热力学统计物理课后习题答案

第一章 热力学的基本规律

1．1 试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T 。

解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =

由此得到 体胀系数T

pV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=

β 等温压缩系数p p

nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V

T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。 解： 体胀系数 p

T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 T T p V V ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=

其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T

p κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得

根据题设 ， 若 p

T T 1,1==κα 则有 C p T V +=ln

ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。

1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是(￡,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为F T L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为T L F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。一般来说，?和Y 是T 的函数，对￡仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为)T -(T -Y A £12α=∆。

解： f (￡,L,T)=0 ，￡=F ￡(L,T)

dT T dL L dT T d L

T L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=££££ (dL=0) 所以 )T -(T -Y A £12α=∆

1．6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ，求气体所做的功和所吸收的热量。

解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。 根据⎰-=VB

VA

pdV W ，

在准静态等温过程中气体体积由VA 膨胀到VB ，外界对气体所做的功为

气体所做的功是上式的负值，

? W =A

B P P RT ln -= 8.31?300?ln20J= 7.47?10?3J 在等温过程中理想气体的内能不变，即?U=0

根据热力学第一定律?U=W+Q ，

气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= ? W = 7.47?10?3J

1.7 在25o C 下，压强在0至1000pn 之间，测得水的体积为

V=18.066?0.715?10?3P+0.046?10?6P 2cm 3?mol ?1

如果保持温度不变，将1mol 的水从1pn 加压至1000pn ，求外界所作的功。

解：将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2

由此得到 dV=(B+2CP)dP

保持温度不变，将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn ，在这个准静态过程中，外界所作的功为

⎰-=VB VA pdV W =⎰+-PB PA

dp P 2CP)(B =1000

132)CP 32BP 21(+-=33.1J ?mol ?1 1．11满足PV n =C 的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为V C 1

-n -n Cn γ= 解： n V n n T n dT dV P C dT PdV dU T V P U C ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫

⎝⎛∆∆+∆=→∆0lim 理想气体多方过程 PV=RT

PV n =C

有 ⎩⎨⎧=+=+⋅=+-0,01V d P n P d V

dP V ndV PV RdT VdP PdV n n dT n R PdV 1--=⇒ 所以

1

--=n R C C V n 另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γV p V p C C R C C

所以得 V C 1

-n -n Cn γ= ， 证毕 1．12 试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn 如果是常量，该过程一定是多方过程。多方指数Cv

Cp n --=Cn Cn 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW （1）

对于准静态过程 有dW= ? pdV

对于理想气体有 dU = Cv dT

气体在过程中吸收的热量为 dQ = CndT

则 热力学第一定律 （1）可表达为 (Cn ? Cv ) dT=pdV

用理想气体的物态方程 ?RT= pV 去除 上式，以及代入Cp ?Cn= ?R 得到V

dV Cv T dT Cv ) (Cp )

(Cn -=- （2） 理想气体的物态方程的全微分为 T

dT V dV P dP =+ （3） 以上两式联立，消去T dT ，得0)(Cn )(Cn =---V

dV Cp P dP Cv （4） 令Cv

Cp n --=Cn Cn ， 上式（4）表示为 0=+V dV n P dP 若Cp,Cv,Cn 都是常量， 将上式积分得 PV n =C

上式表明，过程是多方过程。

1．16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和V 的关系。该关系式中要用到一个函数F （T ），其表达式为()()⎰-=T dT T F 1ln γ。

解： P d V

T d s dV -=, dT C dV V = 对准静绝热过程， dS ＝0，

得到 ()PdV dV dT C s V -==

另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪⎨⎧==-γV

p V p C C R C C 且 PV ＝RT

于是， 1-=γR C V ，V

RT P = 即得到 dV V

RT dT R -=⋅-1γ 令 ()()⎰-=

T dT T F 1ln γ ， ()T dT F dF 1-=γ