代数学报告

第一部分对学习代数学引论的认识及理解

以下简要总结代数学引论所学的基本内容。

首先，介绍了初等数论和集合论的一些知识，为学习代数学做了必要的准备。

其次学习了群，环，域与模四个基本代数结构的基本性质，群伦的应用日益广泛，主要归功于变换群的理论，也就是群在集合上作用的理论；环的基本理论可通过跟群的基本理论比较加深理解，其中交换环上的多项式环以及整环上的一元多项式环的理论在初等数论及高等代数的多项式理论中都已经了解过，可看成是对以前所学知识的一种推广；域的基本理论是以域的代数扩张为中心，而我们对数由整数，分数，小数，有理数，无理数直至复数的认识实质上就是对数域扩张的认识，从本质上讲，域的代数扩张是为实现某种目的把一个数学体系在某种条件下扩张，使之达到某种更趋完美的程度，这也是现在数学研究中的一种基本方法；模是两个代数体系的结合，模的理论与语言在数学，物理中运用的越来越普遍，无疑是代数学基础的核心之一，可以用模论方法解决有限生成Abel群的分类以及有限维线性空间的线性变换的标准形问题，它们也是模应用很好的例子。

最后对Galois(伽罗瓦)理论进行了一定的了解。主要包括高次方程的根式解和圆规直尺作图两部分，这是两个已经圆满解决了的问题，但它们在历史上长期使数学家百思不得其解，只是等到数学家对数学家的抽象性有了跟进一步的了解，从而提出比如变换群等比以往更为抽象的概念之后，这两个问题才迎刃而解。

Galois(伽罗瓦)理论是抽象代数的开端，也是它强大生命力的最早得光辉例证。只要追本溯源，我们就能深切地感受到这门既近世又古老的学科的无穷魅力，因而在学习了代数学的一些基础之后，回头看看它的源头对加深对代数学的理解不无益处。

代数学是数学中最重要的，基础分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数

学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。

抽象代数学是以研究数字，文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此，抽象代数学对于全部现代数学和其他科学领域都有重要的影响。

在中国，抽象代数的研究始于20世纪30年代。中国数学家已在许多方面取得了有意义的和重要的成果，其中尤以曾烔之，华罗庚和周炜良的工作更为显著。

而学习代数学引论的目的是首先要掌握好代数学的一些最基本知识，为以后了解它在整个自然学科与社会学科的应用打下良好的基础。

第二部分 代数学的应用

2.1 由于模可以看成是线性空间的一种推广，下面举例说明模论方法在解决有限维线性空间的线性变换的标准形的应用

例1 求120020221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭

的第一，二型标准型，若尔当标准形。 解：1200

20221I A λλλλ--⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--+⎝⎭

，用行列式因子法求得 1231,1,(1)(2)(1)D D D λλλ===--+

然后得到A 的不变因子为

321231,1,22d d d λλλ===--+

A 的初等因子组为

{}1,2,1λλλ--+

所以A 的第一，二型有理标准型12,A A 分别为：

1002101012A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2100020001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

若尔当标准形3A 为：

3100020001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

从上例可看出若矩阵初等因子全是一次因子且幂指数为1，则第二型有理标准型跟若尔当标准形相同。

2.2 下面举例说明模理论在有限生成Abel 群的分类中的应用

例2 用不变因子的方式写出所有互不同构的360阶Abel 群。

解：用()p n 表示n 的划分的个数。

321360235=⨯⨯，所以共有(3)(2)(1)6p p p =个互不同构的360阶Abel 群。 下面是3,2,1的全部划分：

3, 2+1，1+1+1；2,1+1；1

则6个互不同构的360阶Abel 群为

321360235Z Z Z Z ⊕⊕≅；

311112032335Z Z Z Z Z Z ⊕⊕⊕≅⊕；

212118022235Z Z Z Z Z Z ⊕⊕⊕≅⊕；

2111160622335Z Z Z Z Z Z Z ⊕⊕⊕⊕≅⊕；

11121902222235Z Z Z Z Z Z Z Z ⊕⊕⊕⊕≅⊕⊕；

1111113062222335Z Z Z Z Z Z Z Z ⊕⊕⊕⊕⊕≅⊕⊕。

2.3 素域)(q GF 上旋转对称函数的应用及在密码学中的性质

定义1 设2≥p 为任一取定的素数，记)(p GF 为素数域，对任一取定正整数n ，

以n p GF )(表示n 个)(p GF 的笛卡尔积，称)()(p Gf p GF n →的任一映射f 为n 个变元（n p GF )(上）的p 值逻辑函数。

注： 对于n 元向量),,(1n x x 的i x ，n i ≤≤1，令⎩⎨⎧≥+<+=-++n

k i x n k i x x n k i k i i k n ,,)(ρ ， 进而对任意),,(1n x x ，定义))(),((),,(11n k n k n n k n x x x x ρρρ =，且

))(())(()(1

111n k n y k n y n y k n x x x x n ρρρ =，由此给出素域)(p GF 上旋转对称函数的定义如下：

定义2 设)(x f 为n 元p 值逻辑函数，如果对于任意n n p GF x x )(),,(1∈ 均有

),,()),,((11n n k n x x f x x f =ρ，10-≤≤n k ，则称该函数为旋转对称函数，

简记为RotS 函数。

引理1 n 元p 值RotS 函数共有p n g p

,个，其中p n g ,表示n p GF )(上旋转对称等价 类的个数，t n n t p n p t n

g ∑Φ=)(1.，)(t Φ是欧拉函数。 下面给出p 值RotS 函数的谱特征和自相关性质:

定义3 设)(x f ，n p GF x )(∈为n 元p 值逻辑函数，则其Chrestenson 循环谱定 义为∑∈-=n p Z x wx x f n

f u p w S )()(1

)(，其中p i e u π2=，n n p GF x x x )(),(1∈= ，

n n p GF w w w )(),,(1∈= ，)(mod 11p x w x w x w n n +=⋅。

定义4 设)(x f ，n p GF x )(∈是n 元p 值逻辑函数，对n n p GF x x x )(),,(1∈= ，

n n p GF w w w )(),,(1∈= ，记),(11n n s x s x s x ++=+ ，称

∑∈++=n p GF x x f s x f n

f u p s r )()()(1

)(，n p GF s )(∈为)(x f 的自相关函数。

定理1 设)(x f ，n p GF x )(∈为n 元p 值逻辑函数，则)(x f 是RotS 函数的充分

必要条件是其Chrestenson 循环谱满足))(()()()(w S w S k n f f ρ=，

n p GF w )(∈，11-≤≤n k 。

定理2 若n 元p 值逻辑函数)(x f ，n p GF x )(∈是RotS 函数，则其自相关函数

)(s r f 满足))(()(s r s r k n f f ρ=，n p GF s )(∈，11-≤≤n k 。