模拟低通巴特沃斯滤波器

《数字信号处理》课程设计报告
设计课题模拟低通巴特沃斯滤波器专业班级
姓名
学号
报告日期2012年11月
《数字信号处理》课程设计任务书
目录
1 课题描述 (1)
1.1 报告介绍 (1)
2 设计原理 (1)
2.1滤波器的分类 (1)
2.1 巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理 (1)
2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 (2)
2.3 函数说明 (3)
2.3.1buttord函数 (3)
2.3.2 butter函数 (4)
2.4 模拟低通滤波器的性能指标 (5)
3 设计内容 (6)
3.1 MATLAB简介 (6)
3.2 巴特沃斯滤波器的设计步骤 (6)
3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真 (6)
4 实验结果分析 (8)
5 实验心得体会 (8)
6.程序清单 (8)
7.参考文献 (9)
1 课题描述
1.1报告介绍
模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的滤波器供我们选择，如巴特沃斯（butterworth ）滤波器，切比雪夫（chebyshev ）滤波器，椭圆（ellipse ）滤波器，贝塞尔（bessel ）滤波器等。

这些滤波器都有着严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。

这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降到幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在带通或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。

设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。

2 设计原理
2.1 巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数2|)(|Ωj H a 用下式表示： 2|)(|Ωj H a =
N
c
2)
(11
ΩΩ+ 公式中，N 称为滤波器的阶数。

在Ω=0时，|Ha （j Ω）|=1;Ω=Ωc 时,|Ha(j Ω)|=1/2，
Ωc 是3dB 截止频率。

在Ω=Ωc 附近，随Ω加大，幅度迅速下降。

幅度特性与Ω和N 的关，N 越大，通带越平坦，过渡带越宽，过渡带与阻带幅度下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。

以S 代替j Ω,将幅度平方函数2|)(|Ωj H a 写成s 的函数： Ha （S ）Ha(-S)=
N
j S 2)
(11
Ω
+
复变量 S=δ+j Ω,此公式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点Sk 用下公式表示： Sk=)
21221(21
)()
1(N
k j c c N
e
j ++Ω=Ω-π
公式中K=0,1,2 …… ，2N-1。

2N 个极点等间隔分布在半径为Ωc 的圆上，间隔是
π/ Nrad 。

为形成因果稳定的滤波器，2N 个极点中只取S 平面左半平面的N 个极点构成Ha(S),
而右半平面的N 个极点构成Ha(-S)。

Ha(S)的表达式为 Ha(S)=N
c Ω÷∏-=10
N k （S-Sk ）
设N=3,极点有六个，它们分别是 S0= 3
2πj c e Ω S1=- Ωc S2=32πj
c e
-Ω S3=3
1πj
c e
-Ω S4=Ωc S5=3
1πj
C e
Ω
取S 平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha(S),即
Ha(S)=
)
)()((3
23
23
∏-∏Ω-Ω-Ω+Ωj j c
S c
S c S c
由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。

巴特沃斯滤波器采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的系统函数为
∑-=Ω-Ω=Ω1
0)(1)(
N K c k c
C
a S S S G
令ρ=c c s j ΩΩ=Ω=+/,/λλη，λ称为归一化频率，ρ称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
∑==-=
1
)
(1
)(N k k
a G ρ
ρρ
公式中，c
k S k Ω=ρ称为归一化极点，用下公式表示， )
21221(N
k j k e
++=πρ k=0,1,…,N-1
显然， k S =k c ρΩ
这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照)
21221(N
k j k e
++=πρ公式求出N 个极点，再
按∑==-=
1
)
(1
)(N k k
a G ρ
ρρ得到归一化低通原型系统函数Ga(ρ),如果给定Ωc ，再去
归一化，即将c
S
Ω=
ρ，代入)(ρa G 中，便可得到期望设计的系统函数Ha(S)。

2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
（1）根据技术指标s s ααρρ,,,ΩΩ,用ρλΩΩ=s
sp 11011010
/10/--=ααs sp k ρ
ρλs s k N lg lg = 求出滤波器的阶数N 。

