机械振动2-1简谐振动
机械振动简谐振动的特征
初相位 （initial phase）
t = 0 时刻的相位，决定开始时刻振子的运动状态
初始条件 x Acos(t ) v Asin( t )
t=0时
v0x0
A cos A sin
A
波动篇
内容： 机械振动 机械波 波动光学
前言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
注意到
sin
3
5
3! 5!
若θ很小（摆球作小角度摆动）
O f mg
则 sin
M mgl
运用定轴转动定律
mgl
ml 2
d 2
dt 2
M J
方程改写
d 2
dt 2
mgl
ml 2
0
令
2 g/l
得振动微分方程
d 2 2 0
dt 2
例：交流电(电流强度)，电磁振荡(场强)
本章的基本内容 第一，简谐振动（特征量，表示法，能量；例证）； 第二，振动的合成与分解； 第三，阻尼振动、受迫振动、共振，非线性振动。
§16.1 简谐振动 (Harmonic Vibration)
一、典型模型：弹簧振子
2.1简谐运动(共45张PPT)
2、画法:
坐标原点0－平衡位置 横坐标t－振动时间 纵坐标x－振子偏离平衡位置的位移
注意：规定在0点右边时位移为正，左边时位移为负.
方法一、频闪照片法1--水平方向
时间t(s)
0
t0
2t0
3t0 4t0
5t0
6t0
位移x(m） -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
o
0.35
0.70
1.05
1.40
振动图象是一条正弦曲线.
四、简谐运动
1、定义：
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦 函数的规律，即它的振动图象（x—t图象） 是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐 运动。
简谐运动是最简单、最基本的振动。
思考：从简谐运动图象得出什么？
1.质点离开平衡位置的最大位移？ 2.1s末、4s末、10s末质点位置在哪里？ 3.1s末、6s末质点朝哪个方向运动？ 4.质点在6s末、14s末的位移是多少？ 5.质点在4s、16s内通过的路程分别是多少？ 6.0--16s哪些时间内位移方向与运动方向相同？
矢量 ③ “－”表示回复力与位移的方向相反．
5.简谐运动的特点：
1、简谐振动是最简单、最基本的运动，简谐振动是理想化的振动。 2、回复力与位移成正比而方向相反，总是指向平衡位置。 3、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程中无阻力，所以振动
系统机械能守恒。 4、简谐运动是一种非匀变速运动。 5、位移随时间变化关系图是正弦或余弦曲线.
t/s
-20
小结
1、机械振动：物体在平衡位置（中心位置） 两侧附近所做往复运动。通常简称为振动。 平衡位置：振子原来静止时的位置
物理机械振动、简谐振动图像讲解
物理机械振动、简谐振动图像讲解物理机械振动、简谐振动图像讲解一. 本周教学内容：机械振动、简谐振动图像二. 总结归纳知识网络：三. 重、难点分析1. 描述振动的量（1）位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，矢量。
（2）振幅A：振动离开平衡位置的最大距离，标量，表示振动的强弱。
（3）周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率那么等于单位时间内完成全振动的次数，它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系： < "0" 1248287925"> 其中摆长4. 简谐运动的图象（1）如下图为一弹簧振子做简谐运动的图象，它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线。
（2）根据简谐运动的规律，利用该图象可以得出以下信息：1°振幅A、周期T以及各时刻振子的位置。
2°各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向。
3°某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4°某段时间内振子的路程。
5. 振动的类型（1）简谐运动（又称自由振动）：机械能守恒，振幅不变，周期等于固有周期。
（2）阻尼振动：系统机械能不断损耗，振幅不断减小，周期等于固有周期。
（3）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
（4）共振：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时的受迫振动，振幅最大。
【典型例题】例1. （1998年?全国）如下图，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。
