存在与恒成立

存在与恒成立
1.恒成立问题：
（1）;)(f D ,)(f ,x min A x A x D >>∈∀上则在区间恒成立均有 （2）;)(f D ,)(f ,x max B x B x D <<∈∀上则在区间恒成立均有
（3）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x min >∴-=>∈∀x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （4）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x max <∴-=<∈∀x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D >>∈∀∈∀则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D <<∈∀∈∀则恒成立均有
（7）;)()(g ,()()(,x x min max 2121C x g x C x g x g D <-<-∈∀则常数）恒成立均有， 2.存在问题：
（1）;)(f ,)(f ,x ax 00A x A x D m >>∈∃则成立使不等式 （2）;)(f ,)(f ,x in 00B x B x D m <<∈∃则成立使不等式
（3）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x ax 000>∴-=>∈∃m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （4）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x in 000<∴-=<∈∃m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D >>∈∃∈∃则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D <<∈∃∈∃则恒成立均有 3.恰成立问题：
（1）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f A x A x >⇔>
（2）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f B x B x <⇔<
4.相等问题：
（1）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121x g x x x D ⊆=∈∃∈∀则成立使得总若 （2）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121φ≠=∈∃∈∃x g x x x D I 则成立使得若 5.综合问题：
（1）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x min min 2121x x x x D >>∈∃∈∀则成立使得总若 （2）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x max max 2121x x x x D <<∈∃∈∀则成立使得总若
（3）;)()()()(,()()(,x ,x min max min max 2121⎩
⎨⎧<-<-<-∈∀∈∀C x g x f C
x f x g C x g x f E D 则常数）恒成立
均有 （4）;)()()()(,()()(,x ,x max min max in 2121⎩⎨
⎧<-<-<-∈∃∈∃C x g x f C
x f x g C x g x f E D m 则常数）成立使得 （5）;)()(,()()(,x x min max 2121C x g x g C x g x g D >->-∈∀则常数）恒成立均有，
（6）;
)()(f )()(,()()(f E x ,x min max min max 2121C x g x C x f x g C x g x D <->->-∈∃∈∃或则常数）成立，使得
（7）;)(g )(,()()(f D x x min max 2121C x x g C x g x >->-∈∃则常数）恒成立，都有，
（8）;)()()()(,()()(,x ,x max max min i 2121⎩
⎨⎧<-<-<-∈∃∈∀C x g x f C x f x g C x g x f E D n m 则常数）成立使得总
（9）;)()(g )()(f ,()()(f E x ,x max min max min 2121C x f x C x g x C x g x D >->->-∈∀∈∀或则常数）恒成立，都有（10）;)(f )(,()(f )(f E x D x min max 2121C x x f C x x >->-∈∃∈∀则常数）成立，使得，总
考点一.恒成立问题
命题点1.参变分离：简单最值
（1）设函数f(x)＝－x 3
＋3x ＋2，若不等式f(3＋2sin θ)<m 对任意θ恒成立，求实数m 的取值范围．
解：令x=3＋2sin θ∈[1,5]，从而只需m>f(x)max ，x ∈[1,5]，f ′(x)＝－3x 2
＋3，令f ′(x)＝0，x ＝±1，当x ∈[1,5]时，f ′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max ＝f(1)＝4，则m>4．
（2）设函数c x ++=bx f(x )2
，若对任意[]11
-,21，∈x x ，有4)()(f 21≤-x f x ，求b 的取值范围。

解：由题：f(x)max-f(x)min 《4，f(x)开口向上，对称轴为2x b
-=, 最大值必为f(-1)=1-b+c 或f(1)=1+b+c ，
（1）若12
b
-1-≤≤,即-2≤b ≤2,则最小值为，即012-b 4-,441,4)2(f 222≤≤+-+-∴-=-b b c c b b c b , 则
-2≤b ≤6。

（2）若1-2
-12-
<>b
b 或,即b>2或b<-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|≤4,得|b|≤2, 矛盾（舍）。

综合得b ：[-2,2]。

命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则
秒杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）
第一步：分离参数，得到）（x x r a ϕ)
(≥
≤
； 第二步：构造函数）
（x x r x g ϕ)
()(=；
第三步：证明)(x g 单调性；（求)(x g '，可能需要二次求导)(x g ''，直到可以判断导数正负终止，写出)(x g 单调区间，确定极值点0x x =）
第四步：判断当0x x →时，）（x x r x g ϕ)()(=
是否为00或∞
∞
型） 第五步：运用洛必达法则求)(x g 在0x x =处极限；（）（x x r x x ϕ)(lim 0→=）
（x x r x x ϕ''→)
(lim 0=
）
（x x r x x ϕ''''→)(lim 0……A =，直到代入x=a 有意义可求出极限为止。

