第三章 有限单元法
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对于微分方程（2.2.1)式和边界条件（2.2.2）式所表达的物理问题，未知场 函数 可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一
般形式u 是
n
u u Niai Na i1 其中 是待定参数； 是称之为试探函数（或基函数，形函数），它取自完全
的函数ai序列，是线性独Ni立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列
得到满足。这个结论的证明式显然的，假如微分方程 A(u) 在域内某些点或 一部分子域中不满足，即出现 A(u) 0，马上可以找到适当的函数V使(3.2.5)
的积分形式亦不等于零。上述结论则得到证明。
同理，假如边界条件(3.2.2)亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组
任意函数 V 应当成立
(3.2.7)
第2节：近似解法——加权余量法与变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
基于微分方程等效积分方法的加权余量法是求解线性和非线性微分 方程近似解的一种有效方法。有限单元法中可以应用加权余量法来建立 有限元求解方程，但他本身又是一种独立的数值求解方法。这一节中我 们将阐明加权余量法的基本概念，求解步骤和不同形式加权余量法的特 点。
2.1.1 等效积分的“弱”形式
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式
(3.2.9)
其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的A低，这样对于 函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低u的连续性要求是以
提高v及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对v及v (在(3.2.8)式中)并无连续要求
，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分 重要的。(3.2.9)式称为微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值 得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对实际的物理 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了 过分“平滑”的要求。
➢ 1960年Clough第一次提出了“有限单元法”的名称 ➢ 1963-1964年，Besseling,Melosh和Jones等人证明了有限单元
法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹 法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了它是处理连 续介质问题的一种普遍方法。 ➢ 从60年代后期开始，进一步利用加权余量法来确定单元特性和建 立有限元求解方程，进一步扩展了它的应用。
(3.2.11) 于是(3.2.10)式成为
(3.2.12)
(3.2.13)
这样，(3.2.10)式可以表示为：
(3.2.14) (3.2.15)
(3.2.15)式就是二维稳态热传导问题与微分方程(3.2.3)和边界条件(3.2.4)
相等效的积分“弱”形式。在式中k以其自身出现，而场函数 (温度)则以 一阶导数形式出现，因此它允许在域内热传导系数k以及温度 的一阶导数
(3.2.8)
对于所有的V和 V 都成立是等效于满足微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)。我
们把式(3.2.8)式称为微分方程的等效积分形式。
在上述讨论中，隐含地假定(3.2.8)式和积分是能够进行计算的。这就对函
数V、V 和 u能够选取的函数族提出了一定的要求和限制，以避免积分中任何项
出现无穷大的情况。
在求解域 中, 若场函数 u 是精确解，则在域 中任一点都满足微分方程 （2.2.1）式，同时在边界 上任一点都满足边界条件（2.2.2）式，此时等效积
分形式（2.2.8）式或（2.2.9）式必然严格的得到满足。但是对于复杂的实际问题， 这样的精确解往往式很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。
下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例，写出它们的等效积分形 式和等效积分“弱”形式。例1中由二维稳态热传导方程(3.2.3)和边界条件(3.2.4)式， 我们可以写出相当于(3.2.8)式的等效积分形式
3.2.10
对(3.2.10)式进行分部积分可以得到相当于(3.2.9)式的等效积分“弱” 形式利用格林公式对(1.2.10)式中第一个积分的前二项进行分部积分
表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数 是位移时，可取近似解：
u
则有：
其中 ui , vi , wi 是待定参数，共3n个。 Ni INi 是函数库，I 是33 的单位矩阵。 显然，在通常n取有限项数的情况下近似解是不能 精确满足方程（2.2.1）和全部边界条件（2.2.2）
第三章 有限单元的数学原理
第1节：引言
有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且 按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方 式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状 复杂的求解域。
从应用数学角度来看，有限单元法基本思想的提出，可以追溯到 Courant在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。
2.1.1 微分方程的等效积分形式
（32.1）和（3.2.2）中采用了矩阵形式。 图3.1
例3.1
(3.2.3) (3.2.4)
由于微分方程组(3.2.1)在域 中每一点都必须为零，因此就有
(3.2.5)
(3.2.6) V
式(3.2.5)式微分方程组(3.2.6)完全等效积分形式，我们可以断言，若积分 方程(3.2.5)对于任意的V都能成立，则微分方程(3.2.1)必然在域内任一点都能
出现不连续，而这种实际可能性在微分方程中是不允许的。
对式(3.2.15)，还应指出的是
(则2)可若以选通择过场适函当数选择时v，，已使满在足强q 边制界边上界v条=0件而，略即去在(3.2q.1边5)界式上中满沿足 q边界积分0 项，
使相应的积分“弱”形式取得 更 简洁的表达式.