（2）按照)
21
221(N
k j k e
++=πρ k=0,1,…,N-1 公式求出归一化极点k ρ，将 k ρ代入∑==-=
1
)
(1
)(N k k
a G ρ
ρρ，得到归一化低通原型系统函数)(ρA G 。

也可根据阶
数N 直接查表得到)(,ρρa k G 。

(3)将)(ρa G 去归一化。

将c
S
Ω=
ρ带如)(ρa G ，得到实际的滤波器系统函数 c
S a G S H Ω=
=ρρ|
)()(
这里c Ω为3dB 截止频率，如果技术指标没有给出c Ω，可以由
N
c 211.0)
110
(-
-Ω=Ωρ
αρ N
s c s
211.0)
110(-
-Ω=Ωα
求出。

2.3 函数说明
2.3.1 buttord 函数
(1)[N,wc]=buttord(wp ，ws ，Rp ，As)
用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N 和3dB 截止频率wc 。

其中，调用参数wp ，ws 分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0≤wp
≤1，0≤ws≤1(1表示数字频率pi)。

当ws≤wp时，为高通滤波器；当wp和ws 为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。

Rp，As分别为通带最大衰减和组带最小衰减（dB）。

N，wc为butter函数的调用参数。

(2)[N,Ωc]=buttord(Ωp，Ωs，Rp，As，‘s’)
用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。

其中，Ωp，Ωs，Ωc均为实际模拟角频率。

说明：buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而通带会有富余。

2.3.2 butter函数
(1)[B，A]=butter（N，wc，‘ftype’）
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量B、A。

其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值（关于π归一化），一般是调用buttord(1)格式计算N和wc。

系数B、A 是按照z-1的升幂排列。

(2)[B，A]=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’）
计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量B、A。

其中，调用参数N和ϖc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率(实际角频率)，可调用buttord(2)格式计算N和Ωc。

系数B、A按s的正降幂排列。

tfype为滤波器的类型：
○1ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。

○2ftype=stop时，带阻阻；此时Ωc=[Ωcl,Ωcu]，分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。

○3ftype缺省时，若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωcl < Ω < Ωcu。

所设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶。

因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联。

2.4 模拟低通滤波器的性能指标
模拟低通滤波器的设计指标有p α，p Ω和s α，s Ω，其中ρΩ和s Ω分别称为通带边界频率和阻带截止频率。

p α 称为通带最大衰减（],0[ρΩ中允许)(ΩA 中的最
大衰减系数），s α是阻带最小衰减
（即阻带Ω≥s Ω上允许)(ΩA 的最小值)，p α和s α一般用dB 表示。

对于单调下降的幅度特性，可表示成：
2
)2)
()
0(lg
10p a a p j H j H Ω=α （2-1）
2
)2
)
()
0(lg
10s a a p j H j H Ω=α （2-2）
如果Ω=0处幅度已归一化为一，即()1=Ωj H a ，p α和s α表示为
2
)(lg 10p a p j H Ω-=α （2-3） 2
)(lg 10s a s j H Ω-=α （2-4）
以上技术指标用图 2.2表示，图中c Ω称为3dB 截止频率，因
()2
1=
Ωc a j H ,-20()dB j H c a 3=Ω
图2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数()s H a ，希望其幅度平方函数满足给定的指标p α和s α，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因
(j H a c
s
p
此
Ω=-=Ωj s 2
|)()()(s H a H j H a a a
=)()(ΩΩ*
j H j H a a (2-5)
如果能由p α，p Ω，s α，s Ω求出()2
Ωj H a ，那么就可以求出所需的()s H a ，对
于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。

这里要说明的是()s H a 必须是稳定的。

因此极点必须落在s 平面的左半平面，相应的()s H a -的极点落在右半平面。

这就是由)()(S H S H a a -求所需要的)(S H a 的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。

因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。

3 设计内容
3.1 MATLAB 简介
MATLAB 软件包括基本部分和专业扩展部分。

基本部分包括:矩阵的运算和各种
变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等等.专业扩展部分称为工具箱.它实际上是用MATLAB 的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。

易扩展性是MATLAB 最重要的特点，每一个MATLAB 用户都可以成为对其有贡献的人。

在MATLAB 的发展过程中，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的、有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用低层代码来编写。

