高中数学复习第二章 函数 2.3 两角和与差的正切函数

1 tan tan
理解： 1.两角和的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的和与1减
两角正切的积的比.
3.公式成立的条件是： k ( k Z )且
2
k ( k Z )且 k ( k Z ).
2
2
探究点2 两角差的正切公式: 在两角和的正切公式中用 代换 ,
思考：怎样由两角和的正、余弦公式推导出两角和的
正切公式？
提示：tan
sin cos
sincos cossin coscos sinsin
=
tan tan .
1 tantan
当 cos cos 0 时，分子分母同时除以cos cos ,
得到： tan( ) tan tan .
三角函数值（如：sin A B 2 ,tan A B 1等），
2 再确定A B的范围即可.
证明:因为tan A 2,tan B 3, 所以 tan( A B) tan A tan B 2 3 1；
1 tan Atan B 1 2 3 又因为A，B都是锐角，所以 0 A B 180， 所以A B 135.
关键在于要有一颗爱真理的心灵，随时随地 碰见真理，就把它吸收进来.
——歌德
tan
tan
tan
tan
c a
,
b a
, 且a
c,所以
tan tan tan
1 tan tan
b
1
a c
b b ． ac ca
a
1.和差角的三角函数公式. 2.和差角的三角函数公式的变形. 3.注意“1”的代换作用. 4.注意运用“配角”的技巧. 5.记住特殊角的三角函数值，弄清角的取值范 围.
3 .
3
技巧方法： 1.充分利用“1”的代换作用. 2.构造三角函数公式解题.
例5
若 tan α
β
2 5
, tan
β
4
1 4
, 求 tan
α
4
的值.
解
因为
α
4
α
β
β
4
，
所以
tan
α
4
tan
α
β
β
4
tanα β 1 tanα
tan
Байду номын сангаас
β
4
β
tan
β
4
1
2 5
2 5
思考: tan15 ? 1.将正切转化为正余弦: tan15 sin15 ,
cos15
代入 sin15 ,cos15 .
2.原式可化为:
sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 , cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
1 4
1 4
3. 22
技巧方法：
1.掌握“配角”的技巧. 2.充分利用特殊角的三角函数值. 3.运用正确的三角函数公式解题.
和角公式
S : sin sin cos cos sin ;
C : cos cos cos sin sin ;
T
: tan
tan tan 1 tan tan
4．(2014.淮阴高一检测)在△ABC 中，tan A＋tan B
＋ 3＝ 3tan Atan B，则 C 等于( A )
π A. 3
2π B. 3
π
π
C. 6 D. 4
5.已知一元二次方程ax2 bx c 0a 0且a c的两 个根为tan ,tan ,求tan 的值.
解：由a 0和一元二次方程根与系数的关系，可知
变式练习：求tan 200 tan400 ３tan 200 tan400 的值．
解：原式 tan(200 400 )(1 tan 200 tan 400 ) ３tan 200 tan 400 ３ ３tan 200 tan 400 ３tan 200 tan 400 ＝ ３.
归纳：注意公式的变形形式.
.
差角公式
S : sin sin cos cos sin ;
C : cos cos cos sin sin ;
T
: tan
tan tan 1 tan tan
.
例6 求证：
sin sin
sin2 cos2
1
tan2 tan2
.
证明：
左边
sin
cos
tan ( ) tan tan( ) tan tan .
1 tan tan( ) 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
请同学们说出对公式的理解：
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
1.掌握两角和与差的正切公式的推导及公式的正、 逆向变形及运用.（重点） 2.正确寻找角之间的关系，恰当选用公式形式解决 问题.（重点） 3.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单 的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（难点）
探究点1 两角和的正切公式:
正切的积的比.
3.公式成立的条件是：
α + β ≠ kπ + π k ∈ Z 且α ≠ kπ + π k ∈ Z 且β ≠ kπ + π k ∈ Z .
2
2
2
两角和、差的正切公式：
注意：
tan
tan tan 1 tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
T T
1.必须在定义域范围内使用上述公式.
3
所以 tan α
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
7.
3
2因为tanα +
β
tan α tan β 1 tan α tan β
2 1
1
3 2
1.
3
又因为 0
α
,
β
，所以
α+
β
3
.
22
2
2
在 与 3 之间，只有 5 的正切值等于1，
22
4
所以 α+β= 5 .
33
6
73
得 5 ,所以 2 ,所以2 3 .
6
2
4
例4 计算 1 tan15 的值. 1 tan15
解:因为 tan 45 1，
所以 1 tan15 tan 45 tan15 1 tan15 1 tan 45 tan15
tan 45 15
tan 30
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )； ２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
2.3 两角和与差的正切函数
1.两角和、差的余弦公式:
cos( ) cos cos sin sin ; ——C cos( ) cos cos sin sin ; ——C
2.两角和、差的正弦公式:
sin( ) sin cos cos sin ; ——S sin( ) sin cos cos sin ; ——S
4
技巧方法：
1.用tan和tan 的值求tan 的值时，
一定要记住它们在公式中的位置及符号. 2.根据三角函数值求角时，一定要看清所 求角的取值范围.
例２已知tan A 2,tan B 3,且A, B都是锐角， 求证：A B 135 ．
分析：要证A B 135 ，只要求出A B的某一个
即：tan α，tan ，tan(α )只要有一个不存在就不能使用这个
公式.
如
:已知tan
α
2,
求
tan
2
α
不能用上述公式.
2.注意公式的结构，尤其是符号.
例1 已知tan α
2,tan β
1 ,其中0
α
,
β
.
3
22
1求tanα β . 2求α β的值.
解 1因为 tan α 2,tan β 1，
例3. 已知tan( ) 1 ,tan 1 ,若， （0，），
2
7
求2a 的值.
解析：利用tan tan[( ) ]得tan １，
3
利用tan(2 ) tan[( ) ]，
得到tan(2 ) 1，
１
tan
３,得 ,由 tan 1
３ ,
cos
sin sin
sin2 cos2
cos
cos
sin
sin2
cos2 cos2 sin2 cos2
sin2
1
tan2 tan2
右边,
所以原式成立.
1.求 tan12 tan 33 值.
1
1 tan12 tan 33
2.已知tan
3,求
tan
4
的值
-2
3.设tan ,tan 是方程x2 3x 2 0的两个根,则tan( ) ___3__ .