存在与恒成立

存在与恒成立

1.恒成立问题：

（1）;)(f D ,)(f ,x min A x A x D >>∈∀上则在区间恒成立均有 （2）;)(f D ,)(f ,x max B x B x D <<∈∀上则在区间恒成立均有

（3）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x min >∴-=>∈∀x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （4）;0)(f ),()()(,)(g )(f ,x max <∴-=<∈∀x x g x f x F x x D 则恒成立均有 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D >>∈∀∈∀则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D <<∈∀∈∀则恒成立均有

（7）;)()(g ,()()(,x x min max 2121C x g x C x g x g D <-<-∈∀则常数）恒成立均有， 2.存在问题：

（1）;)(f ,)(f ,x ax 00A x A x D m >>∈∃则成立使不等式 （2）;)(f ,)(f ,x in 00B x B x D m <<∈∃则成立使不等式

（3）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x ax 000>∴-=>∈∃m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （4）;0)(F ),()()(,)(g )(f ,x in 000<∴-=<∈∃m x x g x f x F x x D 则成立使不等式 （5）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x min max 2121x g x x x D >>∈∃∈∃则恒成立均有 （6）;)()(f ,)(g )(f ,E x ,x max min 2121x g x x x D <<∈∃∈∃则恒成立均有 3.恰成立问题：

（1）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f A x A x >⇔>

（2）；的解集为上恰成立，在区间不等式D )(f D )(f B x B x <⇔<

4.相等问题：

（1）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121x g x x x D ⊆=∈∃∈∀则成立使得总若 （2）{}{};)()(f ,)(g )(f ,E x ,x 2121φ≠=∈∃∈∃x g x x x D I 则成立使得若 5.综合问题：

（1）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x min min 2121x x x x D >>∈∃∈∀则成立使得总若 （2）;)(g )(f ,)(g )(f ,E x ,x max max 2121x x x x D <<∈∃∈∀则成立使得总若

（3）;)()()()(,()()(,x ,x min max min max 2121⎩

⎨⎧<-<-<-∈∀∈∀C x g x f C

x f x g C x g x f E D 则常数）恒成立

均有 （4）;)()()()(,()()(,x ,x max min max in 2121⎩⎨

⎧<-<-<-∈∃∈∃C x g x f C

x f x g C x g x f E D m 则常数）成立使得 （5）;)()(,()()(,x x min max 2121C x g x g C x g x g D >->-∈∀则常数）恒成立均有，

（6）;

)()(f )()(,()()(f E x ,x min max min max 2121C x g x C x f x g C x g x D <->->-∈∃∈∃或则常数）成立，使得

（7）;)(g )(,()()(f D x x min max 2121C x x g C x g x >->-∈∃则常数）恒成立，都有，

（8）;)()()()(,()()(,x ,x max max min i 2121⎩

⎨⎧<-<-<-∈∃∈∀C x g x f C x f x g C x g x f E D n m 则常数）成立使得总

（9）;)()(g )()(f ,()()(f E x ,x max min max min 2121C x f x C x g x C x g x D >->->-∈∀∈∀或则常数）恒成立，都有（10）;)(f )(,()(f )(f E x D x min max 2121C x x f C x x >->-∈∃∈∀则常数）成立，使得，总

考点一.恒成立问题

命题点1.参变分离：简单最值

（1）设函数f(x)＝－x 3

＋3x ＋2，若不等式f(3＋2sin θ)

解：令x=3＋2sin θ∈[1,5]，从而只需m>f(x)max ，x ∈[1,5]，f ′(x)＝－3x 2

＋3，令f ′(x)＝0，x ＝±1，当x ∈[1,5]时，f ′(x)≤0恒成立，即f(x)在[1,5]上为减函数，f(x)max ＝f(1)＝4，则m>4．

（2）设函数c x ++=bx f(x )2

，若对任意[]11

-,21，∈x x ，有4)()(f 21≤-x f x ，求b 的取值范围。 解：由题：f(x)max-f(x)min 《4，f(x)开口向上，对称轴为2x b

-=, 最大值必为f(-1)=1-b+c 或f(1)=1+b+c ，

（1）若12

b

-1-≤≤,即-2≤b ≤2,则最小值为，即012-b 4-,441,4)2(f 222≤≤+-+-∴-=-b b c c b b c b , 则

-2≤b ≤6。 （2）若1-2

-12-

<>b

b 或,即b>2或b<-2,则|f(1)-f(-1)|=|2b|≤4,得|b|≤2, 矛盾（舍）。综合得b ：[-2,2]。 命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则

秒杀：洛必达法则操作步骤（分离→构造→求导→抛弃→判断→洛必达→结论）

第一步：分离参数，得到）（x x r a ϕ)

(≥

≤

； 第二步：构造函数）

（x x r x g ϕ)

()(=；

第三步：证明)(x g 单调性；（求)(x g '，可能需要二次求导)(x g ''，直到可以判断导数正负终止，写出)(x g 单调区间，确定极值点0x x =）

第四步：判断当0x x →时，）（x x r x g ϕ)()(=

是否为00或∞

∞

型） 第五步：运用洛必达法则求)(x g 在0x x =处极限；（）（x x r x x ϕ)(lim 0→=）

（x x r x x ϕ''→)

(lim 0=

）

（x x r x x ϕ''''→)(lim 0……A =，直到代入x=a 有意义可求出极限为止。）