现将摆球A在两摆球线所在平面内向左拉开一小角度释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，那么（）A. 如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B. 如果mAC. 无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D. 无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：碰撞后两球各自做简谐运动，两摆的摆长相等，周期的大小与振幅、质量无关，两摆的周期相等。
2022秋新教材高中物理第二章机械振动第一节简谐运动课件粤教版选择性必修第一册
解决简谐运动问题的两点技巧 (1)先确定最大位移处(v＝0)和平衡位置，才能确定振幅大小。 (2)求某段时间Δt内振子通过的路程时，须先确定这段时间是周期的多少倍， 若Δt＝kT，则s＝4kA。(k为整数)
[素养训练]
1．关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是
解析：根据全振动的定义可知，一次全振动应包括四个振幅，并且从一点出发并 同方向回到该点，才是一次全振动，从B→O→C为半个全振动，A选项错误，从 O→B→O→C 的 过 程 中 没 有 再 回 到 起 始 点 ， 不 是 一 次 全 振 动 ， B 选 项 错 误 ； 从 C→O→B→O→C为一次全振动，从D→C→O→B→O→D为一次全振动，C、D选 项正确。 答案：CD
答案： C
探究(三) 简谐运动中各物理量的变化规律 [问题驱动] 如图所示，O点为振子的平衡位置，A、B分别是振子运动的最右端和最左端。 (1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小？ (2)振子在振动过程中由A→B的过程中加速度如何变化？
提示：(1)最大。 (2)先减小后反向增大。
[重难释解] 1．水平的弹簧振子运动时，弹性势能与动能相互转化。弹性势能最小时， 动能最大；弹性势能最大时，动能最小。 2．如图所示的水平弹簧振子，其各个物理量的变化关系如下表所示：
()
A．振幅等于四分之一个周期内的路程
B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
解析：由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内走过的路程不一
机械振动和简谐振动
机械振动和简谐振动机械振动是自然界和工程实践中常见的现象，而简谐振动则是机械振动中最为基本和重要的模型。
本文将介绍机械振动和简谐振动的概念、特点以及一些应用。
一、机械振动的概念和特点机械振动是物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。
它可以是机械系统中的部件振动，也可以是整个机械系统的振动。
机械振动往往由质点或弹簧等弹性元件的弹力引起。
其特点如下：1. 周期性：机械振动的运动是周期性的，当物体围绕平衡位置做一次完整的往复运动后又回到同样的位置和状态。
这一周期性使得机械振动具有可预测性和可重复性。
2. 频率：机械振动的频率是其运动的重要特征，代表了单位时间内振动的次数。
频率与振动周期的倒数成正比，可以通过实验或计算得到。
3. 幅度：机械振动的幅度代表了振动的最大位移或最大速度。
幅度与振动的能量大小相关，可以通过实验或计算得到。
4. 阻尼和驱动力：机械振动中常常存在阻尼和外加驱动力。
阻尼消耗了振动的能量，而驱动力则为物体提供了能量，影响了振动的稳定性和特性。
5. 谐振现象：在机械振动中，当外加力的频率接近物体的固有频率时，会出现谐振现象。
谐振时，振动幅度最大，能量传递效率高。
二、简谐振动的概念和特点简谐振动是机械振动中最简单的一种形式，其模型假设了无阻尼和驱动力的作用。
简谐振动具有以下特点：1. 一维振动：简谐振动在物理模型中往往被假设为一维振动，即物体围绕一个平衡位置在一条直线上往复振动。
2. 束缚性：简谐振动在一个有限范围内进行，物体保持在某个平衡位置附近做往复运动，不会无限制地扩散或发散。
3. 固有频率：简谐振动的频率与物体的固有特性有关，而与外界的驱动力无关。
物体的固有频率可以通过实验或计算得到。
4. 振幅和相位：简谐振动的振幅和相位是其两个重要的参数。
振幅代表振动的最大位移或速度，而相位则代表振动的位置关系。
5. 能量守恒：在简谐振动中，能量在势能和动能之间周期性转换，总能量保持不变，体现了能量守恒定律。
2025版新教材高中物理第2章机械振动1简谐运动课前预习新人教版选择性必修第一册
1．简谐运动学习目标1．初步形成简谐运动的概念。
2．通过对弹簧振子的分析，理解简谐运动这一志向化模型。
3．通过对弹簧振子的x－t图像的绘制，理解简谐运动的特点。
4．通过探讨过程，能分析数据发展特点，形成结论。
思维脉络机械振动与弹簧振子1.机械振动(1)定义：物体(或物体的一部分)总是在某一位置旁边的_往复运动__，叫机械振动，简称振动。
(2)特征：第一，有一个“中心位置”，即_平衡__位置，也是振动物体静止时的位置；其次，运动具有_往复性__。
2．弹簧振子(1)弹簧振子：弹簧振子是指_小球__和_弹簧__所组成的系统，是一种_志向化__物理模型。
(2)振子模型：常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子。
