中科大研究生信息光学复习题

信息光学习题
问答题
1.傅里叶变换透镜和普通成像透镜的区别。

答： 普通透镜 要求共轭面无像差，为此要消除各种像差。

由几何关系可计算平行光入射在透镜后焦面得到的像高，因为
u f h cos /ηλ=。

λ
=ηλη==⋅=u
u f u u f
tgu f h sin ,cos cos sin 傅里叶变换透镜
频谱面上能够获得有线性特征的位置与空间频率关系。

ηλ=f h 普通透镜和傅里叶透镜对平行光输入在后焦面上光点的位置差
称频谱畸变。

3
2
1sin 'fu u f ftgu y ≈
-=∆普通透镜只有在u 很小时才符合傅里叶变换透镜的要求。

要专门设计消除球差和慧差，适当保留畸变以抵消频谱畸变。

2.相干光光学处理和非相干光光学处理的优缺点。

答：非相干光处理系统是强度的线性系统，满足强度叠加原理。

相干光信息处理满足复振幅叠加原理。

因为复振幅是复数，因此有可能完成加、减、乘、除、微分、积分等多种运算和傅里叶变换等。

在非相干光学系统中，光强只能取正值。

信息处理手段要少。

相干光学信息处理的缺点：
（1）相干噪声和散斑噪声。

相干噪声：来源于灰尘、气泡、擦痕、指印、霉斑的衍射。

产生杂乱条
纹，对图像叠加噪声。

散斑噪声：激光照射漫反射物体时（生物样品，或表面粗糙样品），物体表面各点反射光在空间相遇发生干涉，由于表面的无规则性，这种干涉也是无规则的，物体表面显出麻麻点点。

（2）输入输出问题
相干光信息处理要求信息以复振幅形式在系统内传输，要制作透明片和激光照明。

而现代电光转换设备中CRT ，液晶显示，LED 输出均为非相
干信号。

（3）激光为单色光，原则上只能处理单色光，不能处理彩色图像。

非相干光处理最大优越性是能够抑制噪声。

3.菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的区别与联系。

按照近似程度的不同，衍射场的计算可分
（1）菲涅尔衍射―――――观察屏离衍射物不太远
（2）夫琅和费衍射―――――光源与观察屏距屏都相当于无穷远当满足菲涅耳衍射的充分条件
[]
2
max
20203)()(81
y y x x z -+->>
λ
时
)](2exp[*),()exp(12z
)()(jk exp )y ,x (z j jkz)
exp )y x,(2200
02020000y x z
k
j y x U jkz z j dy dx y y x x U U +λ-+-λ=⎰⎰∞
∞＝
〔（－可近似为
000202000022)(2exp )(2exp ),()(2exp )exp(1),(dy dx y y x x z j y x z k j y x U y x z k j jkz z j y x U ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+λπ-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+λ=
⎰⎰∞
∞
-z 增大到可略去，即
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+z y x jk 2exp 2020π<<+λπ22)(2max
2
020z y x 或max 2
020)(21y x z +λ
>>
该范围内的衍射为夫琅和费衍射
{}
)y ,x (U )z
y x jk exp(z j )jkz exp(dy dx )y y x x (z j exp )y ,x (U )z y x jk exp(z j )jkz exp()y ,x (U 00020
000000222222F +λ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+λπ-+λ=⎰⎰∞
∞
-观察面上的场分布正比于孔径面上出射场的傅里叶变换。

其夫琅和费衍射
就是屏函数的傅里叶变换。

频率值取ξ＝x/ z;
=y/ z 。

夫琅和费衍射图样不随z 改变，但图样会有缩放。

4.光学传递函数在处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可0=η=ξ能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成像，这时光学传递函数怎样？
答：由公式可知
[]⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-η+ξπ-=
ηξ=
ηξi
i
i
i
I
i
i i i
i i
I
I I dy
dx y x h dy dx y x
j y x h H H ),()(2exp ),()
0,0()
,(),(H ；
1)0,0(=H
（问题）不能证明在某个空间频率上有H>1.对于衍射受限系统
⎰⎰⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-ηλ+ξλ+=
ηξdxdy
y x P dxdy
d y d x P y x P i
i ),(),(),(),(H 由自相关性质（p16），如果
对归一化的互相关函数和自相关函数
因此H 不可能大于1。

