高等数学下册试题及答案解析.docx

高等数学（下册）试卷（一）
一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）
1、z =log a ( x2y 2 )( a 0) 的定义域为D=。

2、二重积分ln( x2y 2 )dxdy 的符号为。

|x| |y| 1
3 、由曲线y ln x 及直线x y e 1 ， y 1 所围图形的面积用二重积分表示
为，其值为。

4
L 的参数方程表示为x(t)(x),
则弧长元素
ds。

、设曲线
y(t)
5 、设曲面∑为x2y 29 介于z0 及 z 3 间的部分的外侧，则
（x2y21)ds。

6、微分方程dy
y tan
y
的通解为。

dx x x
7、方程y( 4) 4 y0 的通解为。

8、级数1的和为。

n1
n(n1)
二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）
1、二元函数z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是（）
（A）f ( x, y)在(x0, y0)处连续；
（B）f x( x, y)，f y( x, y)在( x0, y0)的某邻域内存在；
（ C）z f x (x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 ) y 当( x) 2(y) 20 时，是无穷小；
（ D）lim z f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y0。

22
x0
(x)( y) y0
2、设u yf ( x
)xf (
y
), 其中 f 具有二阶连续导数，则x2u y 2 u等于（）y x x 2y 2
（A）x y ；（ B）x；(C) y；(D)0。

3、设： x 2y 2z21, z0, 则三重积分I zdV 等于（）
（ A ） 4 2
d
2 d
1 3
sin cos dr ；
r 0
2 d
d 1 dr ；
（ B ）
r 2 sin
0 0
2
2 d
1
3
sin cos dr ；
（ C ）
d
r
0 0
2
d 1
3
sin cos dr 。

（ D ）
d
r
0 0
4、球面 x 2 y 2
z 2 4a 2 与柱面 x 2 y 2
2ax 所围成的立体体积 V=（
）
（A ） 4 2
d
2 a cos 4a
2
r 2
dr ；
（B ） 4 2
d
2 a cos r 4a
2
r 2
dr ；
（C ） 8 2
d
2 a cos r 4a
2
r 2
dr ；
（D ）
2
d
2a cos r 4a
2
r 2
dr 。

2
5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P(x, y), Q( x, y) 在 D 上
具有一阶连续偏导数，则
Pdx Qdy (
)
L
（A ）
( P Q
) dxdy D
y x
（C ）
( P Q
) dxdy D
x
y
；
（ B ）
(
Q
P
)dxdy ；
D
y
x
；
（ D ）
(
Q
P
)dxdy 。

D
x
y
6、下列说法中错误的是（
）
（ A ） 方程 xy 2y x 2 y
0 是三阶微分方程；
（ B ） dy x
dy 方程 y
y sin x 是一阶微分方程；
dx
dx
（ C ） 方程 ( x 2
2xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2 ) dy 0 是全微分方程； （ D ） 方程
dy
1 x
2 y
是伯努利方程。

dx
2
x
7、已知曲线 y y(x) 经过原点， 且在原点处的切线与直线
2x y
6 0 平行，而 y(x)
满足微分方程 y 2 y
5 y
0 ，则曲线的方程为 y
（
）
（ A ） e x
sin 2x ；
（ B ） e x (sin 2x cos 2x) ；
（ C ） e x (cos 2x sin 2x) ； （ D ） e x sin 2x 。

8、设 lim nu n
0 ,
则
u n （
）
n
n 1
（ A ）收敛；
（ B ）发散； （ C ）不一定；
（ D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计
15 分）
1、（ 7 分）设
f ,
g 均为连续可微函数。

u f ( x , xy ), v g ( xxy ) ，求
u , u 。

x
y
2、（ 8 分）设 u( x, t )
x t
u , u 。

x f (z)dz ，求
t
x
t
四、求解下列问题（共计
15 分）。

2 2 y 2
1、计算 Idx
e dy 。

（ 7 分）
x
2、计算 I
(x 2 y 2 )dV ，其中
是由 x 2
y 2
2z, z 1及 z
2 所围成的空间
闭区域（ 8 分）。

五、（ 13 分）计算 I
xdy ydx ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经
L
x 2 y 2
过原点 O( 0,0) 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（ 9 分）设对任意
x, y, f ( x) 满足方程 f ( x y)
f ( x) f ( y) ，且 f ( 0) 存在，求
1
f (x) f ( y)
f (x) 。