如图所示，图甲中球与杆之间的摩擦力及空气阻力可以_忽视__，且弹簧的质量与小球的质量相比可以_忽视__。
『判一判』(1)弹簧振子是一种志向化的物理模型。
( √ )(2)弹簧振子的平衡位置都在原特长。
( × )(3)平衡位置即速度为零时的位置。
( × )弹簧振子的位移—时间图像1.建立坐标系以小球的_平衡位置__为坐标原点，沿着_它的振动__方向建立坐标轴。
规定小球在平衡位置_右边__时它对平衡位置的位移为正，在_左边__时为负(以水平弹簧振子为例)。
2．位移—时间图像横坐标表示振子振动的_时间__，纵坐标表示振子相对_平衡位置__的位移。
3．物理意义反映了振子的_位移__随_时间__的变更规律。
『选一选』(多选)某弹簧振子的位移随时间变更的图像如图所示，则振子( ACD )A．第1 s末与第3 s末的位移相同B．第1 s末与第3 s末的速度相同C．4 s末至 8 s末路程为10 cmD．3 s末至5 s末速度方向不变解析：由图像可以看出，t＝1 s和t＝3 s两时刻位移相同，故A正确；第1 s末和第3 s末的速度方向不同，故B错误；由图像可知，4 s末至8 s末质点运动的路程为s＝2×5 cm＝10 cm，故C正确；3 s末至5 s末速度方向不变，故D正确。
2021人教版(2019)高中物理必修一2-1简谐运动同步练习
物理选择性必修一1．水平弹簧振子在运动过程中，不发生的变化的是（）A．动能B．机械能C．回复力D．弹性势能【答案】B2．简谐振动属于（）A．匀变速直线运动B．匀速直线运动C．曲线运动D．变速运动【答案】D3．机械振动中，下列各组物理量中其方向始终相反的是A．回复力与速度B．位移与速度C．加速度与位移D．速度与加速度【答案】C4．机械振动中，下列各组物理量中其大小变化始终一致的是A．回复力与速度B．位移与速度C．加速度与速度D．位移与加速度【答案】D5. 一简谐运动的图像如图所示,在0.1~0.15 s这段时间内()A.加速度增大,速度变小,加速度和速度方向相同B.加速度增大,速度变小,加速度和速度方向相反C.加速度减小,速度变大,加速度和速度方向相同D.加速度减小,速度变大,加速度和速度方向相反【答案】B6. 如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是()A．t2时刻振子在A点B．t2时刻振子在B点C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小【答案】AC7．如图所示，物体 A 置于物体 B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与 B 相连，在弹性限度范围内，A 和 B 一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），均保持相对静止． 则下列说法正确的是A ．A 和B 均作简谐运动B ．作用在 A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比C ．B 对 A 的静摩擦力对 A 做功，而 A 对 B 的静摩擦力对 B 不做功D ．B 对 A 的静摩擦力始终对A 做正功，而 A 对 B 的静摩擦力始终对 B 做负功【答案】AB8．一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．质点的振动频率是4HzB ．在10s 内质点经过的路程是20cmC ．第4s 质点的加速度为零，速度最大D ．在1s t =和3s t =两时刻，质点的位移大小相等、方向相同【答案】BC9．如图，轻质弹簧下挂重为300N 的物体A 时伸长了3cm ，再挂上重为200N 的物体B 时又伸长了2cm ，现将A 、B 间的细线烧断，使A 在竖直平面内振动，则（ ）A．最大回复力为500N，振幅为5cmB．最大回复力为200N，振幅为2cmC．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变【答案】BD。
机械振动之简谐振动
自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系
统内部回复力作用下运动。
3 回首页 回上页 下一页
（1）平衡位置与坐标原点：
平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原 点。
（2）弹性回复力的特点： K
回复力与位移正比而反 向（线性回复力），即
F= -kx
此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡
位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正
弦）规律变化的振动。
x A cos(t 0 )
2
§4-1 简谐振动的动力学特征
一、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
构成：轻质弹簧与刚体联结 条件：位移在弹性限度内，
无阻尼时的自由振动
X
0
阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射
v
X
0
❖ t=0时, x0=-A, v0=0
X
-A 0
❖ t=0 时，x0=A, v0=0.