如果实现了点物成像则光学传递函数恒为1，即对所有空间频率的光都能无阻碍通过。

点扩散函数为δ函数。

计算题
1.沿空间k 方向传播的平面波可以表示为
试求出k 方向的单位矢量。

解：平面波可表示为(
)
t
r k i A E ω-⋅=
exp 比较可知z
y x r k 432++=⋅
所以k
j i k 432++=单位矢量k
j i k k
29
4293292||++=]}
)1016()432[exp{)/100(181t s m z y x i m V E --⨯-++=⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-*--=
=
β
α)β,α(β
α)β,α()γβ,α()
0,0(),(),(2
d d f d d f x f R y x R y x r ff ff 1
0≤≤)y ,x (r
2.有一矢量波其表达式如下：
求 1)偏振方向，2)行进方向，3)波长，4)振幅
解：偏振方向：；化为单位向量为⎪⎭⎫
⎝⎛--1,21
,21⎪⎭
⎫
⎝⎛--
62,61,61行进方向：；化为单位向量为()πππ20,20,20⎪⎭
⎫ ⎝⎛
31,31,31波长：()
πππ=++π=⋅20,20,20)(20k
z y x r k
；320||π=k 30
33202||2=ππ=
π=λk 振幅：()2612121||2
2
2=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 3.如图所示的“余弦波的一段”这种波列可表示为
求E(z)的傅里叶变换，并画出它的频谱图。

解：()⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=L z rect z k a z E 2cos 0傅里叶变换
(){}(
)
00
002200
22222ik z ik z
i f z i f z e e z E z a rect L a z e e rect L f k πππ--⎧⎫⎛⎫+⎪⎪⎛⎫=⋅⎨⎬
⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝
⎭⎩⎭
⎧⎫⎛⎫=+⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
=其中F F F ⎩
⎨
⎧><≤-=L
z when L Z L when z k a z E 0cos )(0]
103)(10[29)2
2(t z y x j e
k j i E ⨯-++π+--=
(){}()()()
()()00002sin 22
sin 2sin 2z
z z z z aL E z f f f f c Lf aL c L f f c L f f δδ=-++*⎡⎤⎣⎦=-++⎡⎤⎣⎦
F
4.“巴比涅原理是“开在挡板上的光瞳形成的衍射和与光瞳形状相同的不透明物形成的衍射象之和，等于无任何挡板时的光分布”的原理。

试利用基尔霍夫衍射公式证明此原理。

答 由于，参见p36，2.1.7则有，
()01()()jkr
e U Q U P K dS j r
θλ∑=⎰⎰0012
012
12000000000()()()cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)1
122cos(,)cos(,)12jkr jkr jkr
jkr U Q U Q U Q a e n r n r a e n r n r e ds j r j r r a e n r n r ds j r λλλ
+=+--⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于
为全空间，因此∑∑
=+1
2
S )
()(P U Q U =5.在4F 系统中,输入物面的透过率为
, 以单色平行光垂直照明, λ=0.63μm, f’=200mm, f 0
x f t t t 0102cos π+==400lp/mm, t 0=0.6, t 1 =0.3,
问频谱面上衍射图案的主要特征: 几个衍射斑? 衍射斑沿什么方向分布?
各级衍射斑对应的衍射角sin θ =? 各级衍射中心强度与零级衍射斑之比.
（1）在不加滤波器的情况下,求输出图象光强分布.
（2）如用黑纸作空间滤波器挡住零级斑,求输出图象光强分布.（3）如用黑纸挡掉+1级斑,求输出图象光强分布.
解：，x
f j x f j e t e t t x f t t t 0021
2100102cos πππ-++=+= )]
()([15.0)(6.0)]()([2()]
()([2)()}({0'0''0'
0'1'00010f f
x
f f x f x f f x f f x t f x t f f f f t
f t x t -+++=-+++=-+++=λδλδλδλδλδλδδδδF 所以，频谱上的光场分布：
'
00'''(,)0.6(0.15()0.15()
x x x
E x f f f f f f
δδδλλλ=+++- 故有3个衍射斑， 级衍射斑中心强度与零级衍射斑之比为
1± 16
1)3.0()15.0(2
201==±c c I I （1），所以
x f t t t
0102cos π+= 2
2)800cos 3.06.0()]([)(x x t x I π+==（2）（3）
x
f j x f j e t e t t x f t t t 00212100102cos πππ-++=+=去掉零级斑x x f t x I ππ800cos 09.06.0)2cos ()(2201+==去掉一级斑x
e
t t x I x
f j ππ800cos 18.03825.0)(0210+=+=-6. 在图示4F 系统中, λ=0.63μm
<1>被处理物面最大尺寸和最高空间频率为多大?(设频谱面与物面同尺寸)
<2>付里叶变换镜头的焦距和通光直径为多大?
<3>欲将光栅常数0.1mm 的二维光栅处理成一维光栅。