七、（ 8 分）求级数
( 1)n (x 2)2 n 1的收敛区间。

n 1
2n 1
高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）
1、设2sin( x 2 y3z)x 2 y3z ，则z z。

x y
39xy 2、lim
xy 。

x0 y0
3、设I 2 2 x
f ( x, y) dy ，交换积分次序后，I
dx。

0x
4、设f (u)为可微函数，且 f (0)0, 则lim 1 3 f ( x 2y 2 )d。

t0t
x2y2t 2
5、设L为取正向的圆周x2y2 4 ，则曲线积分
y( ye x1)dx(2 ye x x)dy。

L
6、设A( x2yz) i ( y 2xz) j( z2xy) k ，则 div A。

7、通解为y c1e x c2 e 2x的微分方程是。

8、设f (x)
1,x0
展开式中的 a n
1,0x
，则它的 Fourier。

二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）。

1、设函数f ( x, y)
xy 2,x2y 20
x2y4,则在点（ 0，0）处（）0,x 2y20
（ A）连续且偏导数存在；（ B）连续但偏导数不存在；
（ C）不连续但偏导数存在；（ D）不连续且偏导数不存在。

2、设u( x, y)在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足
2u
及2u2u0 ，
x2y2
x y
则（）
（A）最大值点和最小值点必定都在D 的内部；
（B）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D的边界上；
（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D的边界上。

3、设平面区域 D：(x2)2( y1) 21，若I1( x y) 2 d，I 2(x y)3 d
D D
则有（）
（A）I1I 2；（ B）I1I 2；（ C）I1I 2；（D）不能比较。

4、设是由曲面 z xy , y x, x1及 z0 所围成的空间区域，则xy2 z3 dxdydz
=（）
（ A）1
；（ B）
1
；（C）
1
；（ D）
1。

361362363364
5、设f ( x, y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t )
(t) ，y(t )
其中(t),(t ) 在 [ ,] 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t)0 ，则曲线积分 f ( x, y)ds（）
L
(A) f ((t ),(t )) dt ；(B) f ((t), (t))2 (t )2 (t )dt；
(C) f ((t),(t))2 (t )2 (t )dt ；(D) f ( (t ), (t )) dt 。

6、设是取外侧的单位球面x 2y2z2 1 ，则曲面积分
xdydz ydzdx zdxdy =（）
(A) 0 ；(B)2； (C)； (D)4。

7、下列方程中，设y1 , y2是它的解，可以推知 y1y2也是它的解的方程是（）
(A)y p(x) y q( x) 0 ；(B)y p( x) y q( x) y0 ；
(C) y
p(x) y q(x) y f ( x) ； (D) y p( x) y q( x) 0 。

8、设级数
a n 为一交错级数，则（
）
n 1
(A) 该级数必收敛； (B)
该级数必发散；
(C) 该级数可能收敛也可能发散；
(D) 若 a n 0 (n
0) ，则必收敛。

三、求解下列问题（共计 15 分）
1 、（ 8 分）求函数 u
ln( x
y 2 z 2 ) 在点 A （ 0，1， 0）沿 A 指向点 B （ 3， -2 ， 2）
的方向的方向导数。

2 、（ 7 分）求函数 f (x, y) x 2 y(4 x
y) 在由直线 x
y 6, y 0, x 0 所围成的闭
区域 D 上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计
15 分）
1 、（ 7 分）计算 I
dv
是由 x 0, y
0, z 0 及 x y z 1
3 ，其中
(1 x
y z)
所围成的立体域。

2 、（ 8 分）设 f (x) 为连续函数，定义
F (t )
[ z 2
f ( x 2 y 2 )]dv ，
其中
( x, y, z) | 0 z h, x
2
y
2
t 2
，求
dF。

dt
五、求解下列问题（ 15 分）
1 、（ 8 分）求
x
x
(e sin y
my)dx (e cos y m) dy
A a
，其中
L 是从
L
（
， ）经
y
ax x 2 到 O （0， 0）的弧。

