代数学基础试卷1

一.填充题 (每小题2分，共16分)

1.线性空间V 中线性变换A 在两组基n n ηηηεεε,......,,,......,2121下的矩阵分别为A 和B ，则A 和B （有什么关系）

2.属性不同特征值的特征向量 (线性相关，线性无关).

3.齐次线性方程组0=AX （A (为S ×n 阵），r A R =)(.则解空间的维数 .

4.A 为线性空间V 上线性变换,若A 以零作为一个特征值.则A 的行列式 __ ___ ____ .

5.3R 的子空间),,(321αααL 的维数 其中

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=≠=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101),0(,231,111321αααo .

6.已知32,,,1X X X 为线性空间[]4X P 中一组基，则)1(2)(X X X P +=在该组基下的坐标为 .

7.n 维线性空间V 上的可逆线性变换，A 有n 个不同的特征值, A 能否在某组基下的矩阵是对角形 （能，不能）.

8.两组基之间的过渡阵是否可逆 (是,不是).

二．计算

1.设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=314020

112A 的特征向量，求A 的所有特征与特征向量(10分).

2.已知A 是线性空间V 上的可逆线性变换.证明:如果λ是A 的特征根,则

X

1是1-A 的特征根.(8分)

3.设)10,1,0(),1,1,0,0(),1,1,0,1(),0,0,1,1(2121====ββαα.求)(2,1ααL 与)(2,1ββL 的交的维数及一组基.(8分)

4.在线性空间3R 中:(12分)

⑴ 求基)1,0,0(),1,0,1(),0,1,1(321===ααα到基)1,1,1(),1,1,0(),1,2,2(321-=-==ηββ的过渡阵. ⑵ 求向量)0,0,1(=ξ在基32,1,ααα下的坐标及在基32,1,ηηη下坐标.

5.设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，21,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：21εε+不是A 的

特征向量.（8分）

6.如果A 可逆，证明：AB 与BA 相似.(8分)

7.证明}{R X X X W ∈+=)1,.0(是3

R 的子空间,并求维数及一组基.(8分)

8.设321,,ααα为三维空间V 的一组基，又211εεβ+=, 322εεβ+=, 333εβ=. ⑴ 证明321,,βββ也是V 的一组基; ⑵ 求31145εεεξ--=在321,,βββ下的坐标.