数学三十六计继集踢三角

数学三十六计继集之3：踢三角
作者：蚂蚁老师马到成功老师
踢三角为奥数计算题中的一个公式，可以用来计算满足以下条件的算式，1、拥有自然数列，2、拥有等差数列。

公式为：
)21)(3213
1
n n +++++ （，具体处理问题的精妙，可从例题与练习题中来感悟。

【精典名题1】。

例1
计算2+5+8+11+14+17+20+23
【思路点拨】显然这是一串等差数列求和。

如下图，我们把这串数字顺次写到孙悟空的“金箍棒”上：
我们再复制一个完全一样的“金箍棒”，然后把复制的“金箍棒”掉一下头（即绕中心旋转180°），再把两个“金箍棒”合二为一，最后把相同位置上的数相加。

如下图：
我们会发现最后合二为一的这个“金箍棒”每个位置上的数
都是25（2+23=5+20=…=23+2=25），一共有8个位置，所以最后这个“金箍棒”上所有的数的和等于25×8=200，而这个“金箍棒”是由最开始的两个“金箍棒”合二为一的，所以最开始的“金箍棒”上的所有的数之和等于200÷2=100。

因此，我们可以知道2+5+8+11+14+17+20+23=(2+23)×8÷2=100
而事实上，对于任意等差数列{a n
}，我们采取同样的方式：
这里有a i +a n -i +1=a 1+(i -1)·d +a n +[(n -i +1)-n ]·d =a 1+a n 所以a 1+a 2+a 3+…+a n =(a 1+a n )·n ÷2，即
()
2
1n
a a S n n +=，（其中{a n }为等差数列）【精典名题2】计算1+(1+5)+(1+5+9)+(1+5+9+13)+…
+(1+5+9+ (101)
【思路点拨】可能很多人看到这道题目的第一反应就是对每一个括号进行等差数列求和，然后再进行下一步计算。

我们不妨来尝试一下：
()()()()
21022621032622212
101126291325122111×+…+×+×+×=+×+…++×++×++×=
原式
我们会发现到这里后，接下来的计算就不太容易进行下去。

换一个角度来观察原题，容易看出题目中共出现了1个101、2个97、3个93、…、25个5和26个1，因此，原式=1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1。

而变形后的这个算式，是若干个乘积的和的形式。

每一部分乘法算式的第一个因数构成1开始的自然数列，而第二个因数101、97、93、…、5、1，则构成了一个等差数列。

也就是n i i
a i 1
的形式。

我们可以从乘法的意义上来理解式子
()1
n i i a i =×，其中1×a 1表
示1个a 1,2×a 2表示2个a 2，…，i ×a i 表示i 个a i ，…，n ×a n 表示n 个a n
，然后把这些数按照下图方式进行排列：
这些数正好可以排成一个三角形的形状。

我们如果对这个
“三角形”按顺时针方向踢上两脚，则会变成以下样子：
如果把上面三个“三角形”合到一起，我们会神奇地发现重叠之后每一个位置上的三个数之和都等于a 1+2a n （证明过程略）。

而每一个“三角形”都有1+2+3+…+n ()
2
1+=n n 个位置，所以三个
“三角形”上的所有数之和就等于()()
2
121+=
+n n a a n ，从而一个“三角
形
”上的所有数之和就等于
()
()()()
6
123121211+=
+=×+=
+n n a a n n a a n n ，即()()()6
1211
++=×=n n a a a i n n i i ，（其中{a n }为等差数列）
根据这个公式，我们就可以计算前面1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1的结果了。

1×101+2×97+3×93+…+25×5+26×1=(101+1×2)×26×27÷6=12051
【精典名题3】n 2222321 +++＝
【思路点拨】
构造见上图，每个三角形内所有数的和都是：n 2222321 +++三个三角形图叠放在一起，就获得原式的3倍，每个位置上三层
之和都是(21)n -，一共有(123)n ++++ 个。

所以=222
2
111(21)(1)(1)(21)
236
31
2n n n n n n n +++=+´+´=++ 【精典名题4】计算5×23+6×25+7×27+…+20×53【思路点拨】解法一：
原式=(1×15+2×17+3×19+…+20×53)-(1×15+2×17+3×19+4×21)
=(15+53×2)×20×21÷6-(15+21×2)×4×5÷6=8470-190=8280
解法二：
原式=(1×23+2×25+3×27+…+16×53)+(23+25+27+…+53)×4
=(23+53×2)×16×17÷6+(23+53)×16÷2×4=5848+2832=8280
【精典名题5】根据图中5个图形的变化规律，求第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．
【思路点拨】先来看这个题目：1×2×a 1+2×3×a 2+3×4×a 3+…+n ×(n +1)×a n ，（其中{a n }为等差数列）
分析：根据等差数列求和公式，我们知道n ×(n +1)=2×(1+2+3+…+n )，所以上面这道题目就可以变形为：
[1×a 1+(1+2)×a 2+(1+2+3)×a 3+…+(1+2+3+…+n )×a n ]×2因此要求原式的值，只需求1×a 1+(1+2)×a 2+(1+2+3)×
a 3+…+(1+2+3+…+n )×a n 的值即可。