2 、（ 7 分）计算 I
x 2dydz y 2 dzdx z 2dxdy ，其中 是 x 2
y 2
z 2 (0 z a)
的外侧。

六、（ 15 分）设函数 ( x) 具有连续的二阶导数，并使曲线积分
[ 3 ( x) 2 (x)
xe 2 x ] ydx
(x)dy 与路径无关，求函数 ( x) 。

L
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题
3 分，共计 2
4 分）
1、设 u
yz t 2 dt ， 则
u。

e
z
xz
、函数 f ( x, y)
xy sin( x
2 y) 在点（ ， ）处沿
l (1,2) 的方向导数
2
0 0
f (0 ,0 )
=。

l
3 、 设
为 曲 面 z 1
x 2 y 2 , z 0 所 围 成 的 立 体 ， 如 果 将 三 重 积 分
I f (x, y, z)dv 化为先对 z 再对 y 最后对 x 三次积分，则 I=。

4 、 设 f ( x, y) 为 连 续 函数 ， 则 I lim
1
2 f ( x, y) d
， 其 中
t 0
t
D
D : x 2
y 2 t 2 。

5
、 ( x 2
y 2 ) ds
，其中 L : x 2
y 2
a 2 。

L
6 、设 是一空间有界区域，其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数 P( x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该关系式称为公式。

7、微分方程 y6y9y x26x9 的特解可设为 y*。

8、若级数
( 1) n1
p。

n p
发散，则
n1
二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）
1、设 f x ( a,b) 存在，则lim f ( x a, b)
x f (a x,b) =（）
x0
1（ A）f x(a,b)；（ B） 0；（ C）2 f x(a, b)；（D） f x (a, b) 。

2
2、设 z x y2，结论正确的是（）
（ A） 2 z 2 z
0 ；（ B） 2
z 2 z
0；
x y y x x y y x
（ C）2 z 2 z0 ；（ D） 2 z 2 z0 。

x y y x x y y x
3、若f ( x, y)为关于x的奇函数，积分域D 关于y轴对称，对称部分记为D1, D2，f (x, y)
在 D 上连续，则 f (x, y) d（）
D
（A） 0；（ B） 2 f ( x, y)d；（ C） 4 f (x, y)d； (D)2 f (x, y) d 。

D1D1D2
4、设： x2y 2z2R2，则( x 2y 2 )dxdydz=（）
（A）8
R 5；（ B）
4
R5；（ C）
8
R 5；（ D）
16
R 5。

331515
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点( x, y)处的线密度为( x, y) ，则曲线弧
Ｌ的重心的 x 坐标 x 为（）
（Ａ） x =1
x ( x, y)ds；（B）x=1x ( x, y)dx ；M L M L
（ C）x = x( x, y)ds ；（D）x =
1xds,其中M为曲线弧Ｌ的质量。

M
L L
６、设为柱面x2y 2 1 和 x 0, y 0, z 1 在第一卦限所围成部分的外侧，则
曲面积分y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz＝（）（A） 0；（ B）；（ C）
5；（ D）。

4244７、方程 y 2 y f ( x) 的特解可设为（）
（A）A，若f (x)1；（ B）Ae x，若f ( x)e x；
（ C）Ax4Bx 3Cx 2Dx E ，若 f ( x) x 22x ；
（ D）x( Asin 5x B cos5x) ，若 f ( x)sin 5x 。

８、设
f (x)
1,x 0
展开式中的 a n等于（
，则它的 Fourier）1x
（A）
2
[1( 1) n ] ；（B）0；（C）
1
；（ D）
4。

n n n
三、（１２分）设 y f ( x,t ),t 为由方程 F (x, y, t) 0确定的 x, y 的函数，其中 f , F
具有一阶连续偏导数，求dy
dx。

四、（８分）在椭圆x 2 4 y 2 4 上求一点，使其到直线2x 3 y 60 的距离最短。

五、（８分）求圆柱面 x2y 2 2 y 被锥面z x 2y 2和平面 z0 割下部分的面积Ａ。

六、（１２分）计算 I xyzdxdy，其中为球面 x 2y 2z2 1 的 x 0, y0 部分
的外侧。

七、（ 10 分）设df (cos x)
1 sin
2 x ，求 f (x) 。

d (cos x)
八、（ 10 分）将函数 f ( x) ln(1 x x2x 3 ) 展开成 x 的幂级数。

高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题 3 分，共计24 分）
1、由方程
的全微分xyz x2y2z2 2 所确定的隐函数z z(x, y) 在点（1，0，-1）处dz。

