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；
③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数
1．把直线l 的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 . 2．直线l:13
2=-+-y x 在x 轴上的截距是 .
3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 4．线过原点且倾角的正弦值是
5
4
，则直线方程为 . 5．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--
213, C.--1
2
3, D.－2，－3 6.mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 . 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
8 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ）
A 1=+b a
B 1=-b a
C 0=+b a
D 0=-b a
9已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 10．已知直线1l 过点P (2,2)-，
（1）若1l
的倾斜角是直线210l y ++=倾斜角的
1
2
，求直线1l 的方程； （2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程； （3）若1l 与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线1l 的方程。

11 过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5
12 经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程
13．一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线的方程。

14.已知A （2，－3），B （-3，－2），直线l 过P （1,1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是－――――――――――――――――――――――――――――――（ ） （A ）k ≥3/4或k ≤-4 (B)-4≤k ≤3/4 (C) –3/4≤k ≤4 (D)以上都不对
4、 两条直线的平行与垂直
设直线l 1：11b x k y +=，直线l 2：22b x k y +=.
则 ① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ②12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否.
1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ――――――――（ ）
A 、 -3
B 、-6
C 、23-
D 、32
2. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是
（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定
3．直线l: 2x －y ＋C=0与直线m: 4x －2y ＋C=0的位置关系是 .
4．直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0 没有公共点，求实数m 的值.
5．直线062=++y ax 和直线0)1()1(2
=-+++a y a a x 垂直，求a 的值.
6．若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，求a 的值.
7. 已知点A （1,2），B （3,4），C （5,6），D （7,8），则直线AB 与CD 直线的位置关系是（ ）
（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）重合
8. 已知点A （7,－4），B （－5,6），求线段AB 的垂直平分线的方程。

9．原点Ｏ在直线l 上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线l 的方程为 .
10．已知直线l 与直线3x+4y －7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________________
11. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）
Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５
12．点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是
（A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2） （D ）（3，-2）
13．与直线l ：3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为
（A ）3x ＋4y －5＝0（B ）3x ＋4y ＋5＝0（C ）－3x ＋4y －5＝0（D ）－3x ＋4y ＋5＝0
14．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0
B.2x+3y+7=0
C. 3x-2y-12=0
D. 2x+3y+8=0
5 两条直线的交点
1. 若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交
则交点坐标为方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ⇔ ；方程组有无数解⇔l 1与l 2重合
6. 过定点的直线系
①斜率为k 且过定点(x 0 , y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)；
②过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 ，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为
(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ( A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.
1. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 ――――――――――（ ）
A （-2，1）
B （2，1）
C （1，-2）
D （1，2）
2．直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
（A ）（0，0） （B ）（0，1） （C ）（3，1） （D ）（2，1）
3．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）.
A ．(1,1)
B ． (1,1)-
C ． (1,1)-
D ． (1,1)--
7．平面上两点间的距离
设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2)
是平面直角坐标系中的两点，则||AB
若线段AB 的中点为M(x 0 ,y 0) , 则2
,221
0210y y y x x x +=+= 1.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,
则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0
2.已知点(5,4)A -和(3,2)B 则过点(1,2)C -且与A,B 的距离相等的直线方程为 .
3．已知直线012:=+-y x l 和点A （-1，2）、B （0，3），试在l 上找一点P ，使得PB PA +的值最小，并求出这个最小值。

4. 已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2
1=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。

5.
求函数()f x =
8 点到直线的距离 1. 点到直线距离公式：点P(x 0 , y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离2200|
|B A C By Ax d +++=
2. 两条平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 ，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离
1.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B 21 C 1 D 27 2．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 3 与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________
4．已知直线l 方程为y=kx+k+1，则当点P （2，－1）与直线l 的距离最远时，直线l 的斜率为 .
5．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）
A ．360x y +-=
B ．320x y -+=
C ．320x y +-=
D ．320x y -+=
6. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;
②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105
3的直线的方程. 7．已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求
直线l 的方程.
【考点模拟演练】
一、选择题
1．倾斜角为45︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）
A ．1y x =+
B ．1y x =--
C ．1y x =-+
D ．1y x =-
2．倾斜角为45︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）
A ．01=+-y x
B ．01=--y x
C ．01=-+y x
D ．01=++y x
3．过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）
A. 0
B. 8-
C. 2
D. 10
5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为
( )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．1
6．设分别是中
所对边的边长,则直线与的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
7．点P(2,3)到直线：ax+(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为 （ ）
A ．3,-3
B ．5,1
C ．5,2
D ．7,1
8．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限 9．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）
A. 0≠m
B. 23-≠m
C. 1≠m
D. 1≠m ，23-≠m ，0≠m 10．若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ ）
A.7
B.－7
C.3
D.－3
11．已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．过点()2,1M 的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，且2MQ MP =，则直线l 的方程为（ ） A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
二、填空题
13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M 满足MC AM 2=,点N 满足NB AN 3-=，点P 满足PN PM ⊥，则P 点的轨迹方程是 .
14．若直线1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ．
15．函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _
16．直线
为参数）上与点的距离等于的点的坐标是
三、解答题 17．已知直线Ax By C ++=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x 轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x 轴；
（5）设()
P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，
18．（本小题满分14分） 已知函数x a x x f +=)(的定义域为),0(∞+，且
222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
． （1）求a 的值；（2分）
（2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分）
（3）设O 为原点，求四边形OMPN 面积最小值（7分）。