vx00
Acos0 Asin 0
A
0
0 0
vx00
Acos0 Asin 0
0
0
0
2
vx00
Acos0 Asin 0
A 0
0
15
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❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
12 回首页 回上页 下一页
(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数 1 T 2
(3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数
即＝２
2.1简谐振动
2）简谐振动动力学方程
d x 2 x 0 2 dt
3）简谐振动运动学方程
2
x A cos t
三、简谐振动的特征物理量
A
x A cos t
振幅
最大位移 由初始条件决定 系统的周期性 固有的性质
圆频率 角频率 频率 2π 1 周期 T T
π t 3
π 1 s 2
五、
简谐振动的能量
以弹簧振子为例
x A cos(t ) F kx v A sin(t ) 1 1 2 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 2 Ep kx kA cos (t ) 2 2
2
d 2 a A cos t dt 2 x
x A cos t π A cos t 2 2 a A cos t π
x, , a 均是作谐振动的物理量
频率相同 振幅的关系
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
0, x 0, v 0 求 x Acos(t )
讨论
已知 t
0 A cos
π 2
v
x
v Asin(t ) v0 Asin 0 π sin 0 取
A
o
A
x
π t 意味 3
A x 2
x
2
< 0
1
•质点过平衡位置向负方向运动
π t 2
同样
0
x0
A
v
A
A
A
机械振动公式总结
机械振动公式总结机械振动是指物体在作有规律的往复运动时所表现出的现象，它广泛应用于工程领域，例如机械工程、建筑工程、航空航天工程等。
机械振动公式是描述机械振动性质和特点的数学公式，可以用于计算、分析和预测机械振动的参数和行为。
下面是一些常见的机械振动公式的总结。
1.简谐振动公式简谐振动是指在没有外力或外力恒定时，物体的振动是以弹性势能和动能的相互转化为基础的。
简谐振动公式可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，单位为米；A表示振幅，单位为米；ω表示角速度，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；φ表示初相位，单位为弧度。
2.弹性力系数公式弹性力系数是描述弹性材料力学性质的一个参数，也是机械振动中重要的参数之一、弹性力系数公式可以表示为：F = kx其中，F表示受力，单位为牛顿；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；x表示位移，单位为米。
3.自然频率公式自然频率是指物体在没有外力作用时，在固有的弹性约束条件下产生的振动频率。
自然频率公式可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示自然频率，单位为赫兹；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；m表示质量，单位为千克。
4.阻尼振动公式阻尼振动是指在振动过程中存在能量损失的振动，由于摩擦、空气阻力等因素的存在。
阻尼振动公式可以表示为：x = e^(-βt) * (Acos(ωdt + φ1) + Bsin(ωdt + φ2))其中，x表示位移，单位为米；β表示阻尼系数，单位为弧度/秒；ωd表示阻尼角频率，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；A、B、φ1、φ2表示振动的参数。
5.多自由度振动公式多自由度振动是指多个物体同时进行复杂的振动过程，可以通过多自由度振动公式来描述。
多自由度振动公式可以表示为：M¨+KX=0其中，M表示质量矩阵，K表示刚度矩阵，X表示位移矩阵。
通过这些机械振动公式，我们可以计算出机械系统的振幅、频率、质量、弹性力系数等参数，进而进行分析和预测。
高中物理选择性必修一：2-1简谐运动
（过平衡位置时不一定处于平衡状态）
（3）是振动方向上速度最大的位置
（4）经过平衡位置时，位移、加速度改变方向。
2、弹簧振子的位移x： （1）都是相对于平衡位置的位移， （2）方向背离平衡位置，与加速度方向相反。 （3）位移变大时，速度减小，动能减小，加速度变大
二、简谐运动及其图象
振动图象（x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振动
t
横坐标——时间；纵坐标——偏离平衡位置的位移
3、简谐运动中位移、加速度、速度、动量、动能、 势能的变化规律