2、椭球面x22y 23z2 6 在点（1，1，1）处的切平面方程是。

3、设 D 是由曲线y x2 , y x 2 所围成，则二重积分I(1 x 2 ) dxdy。

D
4、设是由 x 2y 24, z0, z 4 所围成的立体域，则三重积分
I(x 2y 2 ) dv =。

5、设是曲面z x 2y 2介于z0, z 1 之间的部分，则曲面积分
I( x2y 2 )ds。

6、x2 ds。

x2y 2 z2 a2
x y z 0
7、已知曲线y y( x) 上点M(0,4)处的切线垂直于直线x 2 y50 ，且 y(x) 满足
微分方程 y 2 y y0 ，则此曲线的方程是。

8、设f (x)是周期 T= 2的函数，则 f ( x) 的Fourier系数为。

二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）
1、函数z arcsin y
xy 的定义域是（）x
（ A）( x, y) | x y , x 0 ；（B）( x, y) | x y , x0 ；
（ C）( x, y) | x y 0, x 0( x, y) | x y 0, x 0 ；
（D）( x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y0。

2、已知曲面z4x 2y2在点P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0 ，则点
P 的坐标是（）
（A）（ 1， -1 ， 2）；（ B）（ -1 ， 1， 2）；（C）（ 1，1， 2）；（ D）（ -1 ， -1 ， 2）。

3、若积分域 D是由曲线y x 2及 y 2 x2所围成，则 f ( x, y) d =（）
D
（ A）1
dx
2x2
f ( x, y)dy ；（ B）
1
dx 1x21
（ C）1
dy
y
f ( x, y) dx ；
2x2
dy 02y
（ D）x2
4、设1: x2y 2z2R 2 , z 0;2 : x 2y2z 2
有（）
（A）xdv4xdv ；（ B）ydv
x2
2x2
f (x, y)dy；
1
f (x, y) dx 。

1
R 2 , x 0, y 0, z0 ，则4ydv ；
1212（ C）xyzdv4xyzdv ；（ D）zdv 4 zdv 。

1212
5 、设为由曲面 z x 2y 2及平面z 1 所围成的立体的表面，则曲面积分
( x2y2 )ds =（）
（A）1
2；（ B）；（ C）2；（ D） 0 。

222
６、设是球面 x2y2z2a2表面外侧，则曲面积分x 3 dydz y3 dzdx z3dxdy ＝（）
（A）12
a 3；（ B）
12
a5；（C）
4
a 5；（ D）12a5。

5555
７、一曲线过点(e,1) ，且在此曲线上任一点M ( x, y) 的法线斜率 k
x ln x
，则x y ln x
此曲线方程为（）
x
（ A）y x ln(ln x) ；（B）
e
（ C）y ex xln(ln x) ；（D）y
x
xln x ；
e
y
x
ln(ln x) 。

e
８、幂级数(n 1)x n的收敛区间为（）
n 1
（ A）（ -1 ，1）；（ B）( ,) ；（C）（-1，1）；（ D） [-1 ， 1] 。

三、（１０分）已知函数u yf ( x
)xg (
y
) ，其中 f , g 具有二阶连续导数，求
y x
2u y 2 u
的值。

x
2x y
x
四、（１０分）证明：曲面xyz c3 (c 0) 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的
体积为一定值。

五、（１４分）求抛物面z 4 x2y 2的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面
( x 1) 2y 21内部的部分的体积为最小。

六、（１０分）计算 I
(e x sin y y)dx (e x cos y x) dy ，其中Ｌ为 y 4 x 2
L
由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。