给出空间滤波器的形状和尺寸。

<4>说明针孔滤波器作用并计算其大小。

He-Ne
300mm
300mm 300mm
300mm 300mm
解：
（1）物方最大尺寸021530l mm ω=⨯= 最高空间频率（截止）30=79(1/)220.00063300
x l mm f f ξλλ==≈⨯⨯ （2）焦距为mm f 300= 通光口径
,26022l D l
D l mm f
f
ξλλ-=
=
∴== （3）参见书208页图8.1.2(a),二维光栅的焦平面像为面点阵，处理成一维光栅相当于变成8.1.2(b)的形式，也就是在某一方向去掉除零级以外的光斑。

因此有
级的衍射角为1±0.00063
sin 0.00630.1
T
λ
θ=
=
=谱点间隔sin 1.9x y f mm
θ∆=∆==衍射斑直径为mm D f
d 0075.060
00063
.022.1300222.120=⨯⨯⨯==λ因此要使二维转化为一维。

取空间滤波器为宽的狭缝，满足
缝d 00
2d d x d <<∆-缝（4）针孔直径的 1.22 1.220.00063
2
23007.760
d f m D λμ⨯≤=⨯= 相当于一个低通滤波器，仅使中心零级通过。

刻得一均匀光斑。

7.现有两块相同的光栅, 其缝宽a,缝数N, 缝间距d =2a, 将他们在同一平面上相距2l 放置, 且缝的指向相同.
15倍扩束镜
针孔滤波器
物
频谱
像
ω0=1mm
（1）求组合光栅的夫琅和费衍射强度分布.
（2）讨论使两光栅间距(2 l )改变时，0 − +3级次亮度有无变化，如果有变化则两片光栅间距变化多少时谱点由最亮变到最暗。

解（1）组合光栅可以分为两个相同的衍射单元
其中，2
20sin sin ((sin N I I α
γαγ
=θλπαsin a =θλ
πγsin d = 故组合光栅的光强分布是单元衍射因子和单元间干涉因子的乘积（
）2'=N 2L l
= ，其中'''
2
222'0'sin sin sin [()(]()4cos sin sin N N I I I α
γγγαγγ=='
sin L πγθλ
=（2） 单一光栅主极大条件为：sin 0,1,2d m m θλ
==±±
零级，一级，三级，由于单缝衍射因子
0sin 0θ=1sin d λ
θ=33sin d
λ
θ=，使得二级衍射斑缺级。

2sin (
α
α
两光栅的单元间干涉因子如下：
，其中''22'
'
sin (4cos 2(1cos2)sin N γγγ
==+'sin L πγθλ=该因子进一步对衍射图案调制，由于2级始终缺级，故亮度无变化。

0级：，亮度无变化
'1cos22γ+=1级：，由最亮变到最暗时
'
11cos21cos2sin 1cos2L L d
ππ
γθλ+=+=+2,2
d
L L d ππ∆=∴∆=3级：，由最亮变到最暗时
'
31cos21cos2sin 1cos6L L d
ππ
γθλ+=+=+
6,6
d
L L d π
π∆=∴∆=8.有一带有直径4mm 的圆孔的不透明屏，并由Å的平面波照明。

5000=λa)求沿光轴光的极大及极小值的位置。

b)沿光轴距衍射屏多远处为最后一个极小值的位置。

解：
a)孔经平面上的透射场
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+==a y x circ y x t y x U 2
20
00000,),(由菲涅耳公式，当x ＝y ＝0时轴上的复振幅分布为
()()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛λπ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛θλ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+λ=
⎰⎰⎰⎰
π
∞
∞-z a z a jk jkz j rdr z r jk d z j jkz dy dx z y x jk a y x circ z j jkz z U a 2sin 2exp exp 22exp )exp(2exp exp ),0,0(2220020020
202020⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛λπ=z a z I 2sin 4);0,0(22
，即时有极小值πλπn z a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22mm n n a z 4210522⨯==λ，即时有极大值222ππλπ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n z a mm n n a z 4
2105
104)2
1(2⨯+=+=λb) ，即时为最后一个极小值π=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛λπz a 22mm a z 3
21082⨯==λ9.衍射屏的振幅透过率函数为
e {}
2
1()1sgn cos()2r t r r cir R γ⎡⎤⎡⎤=
+⎣⎦⎢⎥⎣⎦
γ是空间频率。