C OB
（1）振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，因此， 方向就是从平衡位置指向末位置的方向，大小就是这两位 置间的距离，两个“端点”位移最大，在平衡位置位移为 零。 （2）加速度a在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方 向总指向平衡位置。在平衡位置改变方向。
4、弹簧振子的位移—时间图象 (2)、描图记录法 在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔，让一 条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运 动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象。
记 录 法 描
上图中画出的小球运动的x—t图象很像正 弦曲线，是不是这样呢？
方法一 验证法:
假定是正弦曲线，可用刻度尺测量它的振幅和周 期，写出对应的表达式，然后在曲线中选小球的若干 个位置，用刻度尺在图中测量它们的横坐标和纵坐标， 代入所写出的正弦函数表达式中，看求出的函数值是 否与测出的位移相等，若相等，则这条曲线就是一条 正弦曲线。
方法二 拟合法:
在图中，测量小球在各个位置的横坐标和纵坐 标，把测量值输入计算机中作出这条曲线，然后按 照计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，看 一看弹簧振子的位移——时间的关系可以用什么函 数表示。
4、弹簧振子的位移—时间图象
《机械振动》知识梳理
《机械振动》知识梳理【简谐振动】1.机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧来回做往复运动，叫做机械振动。
机械振动产生的条件是：（1）回复力不为零。
（2）阻力很小。
回复力:使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力，回复力属于效果力，在具体问题中要注意分析什么力提供了回复力。
2.简谐振动：在机械振动中最简单的一种理想化的振动。
对简谐振动可以从两个方面进行定义或理解：（1）物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐振动。
（2）物体的振动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动，叫做简谐振动，在高中物理教材中是以弹簧振子和单摆这两个特例来认识和掌握简谐振动规律的。
【简谐运动的描述】位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段叫做位移。
位移是矢量，其最大值等于振幅。
振幅A：做机械振动的物体离开平衡位置的最大距离叫做振幅，振幅是标量，表示振动的强弱。
周期T：振动物体完成一次余振动所经历的时间叫做周期。
所谓全振动是指物体从某一位置开始计时，物体第一次以相同的速度方向回到初始位置，叫做完成了一次全振动。
频率f：振动物体单位时间内完成全振动的次数。
角频率：角频率也叫角速度，即圆周运动物体单位时间转过的弧度数。
引入这个参量来描述振动的原因是人们在研究质点做匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点射影做的是简谐振动。
因此处理复杂的简谐振动问题时，可以将其转化为匀速圆周运动的射影进行处理，这种方法高考大纲不要求掌握。
相位：表示振动步调的物理量。
现行中学教材中只要求知道同相和反相两种情况。
【简谐运动的处理】用动力学方法研究，受力特征：回复力F =－ Kx；加速度，简谐振动是一种变加速运动。
在平衡位置时速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
用运动学方法研究：简谐振动的速度、加速度、位移都随时间作正弦或余弦规律的变化，这种用正弦或余弦表示的公式法在高中阶段不要求学生掌握。
2-1简谐运动(教学课件)人教版(2019)物理选择性必修第一册 第二章 机械振动
【例8】(x-t图像的应用)下图是某质点做简谐运动的
振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题: (1)质点在第2 s末的位移是多少? (2)质点振动过程中的最大位移是多少? (3)在前4 s内,质点经过的路程是多少? 答案:(1)0 (2)10 cm (3)40 cm
四、弹簧振子的位移—时间图像
3．物理意义：反映了振子的位移随时间的变化规律。
四、弹簧振子的位移—时间图像
五、简谐运动及其图象
1、定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即 它的振动图象（x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐 运动。
2、图象意义:表示一个振子不同时刻所在的位置 或者一个振子位移随时间的变化规律。