七、（８分）求解微分方程
y
2
y 2 =0 。

1 y
八、（８分）求幂级数
x n 的和函数 S( x) 。

n 1
n
高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题 3 分，共计
24 分）
1、设 z
f (x, y) 是由方程 z y x xe z y x
0 所确定的二元函数，则
dz。

x 2 y 2 z 2 3x
0 。

２、曲线
3y 5z 4
在点（１，１，１）处的切线方程是
2x 0
３、设是由
x2y2z21，则三重积分 e z dv＝。

４、设 f ( x) 为连续函数，a, m 是常数且 a0
a
dy y f ( x)dx ，将二次积分
e m (a x)
化为定积分为。

５、曲线积分Pdx Qdy 与积分路径 L( AB) 无关的充要条件为。

L ( AB)
６、设为 z a 2x 2y 2，则( x2y 2z2 )ds。

７、方程 y3y e2 x的通解为。

８、设级数a n收敛，b n发散，则级数(a n b n ) 必是。

n1n1n1
二、选择题（每小题 2 分，共计16 分）
x2 y
,( x, y)(0,0)
１、设 f ( x, y)x 2y 2，在点（０，０）处，
0,( x, y)(0,0)
下列结论（）成立。

（Ａ）有极限，且极限不为0；（Ｂ）不连续；
（Ｃ） f x (0,0) f y (0,0)0 ；（Ｄ）可微。

２、设函数 z f ( x, y) 有 2 f
2，且 f ( x,0)1， f( x,0)x ，则（）
y 2y f ( x, y) =（Ａ）1xy y 2；（Ｂ）1xy y 2；（Ｃ）1x2 y y 2；（Ｄ）1x 2 y y 2。

３、设Ｄ： 1x 2y 24， f在 D 上连续，则 f (x 2y 2 )d在极坐标系中等
D
于（）
22
2
（Ａ）2rf r dr ；（Ｂ）2rf (r)dr；
11
（Ｃ） 2
2
r 2 f (r )dr1r 2 f (r )dr ] ；（Ｄ） 221rf ( r 2 )dr ] 。

[
[rf (r2 )dr
000
４、设是由 x 0, y 0, z0 及 x 2 y z 1 所围成，则三重积分xf ( x, y, z)dv ()
1（Ａ）dx
1（Ｂ）dx
1（Ｃ）dx
1（Ｄ）dx
1y
x 2 y
2
1
dz xf ( x, y, z)dy ；00
1 1 x
2 y
xf ( x, y, z)dz ；dy
00
1x
x 2 y
2
1
dy xf ( x, y, z)dz ；
00
11
dy xf ( x, y, z)dz。

00
５、设是由 x0, y0, z0, x1y1, z1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy()
（Ａ） 0；（Ｂ） 1；（Ｃ） 3；（Ｄ） 2。

６、以下四结论正确的是（）
（Ａ）( x2y 2z2 )dv4a5；
x2 y2 z2 a23
（Ｂ）x2y 2z2ds4 a 4 ;
x2y 2z2 a2
（Ｃ）( x 2y2z2 ) dxdy4a4；
x2y 2z2 a 2外侧
（Ｄ）以上三结论均错误。

７、设 g ( x) 具有一阶连续导数，g( 0) 1 。

并设曲线积分yg (x) tan xdx g( x)dy
L
(,)
g (x)dy ()
与积分路径无关，则44yg(x) tan xdx
(0 ,0)
（Ａ）
2
；（Ｂ）
2 22
８、级数
( 1)n 1
的和等于（
2 n 1
n 1
；（Ｃ）
2
；（Ｄ）
2
8。

8
）
（Ａ） 2/3 ；（Ｂ） 1/3 ；（Ｃ）1；（Ｄ）3/2。

三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设 u x y z , 求
u , u u。

x y z
２、（７分）设 u f ( x
,
y
) ， f 具有连续偏导数，求du。

y z
四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算 I af ( x)bf ( y)
d ，其中 D : x2y 2R2。

D f ( x) f ( y)
２、（７分）计算I( x y z 1)dv ，其中: x2y2z2R 2。

五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，
2xy( x4y 2 ) dx x 2 (x 4y 2 ) dy 与积分路径无关，并求其一个原函数u( x, y) 。