用平面单色光垂直照射。

（1）.画出屏的形状。

（2）．证明该透镜由无限个正透镜和负透镜组成。

（3）给出这些焦距的值和焦点的相对光强。

（4）屏的什么性质会严重影响该屏用作成像器件。

由于，，说明焦距与波长有关，因此会影响成像λγ
πγn n k f n ±
=±
=210.一个来自遥远物体的稳定辐射图像成像在照相机的记录介质上。

当快门
打开时，物体以变速运动，所以记录在胶片上的像严重模糊。

这个记录胶片的透过率函数为：
⎰
≤≤---=2
'2,
')2
'exp(),'(),(2
x dx x y x x A y x T 其中是物体的无模糊的像。

设计一个相关光学处理器和一个适当
),(y x A 的逆空间滤波器对这个图像消模糊。

解：对一个点物
()22
2
22
2'''(,)(',)exp('(',)()exp('
242()exp()
42
H ()exp(42c x x x h x y x x y dx x x y rect dx x x rect x x F rect δδξ∞--∞--=-=--=⎧⎫
-=⎨⎬
⎩
⎭⎰⎰带有模糊缺陷的传递函数为
⎰⎰∞∞----=--='
4
'
()2'exp(),'('2'exp(),'(),(22
22dx x rect x y x x A dx x y x x A y x T 使用4F 系统，要使最后得到的像为，其
():,33y x A ),(*),(),(y x h y x A y x T c =中，所以，其中制作可4(),(2
2x rect e
y x h x c -
=()()()()
2
*,,,1,ηξηξηξηξc c c H H H H ==*
c H 用全息法，即范德拉格特光路由制作，制作
滤波器可用普
),(y x h c 2
1c
H 通照明方法，在的频谱面上拍摄他的频谱像，照相干板，
),(y x h c 2=γ这样滤波器的光密度与成比例，透射率与成反比。

2
c H 2
c H 11.采用图5.3.2（课本P118）的光路记录一张离轴全息图。

设物光波为
它的最高空间频率为250线/mm ，参考波为
)],,(exp[),(),(000y x j y x A y x U φ=倾斜平面波，与底片的法线夹角为θ。

再现时用单位振幅的平面波照明（见图5.3.3）：
t h （1）写出再现波的数学表达式；
（2）导出使各级衍射像分离的一般条件，设波长为λ＝632.8nm ，计算上述光路所要求的最小参考角θ。

解:(1)
)
,(02020
),(),(),(y x j y j y j e y x A Ae y x U Ae y x U φπαπα---+=+= y
j y j e y x AU e y x AU y x A A y x U y x I παπα2*0202022
),(),(),(),(),(-+++== ()
y j y j b e y x AU e y x AU y x A t y x I t y x t παπαββ2*02020''0),(),(),(),(),(-+++=+= ()
y j y j b C e y x AU e y x AU y x A t y x Ct y x U παπαβ2*02020'1
'
),(),(),(),(),(-=+++==(2)对傅里叶变换，令),('y x U ())}
,({,00y x U G F =ηξ ()()
ηξδηξ,,1b t G = ☆()()ηξβηξ,,0'2G G =()ηξ,0G ()()
αηξβηξ-=,,0'3AG G
()()αηξβηξ---=,,*0'4AG G 要使互不重叠，应有432,,G G G )
mm /250(32
42线==+≥B B B
B α 所以
3.28)3arcsin(sin 3min ==⇒=
≥λθλ
θ
αB B 12.物体紧贴透镜放置，参考点光源与物体位于同一平面上，点源在(-b,0)处。