我们以最简单的1×a 1+(1+2)×a 2+(1+2+3)×a 3+(1+2+3+4)×a 4为例。

如下图，根据乘法意义，可以把a 1、a 2、a 3、a 4摆成“金字塔”的形状，然后通过翻转共可以得到4个不同的“金字塔”（让a 1所在的顶点在四个位置各出现一次），
然后把这四个“金字塔”重合，会发现每个位置上的四个数之和都等于a 1+3a 4，而每一个“金字塔”的位置数都是1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=1×4+2×3+3×2+4×1=(4+1×2)×4×5÷6=4×5×6÷6=20个位置，所以这四个“金字塔”上面的所有数之和都等于(a 1+3a 4)×20，那么每一个“金字塔”上的所有数之和都等于(a 1+3a 4)×20÷4=5(a 1+3a 4)
上述过程可描述为：
1×2×a 1+2×3×a 2+3×4×a 3+4×5×a 4
=[1×a 1+(1+2)×a 2+(1+2+3)×a 3+(1+2+3+4)×a 4]×2=(a 1+3a 4)×4×5×6÷6÷4×2=(a 1+3a 4)×4×5×6÷12一般地，
1×2×a 1+2×3×a 2+3×4×a 3+…+n ×(n +1)×a n
=[1×a 1+(1+2)×a 2+(1+2+3)×a 3+…+(1+2+3+…+n )×a n ]×2=(a 1+3a n )×n ×(n +1)×(n +2)÷6÷4×2
=(a 1+3a 4)×n ×(n +1)×(n +2)÷12即，
()()()12
2131+++n n n a a n ，（其中{a n }为等差数列）
理解可得，圆圈个数为：
)
99321()321()211+++++++++++ （166650
12101100992132121
10099214321322121=÷××××+=×
×+××+××+××）（ 升学模拟3
1，
=
×++×+×+×+×794074533211 2，计算3×4+5×7+7×10+9×13+…+101×151
3，在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了31个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在道路上，相邻两名哨兵之间的距离都是3米。

请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？4，=+++1003212222 ＝
5*计算1²+(1²+2²)+(1²+2²+3²)+…+(1²+2²+3²+…+50²)
参考答案：
1，参考名题3，可以用三个旋转的三角形来表示式子的结果，然后三层重叠在一起，可以发现每个位置上的和都是159，而一共有820个位置，套用公式也可：434603
1
)403211279=×
++++×+× （）（2，解：原式=(2×4+4×7+6×10+…+100×151)+(4+7+10+…+151)=(1×4+2×7+3×10+…+50×151)×2+(4+7+10+…+151)=(4+151×2)×50×51÷6×2+(4+151)×50÷2=260100+3875=263975
3，每一条长度3米的线段在距离总和中使用的次数即被跨过的次数是由这条线段左边的点的个数乘以右边的点的个数来决定的，从左到右的30条互不重叠的3米长线段使用情况，可从列式中看出：
3
13032293274328332923301××+××+××+××+××+×× =()3130274283292301××++×+×+×+× 括号中可以用三个三角形数阵来表示，
可得：
2836533
1
303211230=××++++×+×）（）（ 4，2222
11(21001)
100(1001)33835023
310012+++= 5，原式=1²×50+2²×49+3²×48+…+49²×2+50²×1=(1²×50+50²×1)+(2²×49+49²×2)+…+(25²×26+26²×26)=1×50×51+2×49×51+…+25×26×51
=(1×50+2×49+…+25×26)×51
=(50+26×2)×25×26÷6×51
=563550
《数学三十六计搞定小升初》一书自出版发行以来，虽有些不足之处，但仍受到广大高年级学生，奥数教师同行，学生家长的喜爱，我希望下一阶段把我还有的一些实际教学中的想法记录下来汇编成三十六计继集。

每一篇文章都希望得到大家的指导，以期博采众长，惠及学生。

在书最终成稿前，图片，数据，以及选编例题的难度与次序都要再加工，请多提宝贵意见。

--马到成功老师。