解三角形章末归纳总结

第二章
章末归纳总结
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[分析]
(1) 由 a＝2bcosC 考虑利用正弦定理可得 sinA＝
2sinBcosC，而 A＝π－(B＋C)，代入整理可求得 B． π (2)利用辅助角公式对函数化简，可得 f(x)＝ 3sin(2x＋6)， π 结合已知 x∈[0，2]及正弦函数的性质可求解．
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2．剖析斜三角形的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个 元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的 元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)， 那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据已知条
1
知 识 结 构
2
知 识 整 合
3
专 题 研 究
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知识结构
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6．点击正、余弦定理解几何问题的注意点
(1)几何图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是 问题求解能否继续的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角 形，用好三角恒等变形公式，正弦定理，余弦定理，或是综合
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[解析] (1)由 a＝2bcosC ，得 sinA＝2sinBcosC． ∵A＝π－(B＋C)，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC， 整理得 sin(B－C)＝0. ∵B、C 是△ABC 的内角，∴B＝C． 2π π 又∵A＝ 3 ，∴B＝6.
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(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：a2＝ b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC． 余弦定理的推论： b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cosA＝ 2bc ，cosB＝ 2ac ，cosC＝ 2ab .
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π (2)f(x)＝sin2x＋cos(2x－6) 3 3 ＝2sin2x＋ 2 cos2x π ＝ 3sin(2x＋6)， π π π 7π 由 0≤x≤2，得6≤2x＋6≤ 6 . π π 故 f(x)max＝ 3，此时 2x＋6＝2， π 即 x＝6.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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解三角形
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解三角形
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2 2 2
3. ∴a＝ 3.
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三角形形状的判断
判断三角形的形状是解三角形这一章中的常见题型，是利 用正弦定理、余弦定理及有关的三角函数等知识找出三角形中 的边与角的关系，进而推导出满足题设条件的三角形形状． (1)判断三角形的形状常用的方法 ①化边为角； ②化角为边． 要根据条件，正确选择公式、定理．例如，在△ABC 中， a cosB 已知b＝cosA，判断三角形形状，可利用余弦定理将 cosA，cosB sinA a 转化为边的关系来解；也可利用正弦定理将b转化为sinB来解．
状． 注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2＋b2<c2， b2＋c2<a2，c2＋a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角 三角形，而当a2＋b2>c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式
成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．
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专题研究
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正、余弦定理与三角函数的综合 解三角形与三角函数有着必然的联系，这类问题不但要用 到正弦定理、余弦定理等基础知识，同时还需利用三角公式进 行恒等变换，这是高考的热点试题之一，三角形中的三角变
换，除了三角公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特
两边和夹角 (如a，b， ∠C)
正弦定 理
由余弦定理求第三边c；由正 余弦定理 弦定理求出一边所对的角；再 正弦定理 由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出 另一角，在有解时只有一解．
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已知条件 三边 (a，b，c)
应用定理
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π π π ∵0<A<π，∴6<2A＋6<2π＋6. π 5π π ∴2A＋6＝ 6 .∴A＝3. 1 1 3 3 ∴S△ABC＝2bcsinA＝2×b×2× 2 ＝ 2 . ∴b＝1. 1 由余弦定理得 a ＝b ＋c －2bccosA＝1＋4－2×2×1×2＝
5．常用三角形面积公式总结 1 1 1 (1)S△ABC＝2a· ha＝2b· hb＝2c· hc(ha，hb，hc 分别为 a，b，c 边 上的高)． 1 1 1 abc (2)S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝ 4R (R 为△ABC 的 外接圆半径)． 1 (3)S△ABC＝ pp－ap－bp－c(p＝2(a＋b＋c))． 1 (4)S△ABC＝2(a＋b＋c)· r(r 为△ABC 的内切圆半径)．
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3．解三角形常用的边、角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于 180° . (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角． (4)三角函数的恒等变形： sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC， A＋B A＋B C C sin 2 ＝cos 2 ，cos 2 ＝sin 2 . (5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用 与逆用等．
知识整合
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1．深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理 解两个定理及其变形． (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 a b c 比相等，即：在△ABC 中，sinA＝sinB＝sinC. 正弦定理有以下三种变形形式： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； a b c ②sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R； 其中 R 是△ABC 外接圆的半径． ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
行求解．解三角形应用题的一般步骤是： (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理
清量与量之间的关系．
(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模 型． (3)选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、
近似计算要求．
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[例 1] 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c， 2π 且 A＝ 3 ，a＝2bcosC，求： (1)B 的值； π (2)函数 f(x)＝sin2x＋cos(2x－B)在区间[0，2]上的最大值及 对应的 x 值．
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4．解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思
考，此类题目一般采用以下两种方法求解：
(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形 状．
(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形
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已 知 向量 m ＝ (cosωx ， sinωx) ， n ＝ (cosωx,2 3 cosωx － sinωx)，ω>0，函数 f(x)＝m· n＋|m|.x1，x2 是集合 M＝{x|f(x)＝1} π 中的任意两个元素，且|x1－x2|的最小值为2. (1)求 ω 的值； (2)在△ABC 中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边，f(A) 3 ＝2，c＝2，S△ABC＝ 2 ，求 a 的值．
运用这两个定理．
(3)要有应用方程思想解题的意识，还要有引入参数，突出 主元，简化问题的解题意识．
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7．细解正、余弦定理解实际应用题的步骤 实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题
目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进
件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为
△ABC，A、B、C所对的边分别为a、b、c)：
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已知条件
应用定理
一般解法 由∠A＋∠B＋∠C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解．
一边和两角 (如a，∠B， ∠C)
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[解析]
2
(1)f(x) ＝ m· n ＋ |m| ＝ cos2ωx ＋ 2 3 sinωxcosωx －
π sin ωx＋1＝cos2ωx＋ 3sin2ωx＋1＝2sin(2ωx＋6)＋1， 2π 由题意知 T＝π，又 T＝|2ω|＝π，ω>0，故 ω＝1. π (2)∵f(x)＝2sin(2x＋6)＋1， π ∴f(A)＝2sin(2A＋6)＋1＝2. π 1 ∴sin(2A＋6)＝2.
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(2)常用的思考方向 ①是否两边(或两角)相等； ②是否三边(或三角)相等； ③是否有直角、钝角．
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(3)解三角形中的常用结论 ①在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB； A＋B π C ②在△ABC 中， A＋B＋C＝π， A＋B＝π－C， 2 ＝2－ 2 ， 则 cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC， A＋B C sin 2 ＝cos 2 ； π ③在△ABC 中，a ＋b <c ⇔cosC<0⇔C>2；
一般解法 由余弦定理求出角A、B；再利用∠A
余弦定理 ＋∠B＋∠C＝180°，求出角C，在有 解时只有一解． 由正弦定理求出角B；由∠A＋∠B＋ 正弦定理 ∠C＝180°，求出角C；再利用正弦 余弦定理 定理或余弦定理求c，可有两解、一 解或无解.
两边和其中
一边的对角( 如a，b，∠A)
特别提醒：在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常出 现增解的情况，因此需根据三角形中边、角的关系进行取舍．
点．
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Байду номын сангаас
(1)在△ABC 中，因为 A＋B＋C＝π， 所以 sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC， tan(A＋B)＝－tanC， A＋B A＋B C C sin 2 ＝cos 2 ，cos 2 ＝sin 2 . (2)三角形边角关系定理及面积公式，在解三角形中常会用 到．