高等数学下册试题及答案解析.docx

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）

1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。

2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。

|x| |y| 1

3 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示

为，其值为。

4

L 的参数方程表示为x(t)(x),

则弧长元素

ds

。

、设曲线

y(t)

5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则

（x2y21)ds。

6、微分方程dy

y tan

y

的通解为。dx x x

7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。

8、级数1的和为。

n1

n(n1)

二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）

1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）

（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；

（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；

（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；

（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0

。

22

x0

(x)( y) y0

2、设u yf ( x

)xf (

y

), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2

（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。

3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）

（ A ） 4 2

d

2 d

1 3

sin cos dr ；

r 0

2 d

d 1 dr ；

（ B ）

r 2 sin

0 0

2

2 d

1

3

sin cos dr ；

（ C ）

d

r

0 0

2

d 1

3

sin cos dr 。

（ D ）

d

r

0 0

4、球面 x 2 y 2

z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 2

2ax 所围成的立体体积 V=（

）

（A ） 4 2

d

2 a cos 4a

2

r 2

dr ；

（B ） 4 2

d

2 a cos r 4a

2

r 2

dr ；

（C ） 8 2

d

2 a cos r 4a

2

r 2

dr ；

（D ）

2

d

2a cos r 4a

2

r 2

dr 。

2

5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P(x, y), Q( x, y) 在 D 上

具有一阶连续偏导数，则

Pdx Qdy (

)

L

（A ）

( P Q

) dxdy D

y x

（C ）

( P Q

) dxdy D

x

y

；

（ B ）

(

Q

P

)dxdy ；

D

y

x

；

（ D ）

(

Q

P

)dxdy 。

D

x

y

6、下列说法中错误的是（

）

（ A ） 方程 xy 2y x 2 y

0 是三阶微分方程；

（ B ） dy x

dy 方程 y

y sin x 是一阶微分方程；

dx

dx

（ C ） 方程 ( x 2

2xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2 ) dy 0 是全微分方程； （ D ） 方程

dy

1 x

2 y

是伯努利方程。

dx

2

x

7、已知曲线 y y(x) 经过原点， 且在原点处的切线与直线

2x y

6 0 平行，而 y(x)

满足微分方程 y 2 y

5 y

0 ，则曲线的方程为 y

（

）

（ A ） e x

sin 2x ；

（ B ） e x (sin 2x cos 2x) ；

（ C ） e x (cos 2x sin 2x) ； （ D ） e x sin 2x 。

8、设 lim nu n

0 ,

则

u n （

）

n

n 1

（ A ）收敛；

（ B ）发散； （ C ）不一定；

（ D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计

15 分）

1、（ 7 分）设

f ,

g 均为连续可微函数。 u f ( x , xy ), v g ( xxy ) ，求

u , u 。 x

y

2、（ 8 分）设 u( x, t )

x t

u , u 。

x f (z)dz ，求

t

x

t

四、求解下列问题（共计

15 分）。

2 2 y 2

1、计算 Idx

e dy 。（ 7 分）

x

2、计算 I

(x 2 y 2 )dV ，其中

是由 x 2

y 2

2z, z 1及 z

2 所围成的空间

闭区域（ 8 分）。

五、（ 13 分）计算 I

xdy ydx ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经

L

x 2 y 2

过原点 O( 0,0) 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（ 9 分）设对任意

x, y, f ( x) 满足方程 f ( x y)

f ( x) f ( y) ，且 f ( 0) 存在，求

1

f (x) f ( y)