三角函数的定义域、值域和最值讲解

三角函数的定义域、值域和最值
一知识点精讲：
1 三角函数的定义域（1）sinα=
yryx
xr
定义域为R. （2）cosα=
⎧⎩
定义域为R.
（3）tanα=
定义域为⎨α|α≠
π
x⎫
定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=
2y⎭
{α|α≠kπ,k∈Z}.
2 三角函数的值域
① y=asinx+b,(a≠0) 型
当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin
2
x+bsinx+c型
此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。

通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。

sinx换为cosx也可以。

③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型
利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=
t-12
2
a+bsin(x+φ),tanφ=
22
ba
，可以转化为一个三角函数
2
2
,
转化为关于t 的二次函数y=at+b
2
2
=
b2
t+at-
2
b2
.
⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型
这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin
2
x=
1-cos2x
2
,cos
2
x=
1+cos2x
2
,sinxcosx=
sin2x2
，
可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。

⑥ y=⑦y=
asinx+b
csinx+dsinx+a
型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b
型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，
sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=
by-a+y
,
by-a+y
≤1, 通过解此不等式可得到y
的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：
例1．求下列函数的定义域
（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y
例2．求下列函数的值域
(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；
（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）y
π
6
=
3sinx+13sinx+2
=log
sinx
(cosx+
12
)
. （3） y=25-x+lgcosx；
；（6）y=
sinx+2cosx+2
1-tan(
)cosx.
π
4
-x)
（7）y
=sin(x-
（8）y
=
1+tan(
π
4
-x)
（9）求函数y
=
sin2x1-sinx-cosx
+sin2x的值域.
三课堂练习：
1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是
A．第二象限
限
2．不解等式：
（1）sinx<-
3．已知f(x)的定义域为(-
4．求下列函数的定义域
（1）y=
1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.
5．求下列函数的值域
（1）y=2cosx-1
（3）y=1+sinx+cosx+
（5）y=1
2+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）
y=tan2x+4cot+1 2
6．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形
的最大面积．。