信号与系统吴大正第四章作业解析
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信号与线形系统（第四版）吴大正主编
第四章课后习题：
4.1证明 (n为正整数)是在区间 的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？
解:由于
所以在区间 内是正交函数集。
存在 使得
所以不是完备的正交函数集。
4.2上题中的函数集在区间 是否是正交函数集？
解：
所以仍为正交函数集。
4.3讨论图4.1-2所示的前6个沃尔什函数在 区间内是否是正交函数集。
解：由题意得
所以前6个沃尔什函数在 区间内是正交函数集。
4.4前四个勒让德函数多项式为
证明它们在 区间内是正交函数集。
解：由题意得
所以前四个勒让德函数多项式在 区间内是正交函数集。
4.5实周期信号 在区间 内的能量定义为
如有和信号
(1)若 与 在区间 内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和。
(2)若 与 不是互相正交的，求和信号的总能量。
解：(1)由题意得
因为 与 在区间 内相互正交，
所以
得
(2)有第一问可得
所以
4.6求下列周期信号的基波角频率 和周期 。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：(1)基波角频率 ，周期
(2)基波角频率 ，周期
(3) 的基波角频率 ， 的基波角频率 ，取两者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ,周期
(4)利用以上结果求图(d)的函数 的傅里叶级数。
解：(1)由图可得
所以可得
所以 傅里叶级数为
(2)由图形可得
(3)比较 和 的波形可得
(4)由图形可得
4.9试画出题4.9图所示信号的奇分量和偶分量。
解：由定义可得 表示奇分量， 表示偶分量
对于(a)图奇分量 偶分量
对于(b)图奇分量偶分量
4.10利用奇偶性判断题4.10图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。
4.14依据题意(a)、(b)的结果，利用傅里叶变换的性质，求题4.14图所示各信号的福利叶变换。
4.15若 为虚函数，且 ，试证：
(1)
(2)
4.16若 为复函数，可为
且 。式中 均为实函数，证明：
(1)
(2) ,
4.17利用对称性求下列函数的福利叶变换。
(1)
(2)
(3)
4.18求下列信号的傅里叶变换。
(1)
(2)
(3)
4.28利用能量等式
计算下列积分的值。
(1) (2)
4.29一个周期为T的周期信号 ，已知其指数形式的傅里叶系数为 ，求下列周期信号的傅里叶系数。
(1) (2)
(3) (4)
4.30求下列微分方程所描述系统的频率响应 。
(1)
(2)
(4) , , 的基波角频率分别为 , , ,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ，周期为
(5) ， 的基波角频率分别为 ， 取两者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ，周期为 。
(6) ， ， 的基波角频率分别为 , , ,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ,周期为 .
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求题4.7图所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.19试用时域微积分性质，求题4.19图所示信号的频谱。
4.20若已知 ，试求下列函数的频谱。
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
4.21求下列函数的傅里叶逆变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.22利用傅里叶变换性质，求题4.22图所示函数的傅里叶逆变换。
解：(a)图所示周期 ，角频率
(b)图所示周期 ，角频率
4.8如题4.8图所示的4个周期相同的信号。
(1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数(三角形式)。
(2)将图(a)的函数 左(或右)移 ，就得图(b)的函数 ，利用(1)的结果求 的傅里叶级数。
(3)利用以上结果求图(c)的函数 的傅里叶级数。
解：
4.11某1Ω电阻两端电压 如题4.11图所示。
(1)求 的三角形式傅里叶级数。
(2)利用(1)的结果和 ，求下列无穷级数之和。
(3)求1Ω电阻的平均功率和电压有效值。
(4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和
4.12如题4.12图所示的周期性方波电压作用于RL电路，试求电流 的前五次谐波。
4.13求题4.13图所示各信号的傅里叶变换。
4.23试用下列方法求题4.23图所示信号的频谱函数。
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)
(2)利用时域的积分定理。
(3)将 看作门函数 与冲击函数 的卷积和。
4.24试用下列方法求题4.24图所示余弦脉冲的频谱函数。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)利用福利叶变换定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数 与周期余弦函数 的乘积。
4.25试求题4.25图所示周期信号的频谱函数。图(b)中冲击函数的强度均为1。
4.26题4.26图所示升余弦脉冲可表示为
试用以下方法求其频谱函数。
(1)利用福利叶变换的定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数 与题4.25(a)图函数的乘积。