）
第六步：求出参数范围A a ≥
≤
（1）已知的取值范围。

）恒成立，求，在（a x x
x x ∞+<-
=1a
ln )(f 2 解：2
2
ln )(g ,ln a x x x x x x x -=->令，2
31ln )(g x x x -+='∴（单调性不确定则二阶求导），
6
1x 061)(g ==-=
''，则x x x （单减），）单减，在（故∞+'<-=''≤''∴1)(,05)1()(g x g g x ， 1)1()(g 1)(,02)1()(g -=≤∴∞+<-='≤'∴g x x g g x ）单减，，在（故，则a>-1.
(2)已知的取值范围。

恒成立，求时，当a 0)(f 0x ,)1()(f 2
≥≥--=x ax e x x x
解：x x x x x 1e )(g ,1e a -=-≤令，1)1()(h ,1)1()(g 2+-=+-='x e x x x e x x
x 令（单调性不确定则二阶求导）， 0)(g ,0)0(h )()(h 0x 0)(h ≥'=≥∴≥≥='∴x x h x xe x x 即单增，则时），（在，故g(x)单调递增，
g(x)》g(0)=
10
=(由洛必达法则），则a 《1. （3）已知函数()f x =e x (e x ﹣a)﹣a 2
x ，若当x 》0时()0f x ≥成立，求a 的取值范围．
解：由题意得当0=x 时，R a ∈,当0＞x 时，max 2}1)1({x e x a x --≥，令x
e x x g x 1
)1()(2--=
，2
231
)1-()(x
e x x x x g x +-+-=
'，令11)(23+-+--=x e x x x x ）（ϕ，则x e x x x x )4-)(23++='（ϕ0＜，则)(x ϕ在）（+∞,0上递减，故00)(=）（＜ϕϕx ，故0)(＜x g '，故)0()(max g x g ＜，又11
)
12(-lim 1)1(lim 2020=-+=--→→x x e x e x x x x x ，故1≥a 。

（4）设函数
()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，
求实数a 的取值范围。

解：由题意得当0=x 时，R a ∈,当0＞x 时，min })1ln()1({x x x a ++≤，令x x x x g )1ln()1()(++=，2
)
1ln()(x
x x x g +-='，令)1ln()(+-=x x x ϕ，则01
1
-
1)(＞+='x x ϕ，则)(x ϕ在
）（+∞,0上递增，故00)(=）（＞ϕϕx ，故0)(＞x g '，故)0()(min g x g ＞，又11
1
)1ln(lim )1ln()1(lim
00=++=++→→x x x x x x ，故1≤a 。

命题点3.斜率型求参数
（1）设函数f ()=ln x m x x +，若对任意b>a>0，
f ()()
1b f a b a
-<-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：
22f ()()11
=k=14
b f a m m x x b a x x --≤∴≥-≥-。

（2）设函数21f ()=x 2ln x (2)2x m m x -+-，若对任意b>a>0，f ()()
b f a m b a
->-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：
2f ()()21=k=x-222
b f a m m m m x x b a x -+-≥∴≤-≤--。

命题点4.直接法求参数
（1）已知函数1
f ()x x e
ax -=+，若[)x 1,,()ln 1f x x a ∀∈+∞+≥+恒成立，求a 的取值范围。

解：211
1
1
22
111g()ln 1(1)(),()0x x x x x e x e
ax x a x g x e
a g x e x x x
-----'''=++--≥∴=++=-=≥ [)g (x)1+g (x)g (1)=a+2'''∴∞≥在，单增，，
当a -2,g (x)0,g(x)g(1)=0'≥≥∴≥单增，原式成立；
当[)000000a<-2,x ,g(x )=0,1,x g (x )<0,(x ,)g (x)>0,g(x)min=g(x )(1)0g ''∈∈+∞∴<=时存在使当x ,当x ,，
不符合题意，则a 》-2. （2）设函数ln 1f ()1x x x x =
++，如果当x>0时且x 1≠时，ln k
f ()-1x x x x
≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 解：设222
ln 1(1)(1)(1)(1)
g()()()(2ln ),h()2ln 11x k k x k x x f x x x x x x x x x
----=-+=+=+--令， 22
(1)+1+2x
h ()k 0h ()0,(0,1),()0,(1,),()0,(1)0()0k x x x x h x x h x h g x x
-''=≤<∈>∈+∞<>∴≥（），当时，， k 1h ()0,(1,),()0,(1)0()0x x h x h g x '≥>∈+∞>>∴<当时，；
1
0<k<1(1,
),h ()0,()0,(1)0()01x x h x h g x k
'∈>>=∴<-当时，；综上k 《0。

