三角恒等变换及最值PPT
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三角函数恒等变换ppt课件
(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.
解 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα，所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 55， 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255，因此 tan(α＋β)＝－2.
真题演练
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口， 对于很难入手的问题，可利用分析法.
感谢同学们的聆听
Thanks for Listening
(1)解析 由 α，β 为锐角，则－π2<α－β<π2，由 sin(α－β)＝－ 1100，得 cos(α－β)＝31010， 又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝ 1t＋ant2anα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于 对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和 灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联 系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然 后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生 增解.
解 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα，所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 55， 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255，因此 tan(α＋β)＝－2.
真题演练
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口， 对于很难入手的问题，可利用分析法.
感谢同学们的聆听
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(1)解析 由 α，β 为锐角，则－π2<α－β<π2，由 sin(α－β)＝－ 1100，得 cos(α－β)＝31010， 又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝ 1t＋ant2anα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于 对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和 灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联 系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然 后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生 增解.
人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
简单的三角恒等变换 课件
1 tan2 1 tan2
特点: 两个二次项作差
cos 2 2cos2 1
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名不变
cos 2 1 2sin2
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名变
1.升幂 (去根号) α为锐角
1 cos 2 _________
1 cos 2 _________
2
2
cos2 cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
用途： ➢ 降幂去平方 ➢ 求半角
cos 2 cos2 sin2
cos2 sin2 cos2 sin2
5.5.2
例1 试以cosα表示
.
cos 2 1 2sin2
cos 1 2sin2
2
cos 2 2cos2 1 cos 2cos2 1
2
①÷②得 tan2 1 cos
2 1 cos
sin2 1 cos ①
2
2
cos2 cos 1 ②
2
2
sin2 1 cos
【练习】(2) 已知 域，单调递增区间.
【变式】(3) 已知 值域，单调递增区间.
，求函数f(x)的周期，值 ，求函数f(x)的周期，
【课本练习17题】 (1) 求函数
(2) 求函数
的周期和单调递增区间; 的最大值和最小值
【练习】 2.已知函数
.
（1）求f(x)的最小正周期.
（2）求证：当
时，
个单调区间分别为
别为( )
(
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换(三角函数的最值)-完整版课件
函数 f (x) a b t (t R). （1）指出函数 f ( x的) 最小正周期及单调递增区间；
(2)当x [ , 时]，函数 f 的( x)最大值为
12 6
最小值，并求此时的 x的值。
求3它, 的
例题:
y Asin2 x B sin x C
3.求函数 y cos 2 x sin x 1的值域。
y Asin(x ) B
平方降次 合二为一
练习 化简下列各式，并求其周期、单调性、最值、
对称性：
(1)
y
1
cos2
x
sin
x cos
x
1
sin2
x
2
2
(2) y cos2( x ) 1 sin2x
12 2
练习:
3.设 a ( 3 sin2x,cos2x),b (sin2x,s若in2x),
面积最大？并求出这个最大面积。
Q
D
O
A
C BP
y cos 2x cos x
4.求函数 y sin x cos x sin x的co最s x值。
y A(sinx cos x) B sin x cos x C
应用:
5.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 3的扇
形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩
形。记 CO求P 当角, 取何值时，矩形ABCD的
例题:
1.求下列函数的最大值最小值及取得最值时 x的集合。
(1) y sin(2x )
3
(2) y sin(2x )
x [0, ]
3
2
(3) y sin2x 3 cos 2x
x [ ,0)
2
(2)当x [ , 时]，函数 f 的( x)最大值为
12 6
最小值，并求此时的 x的值。
求3它, 的
例题:
y Asin2 x B sin x C
3.求函数 y cos 2 x sin x 1的值域。
y Asin(x ) B
平方降次 合二为一
练习 化简下列各式，并求其周期、单调性、最值、
对称性：
(1)
y
1
cos2
x
sin
x cos
x
1
sin2
x
2
2
(2) y cos2( x ) 1 sin2x
12 2
练习:
3.设 a ( 3 sin2x,cos2x),b (sin2x,s若in2x),
面积最大？并求出这个最大面积。
Q
D
O
A
C BP
y cos 2x cos x
4.求函数 y sin x cos x sin x的co最s x值。
y A(sinx cos x) B sin x cos x C
应用:
5.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 3的扇
形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩
形。记 CO求P 当角, 取何值时，矩形ABCD的
例题:
1.求下列函数的最大值最小值及取得最值时 x的集合。
(1) y sin(2x )
3
(2) y sin(2x )
x [0, ]
3
2
(3) y sin2x 3 cos 2x
x [ ,0)
2
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数名师授课课件(第5课时简单的三角恒等变换)
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
5.5.2简单的三角恒等变换(第二课时)课件(人教版)
例2 求函数 y 3sin x 4cos x 的周期，最大值和最小值：
解：解法二：设 3sin x 4cos x A( 3 sin x 4 cos x)
A
A
令
3 A
2
4 A
2
1，解得
A2
25，
不妨取A＝5，则 3sin x 4cos x 5(3 sin x 4 cos x)
例6. 如图, 已知OPQ是半径为 1, 圆心角为 3的扇形, C 是扇形弧 上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记∠COP , 求当角 取何值
时, 矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积.