4.27如题4.27图所示信号 的频谱函数为 ，求下列各值[不必求出 ]。
第四章课后习题：
4.1证明 (n为正整数)是在区间 的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？
解:由于
所以在区间 内是正交函数集。
存在 使得
所以不是完备的正交函数集。
4.2上题中的函数集在区间 是否是正交函数集？
解：
所以仍为正交函数集。
4.3讨论图4.1-2所示的前6个沃尔什函数在 区间内是否是正交函数集。
解：由题意得
所以前6个沃尔什函数在 区间内是正交函数集。
4.4前四个勒让德函数多项式为
证明它们在 区间内是正交函数集。
解：由题意得
所以前四个勒让德函数多项式在 区间内是正交函数集。
4.5实周期信号 在区间 内的能量定义为
如有和信号
(1)若 与 在区间 内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和。
(2)若 与 不是互相正交的，求和信号的总能量。
解：(1)由题意得
因为 与 在区间 内相互正交，
所以
得
(2)有第一问可得
所以
4.6求下列周期信号的基波角频率 和周期 。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：(1)基波角频率 ，周期
(2)基波角频率 ，周期
(3) 的基波角频率 ， 的基波角频率 ，取两者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ,周期
(4)利用以上结果求图(d)的函数 的傅里叶级数。
解：(1)由图可得
所以可得
所以 傅里叶级数为
(2)由图形可得
(3)比较 和 的波形可得
(4)由图形可得
4.9试画出题4.9图所示信号的奇分量和偶分量。
解：由定义可得 表示奇分量， 表示偶分量
对于(a)图奇分量 偶分量
对于(b)图奇分量偶分量
4.10利用奇偶性判断题4.10图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。
4.14依据题意(a)、(b)的结果，利用傅里叶变换的性质，求题4.14图所示各信号的福利叶变换。
4.15若 为虚函数，且 ，试证：
(1)
(2)
4.16若 为复函数，可为
且 。式中 均为实函数，证明：
(1)
(2) ,
4.17利用对称性求下列函数的福利叶变换。
(1)
(2)
(3)
4.18求下列信号的傅里叶变换。
(1)
(2)
(3)
4.28利用能量等式
计算下列积分的值。
(1) (2)
4.29一个周期为T的周期信号 ，已知其指数形式的傅里叶系数为 ，求下列周期信号的傅里叶系数。
(1) (2)
(3) (4)
4.30求下列微分方程所描述系统的频率响应 。
(1)
(2)
(4) , , 的基波角频率分别为 , , ,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ，周期为
(5) ， 的基波角频率分别为 ， 取两者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ，周期为 。
(6) ， ， 的基波角频率分别为 , , ,取三者最大公约数为和信号的基波角频率，所以 ,周期为 .
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求题4.7图所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.19试用时域微积分性质，求题4.19图所示信号的频谱。
4.20若已知 ，试求下列函数的频谱。
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
4.21求下列函数的傅里叶逆变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.22利用傅里叶变换性质，求题4.22图所示函数的傅里叶逆变换。
解：(a)图所示周期 ，角频率
(b)图所示周期 ，角频率
4.8如题4.8图所示的4个周期相同的信号。
(1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数(三角形式)。
(2)将图(a)的函数 左(或右)移 ，就得图(b)的函数 ，利用(1)的结果求 的傅里叶级数。
(3)利用以上结果求图(c)的函数 的傅里叶级数。
解：
4.11某1Ω电阻两端电压 如题4.11图所示。
(1)求 的三角形式傅里叶级数。
(2)利用(1)的结果和 ，求下列无穷级数之和。
(3)求1Ω电阻的平均功率和电压有效值。
(4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和
4.12如题4.12图所示的周期性方波电压作用于RL电路，试求电流 的前五次谐波。
4.13求题4.13图所示各信号的傅里叶变换。
4.23试用下列方法求题4.23图所示信号的频谱函数。
(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)
(2)利用时域的积分定理。
(3)将 看作门函数 与冲击函数 的卷积和。
4.24试用下列方法求题4.24图所示余弦脉冲的频谱函数。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)利用福利叶变换定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数 与周期余弦函数 的乘积。
4.25试求题4.25图所示周期信号的频谱函数。图(b)中冲击函数的强度均为1。
4.26题4.26图所示升余弦脉冲可表示为
试用以下方法求其频谱函数。
(1)利用福利叶变换的定义。
(2)利用微分、积分特性。
(3)将它看作门函数 与题4.25(a)图函数的乘积。
4.27如题4.27图所示信号 的频谱函数为 ，求下列各值[不必求出 ]。