学大精品讲义五下数学(含答案)第1讲：简便计算

第一讲简便运算
一、知识梳理
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

二、方法归纳
小数、整数的四则混合运算一样，都是按先乘除，后加减的顺序进行。

整数运算中的定律和性质，在小数运算中同样适用。

乘法分配律是最常见的一种运算定律。

运算定律和性质：
1．加法运算定律：a＋b＝b＋a （交换律）
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （结合律）
2．乘法运算规律：a×b＝b×a（交换律）
(a×b)×c＝a×(b×c) （结合律）
a×(b＋c) ＝a×b＋a×c （分配律）
3．带符号搬家
同级运算优先考虑带符号搬家
1）加减同为一级运算，在只有加减的混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a－b＋c＝a＋c－b a＋b－c＝a－c＋b
2）乘除同为二级运算，在只有在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a÷b÷c＝a÷c÷b a÷b×c＝a×c÷b
4．添括号、去括号
添加括号原则： a＋b＋c＝a＋(b＋c) a×b×c＝a×(b×c)
a＋b－c＝a＋(b－c) a×b÷c＝a×(b÷c)
a－b－c＝a－(b＋c) a÷b÷c＝a÷(b×c)
a－b＋c＝a－(b－c) a÷b×c＝a÷(b÷c)
注意：同级运算中，无论去括号还是添括号，变不变（括号里面的符号）看前面，前面是- （÷）全变号；前面是+（×）全不变
三、课堂精讲
（一）题目出现 25 与 125 的情况
例 1 (1) 8×25×125×4（2）2.5×32×12.5
【规律方法】看到 25 就应想到 4，因为25×4=100；看到 125 就应想到 8，因为125×8=1000，没有 4 和8，通过找它们的倍数变换出来
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 A
（1）4×3.78×0.25（2）125×246×0.8
（二）同级运算首先考虑带符号搬家，加法和减法考虑凑整，除法考虑把相同的数放在一起除。

（注：加法与减法是同级运算属于第一级运算，乘法与除法是同级运算属于第二级运算。

）
例 2 (1) 4.16-2.2+3.84+4.2 （2）7.75×2.5÷7.75×0.4
【规律方法】不带括号的同一级运算，可依据其数值特征，调整其原有的运算顺序，使计算简便。

（注意：带符号搬家）
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 A
（1）7.48+3.17-（2.48-1.8）（2）5×3.71×2÷3.71
（三）几组乘数相加或相减形式有简便运算一定是乘法分配律。

（关键：找到相同的乘数1、直接找；2、找是倍数关系的两个数；3、找能凑整的两个数；4、将某些数字进行合理的等
值变形，变出相同的公因数）
例3（1）20.07×39+200.7×4.1+40×10.035（2）2999+999×999
(3)255×999＋510-255 （4）6.8×16.8＋19.3×3.2
【规律方法】本题主要掌握变形之后可以运用乘法分配律：a×(b＋c) ＝a×b＋a×c 及逆用a×b＋a×c= a×(b＋c)
（1）观察发现式子中有很多类似乘法分配律的结构：两边是乘法，中间是加法，先用积不变的性质将它们转化为相同的因数，我们不难发现 20.07、200.7、10.035 这几个数是倍数关系，则可统一改成 20.07，再运用乘法分配律。

（2）我们可以把 2999 拆成 2000+999，再利用乘法分配律2000+999×（1+999），题目就变得简单了。

（3）通过仔细观察我们可以发现：255×999＋510-255=255×999＋225×2-255×1
（4）虽然 6.8 与3.2 和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不难想到把19.3 分成 16.8 加 2.5，这样计算就简便多了。

【搭配课堂训练题】
【难度分级】 C
（1）36×1.09+1.2×67.3（2）333×666＋999×778
（3）15.6×13.1－15.6－15.6×2.1（4）7.2×61.3+73.8×2.8
（四）只有一项乘数或除数先算出乘数或除数，一般算出结果与后一项相加为 1
例4(1)3- 0.7×2-0.6 （2）21－10.8÷3－6.4
【规律方法】（1）我们把0.7×2 算出来为 1.4，不难发现 1.4 和 0.6 恰好可以凑整；
（2）我们把10.8÷3算出来为 3.6，不难发现 3.6 和6.4 恰好可以凑整。

【搭配课堂训练题】
【难度分级】 A
(1)7- 0.9×2-3.2 （2）16.9－20.5÷5－5.9
（五）比较多的加减混合考虑找规律
例 5（1）100-99+98-97+...+4-3+2-1
【规律方法】本题是对加法交换律和结合律的深入考察，我们会发现每两个数放在一起计算结果都为 1,100 个数可以分为 50 组。

【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
（1）40-38+36-34+...+4-2
（六）当一个数接近 1、10、100 或 1000 时考虑用拆分凑整法。

例6（1）9.9+99.9+999.9+9999.9+0.4 （2）101+1001+10001+100001
【规律方法】当一个数接近 1、10、100 或1000 时考虑用拆分凑整法。

但是，一定要记住“多加的”要“减掉”。

“多减的”要“加上”！
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
（1）1.999+19.99+199.9+1999 （2）9.8+99.8+999.8+0.6
（七）各个数位上的数字和一样的情况。

例7 （1）1234＋2341＋3412＋4123
【规律方法】整体观察全式，可以发现题中的 4 个四位数均由数 1，2，3，4 组成，且 4 个数字在每个数位上各出现一次，于是有：
原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111
＝（1＋2＋3＋4）×1111
＝10×1111
＝11110
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
（1）2378+3782+7823+8237 （2）45678＋56784＋67845＋78456
（八）二次用到乘法分配律
例8 （1）2.8×23.4＋2.8×65.4＋88.8×7.2（2）77×13＋255×999＋510
【规律方法】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。