Q
解: 在Rt△OBC中, OC 1, BC OC·sin sin,
D
C
OB OC·cos cos,
（1）sinx cosx; （2）sinx 3cosx; （3） 3sinx cosx;
(2) 原 式 2(sinx 1 cosx 3 )
2
2
2(sinx cos cosx sin )
3
3
2sin (x ) 3
(3) 原 式 2(sinx 3 cosx 1 )
2
2
2(sinx cos cosx sin )
2
2
1 sin 2x 3 cos2x 3
2
2
2
sin(2x ) 3
32
f (x) 0,sin(2x ) 3 ,
3
2
2x 4 或
33
2x 5 ， x 5 或
33
6
x
2
,
,2x
3
2
3
,
5
3
最大值：3，最小值1 3 . 2
第4章第3节第2课时简单的三角恒等变换课件
第三节 三角恒等变换
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
3．化简：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝________.
sin β sin α
[原式＝sin2α＋β－si2nsiαn αcosα＋β
＝sin[α＋α＋β]s－in2αsin αcosα＋β
＝cos
αsinα＋β－sin sin α
∴sin2α＋1π2＝sin2α＋π3－π4
＝sin2α＋π3cosπ4－cos2α＋3πsin
π 4
＝－4
9
2×
22－－79×
22＝7
128－8，故选 B.
第三节 三角恒等变换
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)法一：(先化简后求值)
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x ＝
2 2 cos
x－sin
x
2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x.
由 0＜x＜π4得 0＜π4－x＜π4，
∴cosπ4－x＝ 1－sin2π4－x＝ ∴原式＝2×1123＝2143.
1－1532＝1123，
第三节 三角恒等变换
法二：(先局部后整体)
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
cosπ4＋x＝cosπ2－π4－x＝sinπ4－x＝153， 由 0＜x＜π4得 0＜π4－x＜π4，
第三节 三角恒等变换
给角求值
1
2
细研考点·突破题型 课后限时集训
[典例1－1] [2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°＝
________.
6
简单的三角恒等变换课件
2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．
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考法提炼
方法一：等价转化（差异分析）
方法二：函数方程思想
考点突破
备选例题:
2
（09广东高考模拟题）设 f ( x ) cos x x x 3 2 4t sin cos 4t t 3t 4，x R，将 2 2 f ( x )的最小值记为 g ( t ). （1）求g( t )的表达式； （2）讨论g( t )在( 1,1)内的单调性并求极值 .
1 期. a (tan , tan )， b( , )，且 tan 4 tan 4 10 ab ， 3 5 sin 求
2
4
1
2
8 sin
2
cos
2
11 cos
2
2 sin(
4
2
8 的值.
)
考点突破
A B a ( 2 cos , 例3. 已知 A、B为锐角， 2 A B 6 sin )，a . 2 2 （1）试问： tan A tan B是否为定值？若为 定值，请求出；否则， 请说明理由； （2）求 tan ( A B ) 的最小值，并求此时 A B的值.
考点突破
1 tan 3 ，为锐角，求 例2. 已知 1 tan 3 2 cos 2 tan( 的值.
4
) 2 tan
2 sin
2
sin cos 2 2
2
1
考点突破
变式训练: 已知 0 , 为f ( x ) | cos x | 的最小正周
题型三：三角函数的应用问题
体验高考
1. （09辽宁卷）已知tan 2，则 2 2 sin sin cos 2 cos （ ）
4 A. 3 3 C. 4 5 B. 4 4 D. 5
体验高考
2（ . 09湖南卷）已知向量a (sin , cos 2 sin )， b (1,2). （1）若 a // b，求 tan 的值；
（2）若 a b ，0 ，求的值.
考点突破
例1.下列5个命题： ①已知角的正弦线是单位长度的 有向线段, 则 tan cos 2; 2 2 1 x ( ) , x [1,0] o ②若f ( x ) 3 , 则f [cos(420 )] 3 ; x 3 , x (0,1] o o o o ③ tan 73 tan 13 3 tan 73 13 3 ; ④若在ABC中，A 15o，则 3 sin A cos(B C ) 的值为 2 ; o o ⑤ sin 40 ( 3 tan 10 ) 1. 其中正确命题的序号为 ____ .
三角恒等变换及最值
考点剖析
问题一：写出和（差）角公式及其逆向 式 问题二： 怎样将 a sin b cos 化为标准
形式？
问题三：写出倍角公式及其升降幂公式
问题四：写出几个拆角、拼角的技巧 问题五：如何求三角函数的最值？
考向聚焦
题型一：三角函数的化简求值问题
题型二：三角函数的最值问题