➢物体在平衡位置附近所做的往复运动叫做机械振 动，简称振动。
一、机械振动
1、定义：物体在平衡位置附近的往复运动。
2、特点： （1）平衡位置——“对称性”。
振动停止时物体所在的位置 （2）往复运动——“周期性”
这些运动的共同特点是什么？
（1）、围绕着“中心”位置
（2）、“往复”运动
二、简谐运动
1. 理想模型--- 弹簧振子 振子以O点为中心在水平杆方向做往复运动．
解析:(1)由x-t图像可以读出2 s 末质点的位移为0。
(2)质点的最大位移在前4 s里发生在1 s末和3 s末,位移大小为10 cm。 (3)前4 s,质点先朝正方向运动了距离为10 cm的一个来回,又在负方向上
运动了距离为10 cm的一个来回,故总路程为40 cm。
【例9】（多选）下列说法中正确的是( AD ) A. 弹簧振子的运动是简谐运动 B. 简谐运动就是指弹簧振子的运动 C. 简谐运动是匀变速运动 D. 简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种
机械振动——简谐运动的基本概念2
两边对时间求导，得
1 dv 1 dx m ⋅ 2v + k ⋅ 2 x =0 2 dt 2 dt
即
m⋅v
d 2x + k ⋅ xv = 0 dt 2 d 2x k + x=0 dt 2 m
令ω ＝
2
k ，则 m d 2x +ω2x = 0 2 dt
其解为
x = A′ cos(ωt + ϕ )
代入守恒方程可得 A=A’ 例 2．劲度系数为 k、原长为 l、质量为 m 的匀质弹簧，一端固定，另一端系一 质量为 M 的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。
v A＝ x + 0 ω
2 0
2
二、能量平均值 定义：一个随时间变化的物理量 f(t)，在时间 T 内的平均值定义为
114
机械振动——简谐振动的基本概念
f =
1 f (t )dt T∫ 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ∫ 2 mA ω sin (ωt + ϕ )dt = 4 mA ω = 4 kA T 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ∫ 2 kA cos (ωt + ϕ )dt = 4 kA = 4 mA ω T 0
113
机械振动——简谐振动的基本概念
简谐运动的能量
机械振动之简谐振动
机械振动之简谐振动简介机械振动是物体围绕平衡位置做周期性的运动。
其中，简谐振动是一种特殊的机械振动，其运动规律可以用简单的数学公式进行描述。
简谐振动在物理学中具有重要的应用，可以用于研究弹簧、天平、钟摆等各种振动系统。
简谐振动的定义简谐振动是指系统在恢复力作用下，以固有频率围绕平衡位置做频率保持不变的周期性运动。
简谐振动可以用以下的数学表达式来描述：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)代表位移，A代表振幅，ω代表角频率，t代表时间，φ代表相位。
振动系统的简谐振动机械振动系统可以通过简谐振动来描述其运动规律。
一个典型的振动系统包括质量、弹簧和阻尼器。
质量与弹簧连接，当弹簧发生变形时，会产生恢复力，使质量做周期性的振动。
阻尼器则会减小振动系统的振幅。
例子：弹簧振子弹簧振子是一个经典的简谐振动系统。
它由一个质量与弹簧相连组成，可以进行自由振动。
弹簧振子的运动方程可以用以下的形式来表达：m * d^2x/dt^2 = -k * x其中，m代表质量，x代表位移，k代表弹簧常数。
弹簧振子的解析解为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，角频率ω和振幅A可以通过以下公式计算得到：ω = sqrt(k/m)A = x(0)弹簧振子的周期T和频率f可以通过以下公式计算得到：T = 2π/ωf = 1/T相关参数解释•位移(x)：物体离开平衡位置的距离。
•振幅(A)：位移的最大值，即振动的最远距离。
•角频率(ω)：振动的角速度，单位为弧度/秒。
•相位(φ)：振动在某一时刻与参考位置之间的偏移。
•周期(T)：振动完成一个完整周期所需要的时间。
•频率(f)：振动单位时间内完成的周期数。
简谐振动在物理学的研究中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：工程•悬挂桥梁的振动分析：通过简谐振动的理论，可以分析悬挂桥梁的振动频率，以避免共振现象的发生。
•机械零件的设计：通过对机械零件的简谐振动特性的研究，可以优化设计，提高机械性能。
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
机械振动与简谐振动
机械振动与简谐振动机械振动是物体围绕其平衡位置做周期性的来回运动。
在机械振动的研究中，简谐振动是其中最基本也是最重要的一种形式。
本文将首先介绍机械振动的基本概念和原理，然后重点探讨简谐振动的特性和应用，最后讨论简谐振动的实际工程问题。
