材料力学第八章压杆的稳定性..

有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可
以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式 计算其临界荷载。
§8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳
一、压杆的临界应力与柔度
当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的 平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。
Fcr π2EI σcr = A = ( μ l) 2 A I 2 i=A μl 令 λ= i π2E 则有 σcr = λ2
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在
力F作用下将保持原有直线平衡形式。
此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。
可见这种直线平衡形式是稳定的。
2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使 压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平 衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形 式不稳定。
Euler公式的统一形式
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
μ——长度因数
μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 μ=1.0
一端固定一端自由
两端固定 一端固定一端铰支
μ=2.0
μ=0.5 μ=0.7
公式讨论
Fcr =
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比； 2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值； 最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I
√
π2E
σP
σP
λP
为材料参数，不同的材料有不同的值。
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如Q235钢， σP =200MPa λ≥ λ< λP λP 为弹性失稳
第八章
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； Fcr （3） 实际工程压杆F与w0之 间的关系如曲线OB所示。 F B'
y
μ=1.0， I= Iy
计算临界力Fcr 1
轴销
x
压杆在 xOy平面内失稳时： μ=0.5， I= Iz 计算临界力Fcr 2
临界力Fcr为两者中较小的值。
Fcr =
π2EI (μl)2
4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据 具体情况选取适当的长度系数μ值。 5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会
A
实际 O
B
w0
2.不同杆端约束下压杆的临界力
x Fcr x Fcr A A x Fcr
x Fcr
A
l w
A w
x l
l
w x B
l
w x
x
B
B
w
w
w
B w
类比法
Fcr
Fcr
l l 2l
Fcr
一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与 两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI （ 2 l） 2
这种丧失原有平衡形式的现象称为 丧失稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时， 轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷 载，用Fcr表示。
刚体平衡
2 5 1 4
3
随遇平衡
其它一些构件的稳定性问题
§8-2 细长压杆的临界力
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，
若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似 微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。
x
Fcr
一、欧拉公式
1.两端铰支的细长压杆 设两端铰支的细长压杆在临界荷 载Fcr作用下，在xOw平面内处于微 弯状态。
l
w
挠曲线近似微分方程为
x
Fcr
EIw" = -M(x)
x截面的弯矩为
M(x) Fcr x w x Fcr w x w
M(x) = Fcr w
EIw" =-Fcr w
l
w
EIw" +Fcr w =0
π2EI ( μ l) 2
为最小的纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面 为最小抗弯刚度平面。
3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰， xOz平 面内为铰支（可绕y轴自由转动）， xOy平面内为固定端 （不能转动）。计算临界荷载应取I与μ2比值的最小值，压 杆在相应的平面内失稳。 压杆在 xOz平面内失稳时： z
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能） 或 sinkl = 0
即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
k2=
Fcr EI
w
n2π2EI Fcr = l2
(n = 0,1,2…）
Fcr =
π2EI 最小的临界荷载（n=1） Fcr = l2
w =Asinkx+Bcoskx 压杆的挠曲线方程为 k = π/l
令
Fcr k2= EI
得 w" +k2w =0
二阶常系数线性微分方程
w" +k2w =0 其通解为 w =Asinkx+Bcoskx A、B、k待定常数 由杆的已知位移边界条件确定常数 x = 0，w = 0 得 B = 0，w =Asinkx
x = l， w = 0 得 Asinkl = 0
l x Fcr
λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了 压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。
二、欧拉公式的适用范围
推导欧拉公式时， 杆处于弹性状态
σcr ≤ σP
故欧拉公式的适用条件
π2E σcr = ≤ σP 2 λ
令 λP =
λ≥
λ≥
λP 满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。
√
π 2E
类比法
Fcr
Fcr
l/4
l l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.5l)2
Fcr
类比法
l
Fcr
0.7l
0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内 与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.7l)2