L
1x
六、（８分）将函数 f (x)3展开为 x 的幂级数。

(1x)
七、（７分）求解方程y 6 y 9 y0 。

高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共15 分，每小题 3 分）
1 ．设函数 f ( x, y) 在 P(x0 , y0 ) 的两个偏导f x (x0 , y0 ) ，f y (x0 , y0 )都存在，则
( )
A．f ( x, y)在P连续B．f (x, y)在P可微
C ．lim f ( x, y0 ) 及 lim f (x0 , y) 都存在D．lim f ( x, y) 存在
x x0y y0( x, y ) ( x0 , y0 )
2．若z y ln x，则 dz 等于（）．
y ln x ln y y ln x ln y y ln x ln y
A.x y
B.
x
C . y ln x ln ydx y ln x ln y dy
D . y ln x l n y dx y ln x ln x dy
x x y
3．设是圆柱面 x2y22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则
f ( x, y, z)dxdydz(）．
2 A.
2 B.
2cos
dr1, r sin, z)dz d f (r cos
00
2cos
rdr1, r sin, z)dz d f (r cos
00
C. 2 d 2 cos1, z)dz
rdr f ( r cos , r sin
200
D.d 2cos x1
, z)dz rdr f (r cos , r sin
000
4． 4 ．若a n ( x 1)n在x 1 处收敛，则此级数在x 2 处（）．n 1
A ．条件收敛
B ．绝对收敛
C ．发散
D ．敛散性不能确定
x y z2
5．曲线z x2y2在点（ 1， 1， 2）处的一个切线方向向量为（） .
A.（ -1 ， 3， 4）
B.（ 3， -1 ， 4）
C. （ -1 ，0， 3）
D.（ 3， 0， -1 ）
二、填空题（共15 分，每小题 3 分）
1．设
z x' (1,1).
x 2 y 2xyz 0，则
e
dx ln x I_____________________ ．
2．交换I f ( x, y)dy 的积分次序后，
10
3．设u2xy z2，则 u 在点 M (2, 1,1) 处的梯度为.
4.已知x x n
则
e，
n 0 n!
xe x.
5. 函数z x3y33x2 3 y2的极小值点是.
三、解答题（共54 分，每小题 6--7 分）
1. （本小题满分 6 分）设z y arctan y
,求z ,z .
x x y
2. （本小题满分 6 分）求椭球面2x23y2z29 的平行于平面 2x3y 2z 1 0 的切
平面方程，并求切点处的法线方程
3. （本小题满分7 分）求函数z x22r 1
r
3r
y在点 (1,2) 处沿向量 l i
2j 方向的方向导
2数。

4. （本小题满分7 分）将f (x)1
3 的幂级数，并求收敛域。

展开成 x
x
5 ．（本小题满分7分）求由方程2x2 2 y2 z28yz z 80 所确定的隐函数
z z( x, y) 的极值。

6．（本小题满分 7 分）计算二重积分(x 2y 2 )d , D 由曲线 x1 y 2 , y1, y 1
D
及 x 2 围成.
7. （本小题满分7 分）利用格林公式计算xy2 dy x 2 ydx ，其中 L 是圆周x2y2a2
L
（按逆时针方向）.
8. （本小题满分7分）计算xydxdydz ，其中是由柱面x2y 2 1 及平面
z 1, x 0, y 0 所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题（共16 分，每小题 8 分）
1．（本小题满分8 分）设级数u n ,v n都收敛，证明级数(u n v n )2收敛。

n 1n 1n 1
2．（本小题满分8 分）设函数 f ( x, y) 在R2内具有一阶连续偏导数，且f2x ，
x 证明曲线积分2xydx f ( x, y) dy 与路径无关．若对任意的t 恒有
L
( t ,1)
f ( x, y)dy(1,t )
2xydx 2 xydx f ( x, y)dy ，求f (x, y)的表达式．(0,0)(0,0)
高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、 1、当0 a 1时，0x 2y21；当a 1 时，x2y 2 1 ；
1 e 1y
32
(t )2
(t)dt ；
2、负号；
3、
d dy dx;； 4、
e y
D0
2
5、 180； 6
y
、
sin Cx ；
x
7、y C1 cos2x C2 sin2x C3 e 2x C4 e 2 x ；8、 1；
二、 1、 D； 2 、 D； 3 、 C； 4 、B； 5 、 D； 6 、 B； 7 、 A； 8 、 C；
三、 1、u
f1yf2；u xg ( x xy) ；x y
2、u
f ( x t) f ( x t ) ；
u
f ( x t ) f (x t ) ；
x t
2
dx2y22y e y2dx2ye y2dy
1
(1 e 4 ) ；
四、 1、e dy dy
00
0x02
柱面坐标222
3 dz 222
3dz14
2、I0d0dr1r0d2dr
1
r2
r
；
23
五、令 P y, Q
x 2x
y 2
则P y 2x2
Q
， (x, y)(0,0) ；
x2y 2y( x2y 2 ) 2x
于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O（ 0，0）时，P
,
Q
在 D 内连续。