一、机械振动的基本概念与原理机械振动是指由于物体受到外力或能量的激励而产生的周期性的振荡运动。
其中，简谐振动是指物体在振动过程中回复力与位移成正比的振动。
简谐振动的定义如下：\[F = -k \cdot x\]其中，\(F\)代表回复力，\(k\)代表弹簧的劲度系数，\(x\)代表物体的位移。
简谐振动的特点是振动周期固定，频率不变。
当物体受到外力激励时，振动的幅度随时间呈正弦函数变化。
二、简谐振动的特性与应用简谐振动具有许多重要的特性和广泛的应用。
下面将分别从振动特性和应用两个方面进行探讨。
1. 振动特性简谐振动具有以下特性：（1）振幅：振幅是指物体在振动过程中位移的最大值。
简谐振动的振幅与物体的能量有直接关系，振幅越大，能量越大。
（2）周期：周期是指物体完成一个完整振动所需的时间。
简谐振动的周期与弹簧的劲度系数和质量有关，质量越大，周期越长。
（3）频率：频率是指单位时间内振动的次数。
简谐振动的频率与周期存在倒数关系，频率越高，周期越短。
2. 应用简谐振动在许多领域中都有重要的应用，例如：（1）钟摆：钟摆的摆动是一种简谐振动，通过调整钟摆的长度和重力加速度，可以使钟摆的振动周期保持恒定。
（2）弹簧振子：弹簧振子是一种典型的简谐振动装置，广泛应用于实验和测量中。
通过改变振子的质量或弹簧的劲度系数，可以调节振动的频率。
（3）电子钟：电子钟内部的石英晶体会产生简谐振动，通过将这种振动转化为时间的计量单位，实现钟表的准确计时。
三、简谐振动的实际工程问题简谐振动的实际工程问题主要包括振动控制和振动测试两个方面。
1. 振动控制振动控制主要是为了减少或消除机械系统中的振动，以提高系统的稳定性和工作效率。
机械振动2-1简谐振动
dt 4 g
2g
对于任一瞬时若 0，则对应无摆动，不是我们所求的。于
是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ≈θ，
故有 2g 0
3(R r)
n
2g 3(R r)
解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ωn，则设
Asin(nt ) 则 An cos(nt ) 于是 max A max A n
A, J , J
B点沿x方向施加力F，位移xB，则
l, E,G
xB E F
lABiblioteka 等效刚度：kxF xB
EA kx l
B
x
B点沿y方向施加力P，位移yB，则
yB
Pl 3 3EJ
B点沿y方向的等效刚度：
O y
A, J , J l, E,G
ky
P yB
3EJ l3
亦称梁的 弯曲刚度
B点绕x轴转动方向施加扭矩M，
轴产生转角θ， 则 B端：
B
l
GJ
M
B点绕x轴转动方向的等效刚度：
k
M
B
BP
x
亦称轴的 扭转刚度
GJ l
几个弹性元件联合使用时的等效刚度：
两弹簧串联
k1
c
1
2
P k1
P k2
1 P(
k1
1) k2
P k1 k2 k1 k 2
k P
c
固有频率
k1k2 k1 k2
（等效刚度）
n
g
c
gk1k2 P(k1 k2 )
特征方程（2）的两个根是：
p ( 2 1)n
可能有三种情况，我们分别讨论之。
1、当 1 （欠阻尼状态），得两个复数根：
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θ (R-r)
线速度为 v (R r)
R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，
r
由于无滑动，角速度为：
φ
v 1 (R r)
0
rr
〔注： r R ,
d( )
d
(
R r
)
R r
）
dt
dt
r
任一瞬时位置，圆柱体动能为：
T 1 mv 2 1 I 2 1 w [(R r)]2 1 w r 2 [1 (R r)]2 3 w (R r)22
2
2
2g
2g 2 r
4g
〔注： I w r 2 为圆柱体绕质心的转动惯量〕
g2
圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为θ的瞬时，圆
柱体质心升高为(R－r)(1-cosθ),则U＝w(R-r)(1-cosθ)
由 d (T U ) 0 得：
dt
d [ 3 w (R r)22 w(R r)(1 cos )] [ 3 w (R r)2 w(R r) sin ] 0
固有频率的求法：
a、 n
k m
b、 n
k m
kg p
g
c
其中
c
p k
——静伸长（cm）
g——重力加速度（cm/s2）
k
δc
P
固有（自然）频率及周期为
fn
n 2
1
2
k1
m 2
g
c
Tn
1 fn
2
m 2
k
c
g
在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象 为上述单自由度质量-弹簧系统，而具有相同的动 力学方程和运动规律，书上有些具体例子。
例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自 由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.
