抽样信号与抽样定理

S n ?r(k ) ? an?1 S n?1 ?r(k ) ? ... ? a1 S ?r(k ) ? a0r(k ) ? bm S m ?e(k ) ? bm?1 S m?1 ?e(k ) ? ... ? b1 S ?e(k ) ? b0e(k )
H(S) ?
bm S m ? bm ?1 S m ?1 ? bm? 2 S m? 2 ? ... ? b1 S S n ? an?1 S n?1 ? an? 2 S n? 2 ? ... ? a1 S ?
抽样信号与抽样
定理
1 熟练掌握理想抽样信号的频谱 2 熟练掌握抽样定理义及应用 3 了解实际采样信号的频谱
f (t)
0
t
时 域 抽
问题：如何抽样才能不损失原来 信号中的信息？
样
fs (t)
0
t
一 理想抽样模型
? f (t)
f s (t)
?T (t)
?T (t)
f (t)
0
t0
t
T--采样间隔，Ω=2? /Ts为抽样频率。
分析：假设y(k)代表第k个月兔子的总对数，则：
? 老兔子
y(k
?
? 老兔子
2)? ?
新生儿
y(k
?
1)? ?
新生儿
y(k )
解：y(k+2)=y(k)+y(k+1)
y(k+2)－y(k+1)－ y(k)＝0 y(k)－y(k-1)－ y(k-2)＝0
前向 差分 后向 差分
差分方程：y(k+2)－y(k+1)－ y(k)＝0
辅助变量法：
1 设q(k) 2 模拟
y(k ) ? (b2S 2 ? b1S ? b0 )q(k )
e(k ) ? (S 2 ? a1S ? a0 )q(k )
S 2q(k ) ? e(k ) ? (a1S ? a2 )q(k )
第四节 离散时间系统的零输入响应
重点：零输入解；稳定性
一 零输入响应
差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移 序之差；
初始条件：解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个 数必须等于差分方程的阶数；
线性时不变系统：与连续时间系统中的结论相似，可以用一 个常系数差分方程描述。
数值解：因为差分方程可以很方便地用计算机求其数 值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程 求近似数值解。
y(k ? 1) ? a0 y(k ) ? 0,已知y(0)
(S ? a0 ) y(k ) ? 0,已知 y(0)
fs (t)
0
t
二 理想抽样的傅立叶变换
f (t)
1 F (? )
0
?T (t)
0
fs (t)
0
t
0 ?m
? ? (? ? n ? )
?
t
?? 0
?
f1(t) ? f2(t) ?
1
2?
F 1( j?
)?
F 1( j?
)
t
1 F (? )
0 ?m
? ? (? ? n ? )
?
?
?? 0
?
fs (t)
四 实际抽样模型
P(t) ?
0
Ts
f (t)
0
fs (t)
0
f (t) ?
fs (t)
P(t)
FT
P(? )
E?? s
? 2?
2?
t
?
??
?? s 0 ? s
1 F (? )
卷
t
0 ?m
FT
tt
? 2?
? ??s 0
2?
??
?s
1 F (? )
Fs (? )
1 Ts
0 ?M ?
?? s 0
?s
要将连续时间信号离散化必须满足三个条件：
0
FT
Fs (? )
1
Ts
t
??
0
?
特点：理想抽样后的频谱，是将连续信号的频谱进行周 期延拓，延拓的周期是采样频率
三 香农抽样定理
设f(t)是一个带限信号，在|? |> ? m时，F（j? ）=0。如果抽 样频率? s>2 ? m ，其中? s ＝2? /Ts , 那f(t) 就唯一地由其样 本 fs(t)所确定。
二、物理模型(框图)
加法 器
x(k) ? ?
y(k ) ? ? y(k ? 1) ? x (k )
? y(k ? 1)
乘法 x (k )
器
?
y(k ) ? ax (k )
a
延
x (k )
D
x(k ? 1)
时
例1：
1
s
e (k)
y(k+1)
y(k)
∑
D
-a y(k+1)＝－ay(k) ＋e(k)
y(k+1)＋ay(k) ＝e(k)
引入移序算子S： S ? y(k ) ? y(k ? 1)
1 ? y(k ) ? y(k ? 1) S
r(k ? n) ? an?1r(k ? n ? 1) ? ... ? a1r(k ? 1) ? a0r(k ) ? bm e(k ? m ) ? bm ?1e(k ? m ? 1) ? ... ? b1e(k ? 1) ? b0e(k )
? b0 a0
离散系统的转移算子
r(k ) ? H ( S )e(k )
例2：画出下面差分方程的模拟图
y(k ? 2) ? a1 y(k ? 1) ? a2 y(k) ? b2e(k ? 2) ? b1e(k ? 1) ? b0e(k)
分析：
H (s) ?
y(k ) ? e(k )
b2 S 2 ? b1S ? b0 S 2 ? a1S ? a0
即： 1. 带限于? M 。
2. ? s>2? M 3. ? M< ? c<（? s? ? M）。可取? c＝ ? s /2.
实际工程: 1) 任意的周期性脉冲信号。 2抽样频率必须进一步增加，一般取的 3~5倍。 3)抽样也是一个线性处理过程 .
Fs(? )
?? s0 ? s
不满足抽样定理时 产生频率混叠现象
五、频域抽样后的时间函数
F(? )
0
?? (? )
(1)
??1 0 ?1
F1(? )
??1 0 ?1
IFT
?
IFT
相
卷
乘
积
IFT
?
f (t)
1
0
? T (t)
1 ?1
?1
? T1
0
1 f (t)
?1
0
t
T1
t
t
第三节 离散系统的描述与模拟
要点：差分方程和模拟框图
一、离散系统的差分方程
例1：Fibonacci 数列：假设每一对兔子每月生一对小兔子，而 小兔子在一个月以后才有生育能力。如果在第一个月内有一对 大兔子，问：到k个月时，有几对兔子？
1 F (? )
时域取样
FsБайду номын сангаас(? )
1 Ts
0 ?m
?? s 0
?s
?
s
?
2?
T
? s ? 2? m 称为Nyquist 抽样频率，或Shannon 抽样频率。
1、连续时间信号f(t)所包含的最高频分量为100HZ，现对 2f(5t-3) 的信号进行理想取样，则奈奎斯特频率
Fs=1000HZ
2、一连续时间信号f(t)是频宽为1000HZ的带限信号，若对 f(t) ，f(2t) 和f(0.5t) 三种信号进行理想抽样，则则奈奎斯特抽 样频率