通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。

如果使用MATLAB 来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。

3.2 巴特沃斯滤波器的设计步骤
（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率0ω或上、下边界频率21,ωω等。

（2）确定滤波器阶数
（3）设计模拟低通原型滤波器。

（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真
技术指标：通带截止频率5KHz，通带最大衰减3dB；阻带起始频率10KHz，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。

设计程序如下
Wp=2*pi*5000; Ws=2*pi*10000; Rp=3; As=30; %设置滤波器参数
[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s'); %计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc [B,A] = butter(N,Wc,'s'); %求传递函数
k=0:511;fk=0:14000\512:14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs(B,A,wk);
subplot(2,1,1);
plot(fk,20*log10(abs(Hk)));
grid on
title('巴特沃斯低通滤波器的幅频特性');
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度/db')
axis([0,14000,-40,5])
subplot(2,1,2);
plot(wk,angle(Hk));grid on
title('巴特沃斯低通滤波器的相频特性');
xlabel('频率/Hz');
ylabel('相位/rad')
4 实验结果分析
技术要求其通带截止频率为5KHZ,通带最大衰减为3dB,阻带起始频率为10KHZ,阻带最小衰减30dB,画出其幅度和相位图。

由幅频曲线和相位曲线可以看出，巴特沃斯滤波器拥有最平滑的频率响应，在截断频率以外，在阻带中响应为0。

在截断频率处有3dB 的衰减。

巴特沃斯滤波器除了具有单调平滑递减的频率响应的优点之外，其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数。

高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理想低通滤波器。

5 实验心得体会
通过这次实验，明白了数字滤波器的基本概念，即指输入，输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

了解数字滤波器的分类，技术指标。

知道模拟滤波器的简单设计方法，简单运用巴特沃斯滤波器，它具有单调下降的幅频特性。

模拟低通滤波器的设计指标参数有s s ααρρ,,,ΩΩ。

掌握巴特沃斯低通滤波器的设计原理，即根据设计指标求阶数N 和3dB 截止频率c Ω的过程。

了解如何MATLAB 工具函数设计巴特沃斯滤波器。

通过这次数字信号处理课程设计，我对教材中所学知识有了更深的理解和认
识，教材中的基本定理和原理对我的设计起到了很好的指导作用，同时学习应用了数字信号处理软件Matlab，。

通过了解所要编程运行的对象的原理，我学会了熟练运用其基本功能。

这次的课程设计对每一个人来说都是一个不断学习，挑战的过程。

从一开始看书，上课听老师讲授知识，自己查阅资料，编写运行程序，每一次都是提高自己的过程。

让我们将所学用于实践，明白数字信号处理的用途，也加深了对MATLAB软件的学习及运用。

让我们明白，所学的知识不应局限于课堂，更应该提高自己的自主学习能力，不断地提高自己，把握每一次实验的机会，好好的锻炼自己的动手动脑能力。

同时，还要提高自己对MATLAB软件的运用能力。

6.程序清单
Wp=2*pi*5000; Ws=2*pi*10000; Rp=3; As=30; %设置滤波器参数
[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s'); %计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[B,A] = butter(N,Wc,'s'); %求传递函数
k=0:511;fk=0:14000\512:14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs(B,A,wk);
subplot(2,1,1);
plot(fk,20*log10(abs(Hk)));
grid on
title('巴特沃斯低通滤波器的幅频特性');
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度/db')
axis([0,14000,-40,5])
subplot(2,1,2);
plot(wk,angle(Hk));
grid on
title('巴特沃斯低通滤波器的相频特性');
xlabel('频率/Hz');
ylabel('相位/rad')
7.参考文献
[1]高西全,丁玉美.数字信号处理(第三版)[M].西安:西安电子科技大学出版社,2008.
[2]王靖,李永全.椭圆滤波器Matlb设计与实现[J].现代电子技术,2007,(6).
[3]刘波，文忠，曾涯.MATLAB信号处理.电子工业出版社，2006.
[4]飞思科技产品研发中心.MATLAB7辅助信号处理技术与应用.电子工业出版社，2005.。