机械振动2-1简谐振动

n
3EJ ml3
f n 1 2 2
3EJ ml3
2. 2 能量法
对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系 统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个 振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：
T U 常数
（1）
其中 T——系统中运动质量所具有的动能
U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作 功而产生的重力势能。
2
2
2g
2g 2 r
4g
〔注： I w r 2 为圆柱体绕质心的转动惯量〕
g2
圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为θ的瞬时，圆
柱体质心升高为(R－r)(1-cosθ),则U＝w(R-r)(1-cosθ)
由 d (T U ) 0 得：
dt
d [ 3 w (R r)22 w(R r)(1 cos )] [ 3 w (R r)2 w(R r) sin ] 0
dt 4 g
2g
对于任一瞬时若 0，则对应无摆动，不是我们所求的。于
是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ≈θ，
故有 2g 0
3(R r)
n
2g 3(R r)
解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ωn，则设
Asin(nt ) 则 An cos(nt ) 于是 max A max A n
θ (R-r)
线速度为 v (R r)
R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，
r
由于无滑动，角速度为：
φ
v 1 (R r)
0
rr
〔注： r R ,
d( )
d
(
R r
)
R r
）
dt
dt
r
任一瞬时位置，圆柱体动能为：
T 1 mv 2 1 I 2 1 w [(R r)]2 1 w r 2 [1 (R r)]2 3 w (R r)22
例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自 由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.
解：由材料力学知：
c
Pl3 3EJ
l
m
c
y
悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有
kc P
k P
c
3EJ l3
物体的振动方程： my 3EJ y
l3
y
3EJ ml3
y
0
固有频率：
到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初
速度v0或两者都有才有振动x＝Asin(ωnt＋φ)，否
则x＝0，——无振动
2、自由振动的圆频率（或角频率）
n
k m
（弧度/秒）
频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有 的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振 动无关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器， 一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了， 于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念， 在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。
第二章 单自由度系统的自由振动
§2.1 简谐振动 §2.2 能量法 §2.3 瑞利法 §2.4 等效刚度系数 §2.5 有阻尼系统的自由振动
自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。
无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒， 动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不 存在，但可作为某些振动的近似处理。
（有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减，
本章讨论单自由度的自由振动。
§2.1 线性系统的自由振动
我们看一个简单的振动模型
弹簧质量系统在光滑平面上的振动。
0
弹簧质量不计；质体m当作刚体（或
x 一个质点）；并假设弹簧的恢复力与
变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的
单位N/m〕
x
F＝＋kx
其中k——刚性系数（产生单位位移 所需的力）。加负号是因为：弹性恢 复力永远与位移x方向相反。（始终 指向静平衡位置）
（1）式对时间求导： d (T U ) 0 dt
（2）
将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的 振动微分方程。
我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势
能为零，而动能达到最大值Tmax；
当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，
即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为
第二瞬时位置。
由（1）式得：Tmax＋0＝0＋Umax， 即：
w (R r)2 g
A
2
2 n
1 2
w(R
r)A2
则
n
2g 3(R r)
例2.2-2 杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又
固有频率的求法：
a、 n
k m
b、 n
k m
kg p
g
c
其中
c
p k
——静伸长（cm）
g——重力加速度（cm/s2）
k
δc
P
固有（自然）频率及周期为
fn
n 2
1
2
k1
m 2
g
c
Tn
1 fn
2
m 2
k
c
g
在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象 为上述单自由度质量-弹簧系统，而具有相同的动 力学方程和运动规律，书上有些具体例子。
∴
x
x0
C1 x0 ,
cos
nt
v0
n
C2 sin nt
v0
n
Asin(nt
)
〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正
弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕
其中ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
x02
( v0
n
)2
tg x0 n
v0
讨论：
1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其
振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以看
Tmax＝Umax (2)
对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有 频率，有时更为方便。
例2.2-1 一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面
内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动
为简谐振动，求摆动固有频率。
0′
解：设θ为坐标，圆柱体同时作两
种运动——移动和转动。移动时， 圆柱体质心线位移为 (R r)
在最低点O处势能为零，动能最大
Tm a x
1 mv 2 2
1 2
I 2
3 4
w g
(
R
r
)
2
m2
a
x
3 4
w (R r)2 g
A2
2 n
在摆动到θmax位置时动能为零，势能最大
U max
w(R
r )(1
cos max)
w(R
r
)
2 m
ax
2
1 w(R r)A2 2
由Tmax＝Umax 有：
3 4
由牛顿第二定律：
mx kx
mx kx 0
或写成：x
2 n
x
0
这里令
n2
k m
上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。 这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：
x C1 cosnt C2 sin nt
其中常数C1 ，C2由初始条件确定。
设：当t＝0时
x x0 , x v0
把初始条件代入上式，可得