2.2.3 基于等效积分形式的近似方法：加权余量法 （Weighted Residual Method， WRM）
般形式u 是
n
u u Niai Na i1 其中 是待定参数； 是称之为试探函数（或基函数，形函数），它取自完全
的函数ai序列，是线性独Ni立的。所谓完全的函数序列是指任一函数都可以用此序列
得到满足。这个结论的证明式显然的，假如微分方程 A(u) 在域内某些点或 一部分子域中不满足，即出现 A(u) 0，马上可以找到适当的函数V使(3.2.5)
的积分形式亦不等于零。上述结论则得到证明。
同理，假如边界条件(3.2.2)亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组
任意函数 V 应当成立
(3.2.7)
第2节：近似解法——加权余量法与变分原理
2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法
基于微分方程等效积分方法的加权余量法是求解线性和非线性微分 方程近似解的一种有效方法。有限单元法中可以应用加权余量法来建立 有限元求解方程，但他本身又是一种独立的数值求解方法。这一节中我 们将阐明加权余量法的基本概念，求解步骤和不同形式加权余量法的特 点。
2.1.1 等效积分的“弱”形式
在很多情况下可以对(3.2.8)式进行分部积分得到另一种形式
(3.2.9)
其中C,D,E,F是微分算子，它们中所包括的导数阶数较(3.2.8)式的A低，这样对于 函数u只需要求较低阶的连续性就可以了。在(3.2.9)式中降低u的连续性要求是以
提高v及 v 的连续性要求为代价的，由于原来对v及v (在(3.2.8)式中)并无连续要求
，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。 这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分 重要的。(3.2.9)式称为微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)的等效积分“弱”形式。值 得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对实际的物理 问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了 过分“平滑”的要求。
➢ 1960年Clough第一次提出了“有限单元法”的名称 ➢ 1963-1964年，Besseling,Melosh和Jones等人证明了有限单元
法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹 法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了它是处理连 续介质问题的一种普遍方法。 ➢ 从60年代后期开始，进一步利用加权余量法来确定单元特性和建 立有限元求解方程，进一步扩展了它的应用。
(3.2.11) 于是(3.2.10)式成为
(3.2.12)
(3.2.13)
这样，(3.2.10)式可以表示为：
(3.2.14) (3.2.15)
(3.2.15)式就是二维稳态热传导问题与微分方程(3.2.3)和边界条件(3.2.4)
相等效的积分“弱”形式。在式中k以其自身出现，而场函数 (温度)则以 一阶导数形式出现，因此它允许在域内热传导系数k以及温度 的一阶导数
(3.2.8)
对于所有的V和 V 都成立是等效于满足微分方程(3.2.1)和边界条件(3.2.2)。我
们把式(3.2.8)式称为微分方程的等效积分形式。
在上述讨论中，隐含地假定(3.2.8)式和积分是能够进行计算的。这就对函
数V、V 和 u能够选取的函数族提出了一定的要求和限制，以避免积分中任何项
出现无穷大的情况。
在求解域 中, 若场函数 u 是精确解，则在域 中任一点都满足微分方程 （2.2.1）式，同时在边界 上任一点都满足边界条件（2.2.2）式，此时等效积
分形式（2.2.8）式或（2.2.9）式必然严格的得到满足。但是对于复杂的实际问题， 这样的精确解往往式很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。
下面我们仍以前面已提出的例题中的二维热传导方程为例，写出它们的等效积分形 式和等效积分“弱”形式。例1中由二维稳态热传导方程(3.2.3)和边界条件(3.2.4)式， 我们可以写出相当于(3.2.8)式的等效积分形式
3.2.10
对(3.2.10)式进行分部积分可以得到相当于(3.2.9)式的等效积分“弱” 形式利用格林公式对(1.2.10)式中第一个积分的前二项进行分部积分
表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数 是位移时，可取近似解：
u
则有：
其中 ui , vi , wi 是待定参数，共3n个。 Ni INi 是函数库，I 是33 的单位矩阵。 显然，在通常n取有限项数的情况下近似解是不能 精确满足方程（2.2.1）和全部边界条件（2.2.2）
第三章 有限单元的数学原理
第1节：引言
有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且 按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方 式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状 复杂的求解域。
从应用数学角度来看，有限单元法基本思想的提出，可以追溯到 Courant在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。
2.1.1 微分方程的等效积分形式
（32.1）和（3.2.2）中采用了矩阵形式。 图3.1
例3.1
(3.2.3) (3.2.4)
由于微分方程组(3.2.1)在域 中每一点都必须为零，因此就有
(3.2.5)
(3.2.6) V
式(3.2.5)式微分方程组(3.2.6)完全等效积分形式，我们可以断言，若积分 方程(3.2.5)对于任意的V都能成立，则微分方程(3.2.1)必然在域内任一点都能
出现不连续，而这种实际可能性在微分方程中是不允许的。
对式(3.2.15)，还应指出的是
(则2)可若以选通择过场适函当数选择时v，，已使满在足强q 边制界边上界v条=0件而，略即去在(3.2q.1边5)界式上中满沿足 q边界积分0 项，
使相应的积分“弱”形式取得 更 简洁的表达式.
2.2.3 基于等效积分形式的近似方法：加权余量法 （Weighted Residual Method， WRM）