在透镜的焦面记录全息图，计算屏上光强分布。

解：设物面分布为：，参考电光源为),(000y x U ()
00001,),(y b x y x U +=δ所以焦面分布为：
),(
),(),()
(200)(20)
(2'
022
0022
f
y
f x U e
f
j e dy dx e
y x U e
f j e y x U F y x
f k
j jkf yy xx f
j
y x f k
j jkf λλλλλπ
++∞
+==⎰⎰ ()x f
b
j y x
f k
j jkf yy xx f
j
y x
f k
j jkf e
e
f
j e dy dx e
y b x
e
f
j e y x U λπλπ
λδλ2)
(200)(200
)
(2'1
22
0022
,),(++∞
+=+=⎰⎰ ]
),([),(2)
(2'
1'0'22
x f
b
j F y x f k
j jkf e f
y f x U e
f
j e U U y x U λπλλλ+=+=+ 其中)
,(0,()},({,(f y
f x
j F e
f
y f x A y x U f y f x U λλφλλλλ==F 因此)]2cos(21[1),(),(22
'x f
b
A A f y x U y x I λπφλ-++=
=13.证明当点扩散函数h(x’,y’)成点对称时，光学传递函数为实函数，即
g
a 等于调制传递函数。

解：由于是实函数并且是中心对称的，即有
),(i i I y x h ,，应用光学传递函数的定义式),(),(*i i I i i I y x h y x h =),(),(i i I i i I y x h y x h --= ，易证明，即
()⎰⎰⎰⎰
+-=i
i i i I i
i i i i i I dy
dx y x h dy dx y x j y x h H ),()](2exp[),(,ηξπηξ()()ηξηξ,,*H H =为实函数。

()ηξ,H 14.导出如图所示的位相透射光栅的夫琅和费衍射强度分布公式。

解：在光栅的一个周期内，包含两个单缝，即一个宽度为的凹面，一个的凸面。

2
d 2
d 单缝的透射函数为
22()exp()
22d d x x t x rect rect j d d δ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由弗朗和费衍射的公式可得
A 为一常数。

()()2
cos
sin 2)('
δα
α
A
x t x E ==F θλπαsin 2d =
θλ
πδsin 2'd
=则两个单缝的光强分布为
，此时，2cos sin 422
0'
δαα⎪⎭
⎫ ⎝⎛=I I θλπαsin 2d =]sin 2)1[(2sin 2'
'θλπθλπδd t n d +-==2
0A I =考虑各周期之间的多缝干涉，缝间干涉因子为：
，其中
，N 为缝数。

2
sin sin N γγ⎛⎫ ⎪⎝⎭
θλπγsin d
=因此最终光强分布为
t h 2
2
20sin sin 4cos 2sin N I I αδγαγ⎛⎫⎛⎫=∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
15.在4f 处理系统中物体为两狭缝
频率平面上的滤波器为
求出其在（x 3,y 3）平面上的输出。

解：()()[]
b x b x a
x rect y x U ++-*=111111)(),(δδ{})
)((sin ),(),(22111ξπξπξηξb j b j e e a c a y x U F +==-F {}πξ
ηξj y x H H ==),(),(22F )
2cos()sin(2
))((sin ),(),(22ξπξπξπξηξηξξπξπb a j e e a c a j H F b j b j =+=∙-)()(
),(11111a
b
x rect a b x rect y x U ++-=f
x j y x H λπ
222),(=
h i n
s
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+-+-+---=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-+-+-+---=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+
--*⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+
--===∙=)2()2()2()2(22(2(2()2(21)((21)2(2(2122cos()[sin(2)]
2cos()[sin(2)],(),([),(3333''''''''2233b a x b a x b a x b a x f f b f a f b f a f b f a f b f a f b
f b f a
f a f bx f ax j b a j H F y x U δδδδλλλξδλλξδλλξδλλξδλξδλξδλξδλξδλπλπξπξπηξηξF F F 16.用频谱分析方法说明双缝实验中在其中一个缝后插入厚l 、折射率n 的薄片前后衍射图样的变化。

解：双缝透射函数为⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛-=w d x rect w d x rect x t )(插入薄片后，t 为薄片厚度
t
n j e w d x rect w d x rect x t λ
π)
1(2)(-⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=则{
}t
n j d j d j e
e
w c w e w c w x t λ
πξ
πξ
πξξ)
1(222)(sin )(sin )(--+=F {})]
)1(24cos(1)[(sin 2)(222
t n d w c w x t I λ
πξπξ-++==F。