所以由 Green y x
公式得： I=0 ；②当L所围成的区域D中含 O（ 0，0）时，P ,Q
在 D 内除 O（0， 0）
y x
外都连续，此时作曲线l为 x2y 22 (01)，逆时针方向，并假设 D *为 L 及 l所围成区域，则
I Green公式(Q P
2
L l l L l l
)dxdy
D*x y x 2y22六、由所给条件易得：
f (0)
2 f (0)
f (0)0
1 f
2 (0)
f (x) f (
x) f ( x)
f (x
x) f ( x) = lim
1
f ( x) f (
x) 又 f ( x)
lim
x 0
x x
x
lim 1
f 2 (x)
f ( x)
f (0) f ( 0)[1
f 2 ( x)]
x 0
1
f ( x) f ( x) x
即
f ( x)
f (0)
f 2 ( x)
1
arctan f (x)
f (0) x
c 即 f ( x) tan[ f (0) x c]
又 f (0) 0
即 c
k ,k
Z
f ( x) tan( f (0) x)
七、令 x 2
t ，考虑级数
( 1)n
t 2 n 1
n 1
2n 1
t 2 n 3
lim
2n 3 t 2
t
2 n 1
n
2n 1
当 t 2
1 即 t 1 时，亦即 1 x 3 时所给级数绝对收敛；
当 t
1 即 x
3或 x 1时，原级数发
散；
当 t
1即 x 1时，级数
( 1) n 1 1 收敛；
n 1 2n 1
当 t
1即 x
3 时，级数
( 1)n
1 收敛；
n 1
2n 1
级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1 ，3] 。

高等数学（下册）试卷（二）参考答案
2
y 4 2 2 f (0) ；
一、 1、 1；
2 、 -1/6 ；
3 、
dy
f ( x, y)dx
dy
f ( x, y)dx ； 4 、
y / 2
2
y / 2
3
5、 8
； 6 、 2( x y z) ； 7 、 y y 2 y 0 ； 8 、 0；
二、 1、 C ； 2 、 B ； 3 、 A ； 4 、 D ； 5 、 C ； 6 、 D ； 7 、 B ； 8 、 C ；
三、 1、函数 u ln( x
y 2 z 2 ) 在点 A （ 1，0， 1）处可微，且
u A
1
(1, 0,1)
1/ 2 ；
x x
y 2 z 2
u
A
1
y (1,0 ,1)
0 ；
y x
y 2 z 2
y 2
z 2
u
A
1
z (1, 0,1)
1/ 2
z x
y 2
z 2 y 2
z 2
而 l
AB (2, 2,1), 所以 l
( 2 , 2 , 1
) , 故在 A 点沿 l AB 方向导数为：
3
3 3
u u
cos
+ u
cos
+
u
cos
l
A
x A y
A
z
A
1 2 0 ( 2) 1 1
1/ 2.
2 3 3 2 3
2、由
f x
2 xy(4 x y) xy( 1) 0 得 D 内的驻点为 M 0 ( 2,1), 且 f (2,1) 4 ，
f y
x 2
( 4 x
2y)
又 f ( 0, y) 0, f ( x,0) 0
而当 x
y 6, x 0, y
0 时，
f ( , ) 2 x 3 12 x 2 (0
x
6)
x y
令 ( 2x 3 12x 2 ) 0 得 x 1 0, x 2
4
于是相应 y 1 6, y 2
2 且 f (0,6)
0, f ( 4,2) 64.
f ( x, y) 在 D 上的最大值为 f (2,1) 4 ，最小值为 f (4,2)
64.
0 x 1
四、 1、
的联立不等式组为
: 0
y x 1
z 1 x
y
所以 I
1
1 x
1 x y
dz
dx
0 dy
(1 x
y z) 3
1
2
1 1 x dx
1
1 [
2
]dy
(1 x y) 4
1
1
(
1 3 x
1 5
2
1
4
)dxln 2
16
x 2
2、在柱面坐标系中
F (t )
2 d t h
f (r 2
)]rdz
t
2
)r
1
h 3r ]dr
0 dr [ z
2
2 [ hf (r
3
所以
dF 2 [ hf (t 2 )t
1 h 3 t]
2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]
dt
3 3
五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：
I
L
OA
OA
L OA
OA
Green 公式
(e x cos y e x cos y m)dxdy 0
x 2
y 2
ax , y 0
1 m a 2
8
2、作辅助曲面
z a
，上侧，则由 Gauss 公式得：
1 :
y 2
x 2
a 2
I
+
=
1
1
1
1
=
2( x y z)dxdydz
a 2 dxdy
x 2
y 2
z 2
,0 z a
x 2
y 2
a 2
2 a
zdxdy
a
4
=
dz
z 2
x 2 y 2 2
a a
4
1 a 4
z 3
dz
2
六、由题意得： 3 ( x)
2 (x)
xe 2 x
( x)
即
(x) 3 ( x) 2 (x) xe 2 x
特征方程 r 2
3r
2 0 ，特征根 r 1
1, r 2
2
对应齐次方程的通解为： y c 1e x
c 2 e 2 x
又因为
2 是特征根。