解：由材料力学知：
c
Pl3 3EJ
l
m
c
y
悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有
kc P
k P
c
3EJ l3
物体的振动方程： my 3EJ y
l3
y
3EJ ml3
y
0
固有频率：
Tmax＝Umax (2)
对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有 频率，有时更为方便。
例2.2-1 一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面
内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动
为简谐振动，求摆动固有频率。 Nhomakorabea0′解：设θ为坐标，圆柱体同时作两
种运动——移动和转动。移动时， 圆柱体质心线位移为 (R r)
（1）式对时间求导： d (T U ) 0 dt
（2）
将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的 振动微分方程。
我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势
能为零，而动能达到最大值Tmax；
当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，
即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为
第二瞬时位置。
由（1）式得：Tmax＋0＝0＋Umax， 即：
由牛顿第二定律：
mx kx
mx kx 0
或写成：x
2 n
x
0
这里令
n2
k m
上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。 这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：
x C1 cosnt C2 sin nt
其中常数C1 ，C2由初始条件确定。
设：当t＝0时
x x0 , x v0
把初始条件代入上式，可得
（有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减，
本章讨论单自由度的自由振动。
§2.1 线性系统的自由振动
我们看一个简单的振动模型
弹簧质量系统在光滑平面上的振动。
0
弹簧质量不计；质体m当作刚体（或
x 一个质点）；并假设弹簧的恢复力与
变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的
单位N/m〕
x
F＝＋kx
其中k——刚性系数（产生单位位移 所需的力）。加负号是因为：弹性恢 复力永远与位移x方向相反。（始终 指向静平衡位置）
到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初
速度v0或两者都有才有振动x＝Asin(ωnt＋φ)，否
则x＝0，——无振动
2、自由振动的圆频率（或角频率）
n
k m
（弧度/秒）
频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有 的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振 动无关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器， 一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了， 于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念， 在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。
n
3EJ ml3
f n 1 2 2
3EJ ml3
2. 2 能量法
对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系 统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个 振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：
T U 常数
（1）
其中 T——系统中运动质量所具有的动能
U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作 功而产生的重力势能。
∴
x
x0
C1 x0 ,
cos
nt
v0
n
C2 sin nt
v0
n
Asin(nt
)
〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正
弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕
其中
A
x02
( v0
n
)2
tg x0 n
v0
讨论：
1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其
振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以看
在最低点O处势能为零，动能最大
Tm a x
1 mv 2 2
1 2
I 2
3 4
w g
(
R
r
)
2
m2
a
x
3 4
w (R r)2 g
A2
2 n
在摆动到θmax位置时动能为零，势能最大
U max
w(R
r )(1
cos max)
w(R
r
)
2 m
ax
2
1 w(R r)A2 2
由Tmax＝Umax 有：
3 4
第二章 单自由度系统的自由振动
§2.1 简谐振动 §2.2 能量法 §2.3 瑞利法 §2.4 等效刚度系数 §2.5 有阻尼系统的自由振动
自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。
无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒， 动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不 存在，但可作为某些振动的近似处理。
w (R r)2 g
A
2
2 n
1 2
w(R
r)A2
则
n
2g 3(R r)
例2.2-2 杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又
dt 4 g
2g
对于任一瞬时若 0，则对应无摆动，不是我们所求的。于
是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ≈θ，
故有 2g 0
3(R r)
n
2g 3(R r)
解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ωn，则设
Asin(nt ) 则 An cos(nt ) 于是 max A max A n