2017-2018年上海市复旦附中高二上期末数学试卷含答案

复旦大学附属中学2017学年第一学期

高二年级数学期末考试试卷

一、填空（每题4分，共48分）

1、准线方程为10y +=的抛物线标准方程为 .

2、已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 圆的切线方程为 .

3、若椭圆22

1369

x y +

=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为 . 4、参数方程2

cos 2sin x y θ

θ=⎧⎨=+⎩

（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是 . 5、已知椭圆()222104x y a a +

=>与双曲线22

193

x y -=有相同的焦点，则a 的值为 . 6、设1F 和2F 为双曲线22421x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260F PF ∠=，则12F PF 的面积是 .

7、已知抛物线24y x =的焦点F 和点()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取得最小值时点

P 的坐标为 .

8、椭圆

2211612

x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 . 9、双曲线

22

2

14x y b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1126,0PF PF PF =⋅=，则双曲线渐近线的夹角为 .

10、已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 与圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程 .

11、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .

12、已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆

()()22

:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是 .

二、选择题：（每题4分，共16分）

13.当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（ ）

A.焦点在x 轴的椭圆

B. 焦点在x 轴的双曲线

C. 焦点在y 轴的椭圆

D. 焦点在y 轴的双曲线

14、已知圆O 的方程为()2220x y r r +=>，点()(),0P a b ab ≠是圆O 内一点，以P 为中点的弦所在的直线为m ，直线n 的方程为2ax by r +=，则（ ） A.//m n ，且n 与圆O 相离 B. //m n ，且n 与圆O 相交 C. m 与n 重合，且n 与圆O 相离D. m n ⊥，且n 与圆O 相离

15、椭圆2211615x y +=上有n 个不同的点123,,,...n P P P P ，椭圆的右焦点F ，数列{}n

P F 是公差大于1

2018

的等差数列，则n 的最大值为（ ）

A.2017

B.2018

C.4036

D. 4037

16、如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 的公共点为M ，若60AMF ∠=，则MFO ∠的大小为（ ） A.15 B.30 C.45 D.不确定

三、解答题（共56分）

17.（满分10分，各小题5分）

已知抛物线2:4C y x =与直线l 交于,A B 两点。 （1）若直线l 的方程为24y x =-，求弦AB 的长度；

（2）O 为坐标原点，直线l 过抛物线的焦点，且AOB 面积为l 的方程.

18.（满分10分，各小题5分）

已知双曲线22

:143

x y C -=. （1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程； （2）P 为双曲线C 右支上一动点，点A 的坐标是()4,0，求PA 的最小值.

19、（满分10分，各小题5分）

已知曲线221:4C x y +=，点N 是曲线1C 上的动点，O 是坐标原点.

（1）已知定点()3,4M -，动点P 满足OP OM ON =+，求动点P 的轨迹方程； （2）如图，设点A 为曲线1C 与x 轴的正半轴交点，将点A 绕原点逆时针旋转23

π

得到点，点N 在曲线1C 上运动，若ON mOA nOB =+,求m n +的最大值.

20、（满分13分，4+4+5=13）

已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝

⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上。

（1）求C 的方程；

（2）椭圆C 上是否存在不动的两点,M N 关于直线1x y +=对称？若存在，请求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由；

（3）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于,A B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1，求证：l 过定点. 21、（满分13分，4+4+5=13）

已知曲线()()2:2240,a x by b a b R Γ--+-=∈.

（1）若4a b ==，求经过点()1,0-且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；

（2）若4a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两个点都不在曲线Γ上；

（3）若曲线Γ与线段()01y x x =≤≤有公共点，求22a b +的最小值.