命题点5.两函数法
（1）已知函数1
f ()x x e
ax -=+，若[)x 1,,()ln 1f x x a ∀∈+∞+≥+恒成立，求a 的取值范围。

解：[)1
1f ()+ln x 1ln (1)1,g()ln 1+x x x a e
x a x x e x --≥+∴+≥--+=+∞令在，单增，
h (1)11,1)k a x a --+=-(x)=恒过（，，-a 22a ∴≤≥-，则。

考点二。

存在性问题
（1）设f(x)＝a x
＋xln x ，g(x)＝x 3－x 2
－3.
(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；
(2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g(x 1)－g(x 2)≥M 成立，等价于：[g(x 1)－g(x 2)]max ≥M ，
g(x)＝x 3－x 2－3，g ′(x)＝3x 2
－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －23，
由上表可知：g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＝－27，g(x)max ＝g(2)＝1，[g(x 1)－g(x 2)]max ＝g(x)max －g(x)min ＝27，最大整数M ＝4.
(2)由题：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f(x)》g(x)max 恒成立，由(1)知，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.∴
f(x)≥1恒成立，即a x
＋xln x 》1恒成立，则2a ln x x x ≥-，令h(x)=2
ln x x x -,x x x x --='ln 21)(h =0，
03ln 21)1(ln 2)(h 2,21<--=-+-=''⎥⎦⎤
⎢⎣⎡x x x 上，恒有在,则,1x 0)(h )(h ==''，则单调递减，令x x h(x)在⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21单调递增，在（1,2)单调递减，故h(x)max=h(1)=1，则a 》1.
（2）函数x x a ax x ln 2)12(2
1)(f 2
++-=
, 2()2g x x x =-, 若对任意(]10,2x ∈ ，均存在(]20,2x ∈，使得12()()f x g x <, 求a 的取值范围。

解：由题：m in )()(f 21x g x <，1)1(m in )(g 2-==g x Θ，
Θf(x)在x ∈ (0,2],即224ln 2
x 4x x a x
-->
-=h(x),则a>h(x)max,得222(2)(4ln 2)()(x 4)x x x h x x ---'=-,
令f(x)=4lnx-x-2,得)(f x ')(x '>0得f(x)单调递增,
)()(g 10x f x =成立,求a 的取值范围。

解：[实际上就是要求g(x)的值域包含（》）f(x)的值域] :
（4）已知函数f （x ）=x
e t x x )36(x 2
3
++-，若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式f （x ）≤x 恒成立，试求正整数m 的最大值．
解：不等式f （x ）≤x ，等价于x
e t x x )36(x 2
3
++-≤x ，即t ≤x x x e x 36x 2
3-+--．
即当t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式t ≤x x x e x
36x 23-+--．
则0≤x x x e
x
36x 23-+--在x ∈[1，m]上．即0≤36e 2-+--x x x 在x ∈[1，m]上．
设φ（x ）=36e
2-+--x x x
，则φ′（x ）=62e -+--x x ，设r （x ）=φ′（x ）=62e -+--x x
，则r ′（x ）=2e --x ．
Θ1≤x ≤m ，∴r ′（x ）＜0．所以r （x ）在区间[1，m]上是减函数．又r （1）=4-e-1＞0，r （2）=2-e-2＞0，r
（3）=-3-3＜0，故存在0x ∈（2，3），使得r （0x ）=φ′（0x ）=0． 当1≤x ＜0x 时，有φ′（x ）＞0，当x ＞0x 时，有φ′（x ）＜0． 从而y=φ（x ）在区间[1，0x 】上递增，在区间[0x ，+∞）上递减．
又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0．所以，当1≤x ≤5时，恒有φ（x ）＞0；当x ≥6时，恒有φ（x ）＜0．故使命题成立的正整数m 的最大值为5．
（5）已知f(x)=ln(1+x) ，g(x)=kx 确定k 的值 ，使得存在t>0 对任意x ∈ (0 ，t)， 恒有丨f(x)-g(x)丨<2
x 。

解：当k>1时，g(x)>x>f(x),(画函数图象得），丨f(x)-g(x)丨=kx-ln(1+x),令h(x)=kx-ln(1+x)-2
x ,则
故h(x)>h(0)=0,即丨f(x)-g(x)丨>2
x ,满足题意t 不存在。

当k<1时，存在0x >0,使得对任意的x ∈(0,0x ),f(x)>g(x),则丨f(x)-g(x)丨=ln(1+x)-kx ，令m(x)=ln(1+x)-kx-2
x ,
则当x ∈(0,1x )时，恒有丨f(x)-g(x)丨>2
x ，故满足题意t 不存在。

n(x)<N(0)=0,则x>0时，恒有丨f(x)-g(x)丨<2
x ,此时t 满足。

综上，k=1.。