不难发现，这里是二次用到乘法分配律。

【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
（1）34.5×76.5－345×6.42－123×1.45（2）316×48－340×28＋24×48
（九）各部分的结构比较固定，相同数字或部分重复出现，考虑用设字母代换法。

例9.（1）（1+0.23+0.34）× （0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）
【规律方法】观察发现括号里的 0.23+0.34 和 0.23+0.34+0.56 是重复出现的，可以分别用字母 a 代表 0.23+0.34，字母 b 代表 0.23+0.34+0.56，再运用乘法分配律进行（1+a）×b- (1+b) ×a=(b+ab)-(a+ab)=b-a,再把原数代入即可。

【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
（1+0.73+0.84）× （0.73+0.84+0.95）-（1+0.73+0.84+0.95）×（0.73+0.84）
四、讲练结合
（1） 4.75－9.17＋（8.25－2.83）(2)4.16+2.2+3.84-4.2 （3）78－4.5＋22－45.5 （4）9999×2222＋3333×3334（5）（4.5×22.2×4.8）÷（11.1×0.8×0.9）（6）45×2.08+1.5×37.6
（7）1234＋2341＋3412＋4123 (8）5.82×4.9889+5×0.0111-0.82×4.9889 （9）100+99-98-97+96+95-94-93+...+4+3-2-1 （10）9+89+899+8999 （11）235×12.1＋235×42.2－135×54.3（12）4.4×57.8＋45.3×5.6（13）497-6×8-49 （14）25.6-0.6×9-4.6
(15) 999×999＋1999 （16）54＋99×99＋45
（17）（1+0.35+0.56）× （0.35+0.56+0.67）-（1+0.35+0.56+0.67）×（0.35+0.56）
五、课后自测练习
（1）3.25-3.16+（6.75-1.84）（2）4.32×4÷4.32×1.5
（3）11.8-1.8×3-5.6 （4）0.125×75+1.25×82.5+12.5
（5）0.9999×0.7+0.1111×2.7（6）48×1.08+1.2×56.8
（7）（8.46×0.78+1.02×8.46-0.8×8.46）÷4.23（8）39×3.12＋1.5×31.2+312×0.46（9）34.5×76.5－345×6.42－123×1.45（10）3.6×25.4+37.9×6.4
（11）（3.4×4.8×9.5）÷（1.9×1.7×2.4）（12）4.2×26＋0.42×640＋42 （13）255×999＋510 (14)543×36＋117×36＋660×64
（15）（2+0.33+0.44）× （0.33+0.44+0.55）-（2+0.33+0.44+0.55）×（0.33+0.44）
第一讲简便运算【答案】
课堂精讲：
例1（1）100000 （2）1000
【搭配课堂训练题】
（1）3.78 （2）24600
例2(1) 4.16-2.2+3.84+4.2 （2）7.75×2.5÷7.75×0.4 =（4.16+3.84）+（4.2-2.2）=（7.75÷7.75）×（2.5×0.4 =8+2 =1×1
=10 =1
【搭配课堂训练题】
（1）10 （2）10
例3（1）20.07×39+200.7×4.1+40×10.035(2) 2999+999×999
=20.07×39+20.07×41+20×20.07=2000＋999＋999×999
=20.07×（39+41+20）=2000＋999×(999＋1)
=20.07×100=2000＋999000
=2007 =1001000
（3）255×999+510-255 （4） 6.8×16.8＋19.3×3.2 =255×999+255×2-255×1 =6.8×16.8＋（16.8+2.5）×3.2
=255×（999+2-1）=16.8×（6.8+3.2）+2.5×3.2
=255×100 =16.8×10+2.5×4×0.8
=25500 =168+8
=176
【搭配课堂训练题】
（1）120 （2）999000 （3）156 （4）648
例 4(1)1 （2）11
【搭配课堂训练题】
（1）2 （2）6.9
例 5（1）50
【搭配课堂训练题】
（1）20
例6（1）11110 （2）11114
【搭配课堂训练题】
（1）2220.889 （2）1110
例7（1）11110
【搭配课堂训练题】
（1）22220 （2）333330
例8（1）2.8×23.4＋2.8×65.4＋88.8×7.2（2）77×13＋255×999＋510 =2.8×（23.4+65.4）+88.8×7.2=1001+255×999＋255×2
=2.8×88.8++88.8×7.2=1001+255×（999＋2）
=88.8×（2.8+7.2）=1001×1+255×1001
=88.8×10=1001×（1+255）
=888 =1001×256
=256256
【搭配课堂训练题】
（1）246 （2）6800
例 9（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）设：a=0.23+0.34 b=0.23+0.34+0.56 则：
原式=（1+a）× b-（1+b）× a
=b+ab-a-ab
=b-a
=（0.23+0.34+0.56）-（0.23+0.34）
=0.56
【搭配课堂训练题】
（1）0.95
讲练结合：
（1）1 (2)6 （3）50 （4）33330000 （5）60
（6）150 （7）11110 (8）25 （9）100 （10）9996 （11）5430 （12）508 （13）400 （14）15.6 (15 )1000000 （16）9900 （17）0.67
课后自测练习：
（1）5 （2） 6 （3）0.8 （4）125 （5）1.111
（6）120 （7）2 （8）312 （9）246 （10）334 （11）20 （13）255255 (14)66000
（15）（2+0.33+0.44）× （0.33+0.44+0.55）-（2+0.33+0.44+0.55）×（0.33+0.44）设：a=0.33+0.44 b=0.33+0.44+0.55 则：
原式=（2+a）× b-（2+b）× a
=2b+ab-2a-ab
=2×（b-a）
=2×[（0.33+0.44+0.55）-（0.33+0.44 ）]
=2×0.55
=1.1。