故其特解可设为： y *
x( Ax B)e 2 x
代入方程并整理得： A
1 , B
1
2
即
y *
1
x( x 2) e 2 x
2
故所求函数为：
( x) c 1e
x
c 2 e
2 x
1
x( x 2)e 2 x
2
高等数学（下册）试卷（三）参考答案
2
2
2 2
1
1 x 2
1 x
2 y 2
一、 1、 ye
y
z
xe
x
z
； 2 、
5 ； 3 、
1 dx
1 x 2
dy 0
f ( x, y, z)dz ； 4、 f (0,0);
5、2 a 3
； 6 、
(
P
Q
R
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy ，
x
y
z
Gauss 公
式；
7 、 Ax 2
Bx C
8
、 P 0 。

二、 1、 C ； 2 、 B ； 3 、A ； 4 、 C ； 5 、 A ； 6 、 D ； 7 、 B ； 8 、 B
三、由于 dy f x ( x, t) dx f t ( x, t) dt ， F x dx F y dy F t dt
由上两式消去 dt ，即得：
dy f x F t f t F x
dx
F t
f t F y
四、设 ( x, y) 为椭圆 x 2
4 y 2 4 上任一点，则该点到直线
2x 3y 6
0 的距离为
d
6 2x 3y
；令 L (6
2x 3y) 2
( x
2
4 y
2
4) ，于是由：
13
L x 4(6 2x 3y) 2 x 0 L y
6(6 2x 3y)
8 y
L
x 2 4 y 2
4 0
得条件驻点： M 1 ( 8 , 3), M 2 (
8 , 3
), M 3
(
8 , 3
),M 4( 8
, 3)
3 5
5 5
5
5
5 5
依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，
其中
d min 6 2x
3y
13 M 1
即为所求。

13
13
五、曲线
z
x 2 y 2 在 yoz 面上的
x 2 y 2 2 y
投影为
z 2 2 y
( 0
y z)
x
于是所割下部分在
yoz 面上的投影域为：
y 2
D yz : ， y 0 z 2y
由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。

A 2
1 ( x
)
2
( x
) 2 d
x
D
yz
y
z
2
dydz
2
dy 2 y
dz
8
2 0
D
yz
2 y y 2 1 2y y 2
六、将
分为上半部分
1
: z
1 x
2 y 2 和下半部分
2 : z
1 x
2 y 2 ，
1,
2 在面 xoy 上的投影域都为： D xy : x 2 y 2
1, x 0, y
0,
于是：
xyzdxdy
1 x 2
y 2 dxdy
1
D
xy
极坐标
1
2
sin
1 ；
2 d
0 cos
1
2
d
15
xyzdxdy
xy(
1 x 2
y 2 )( dxdy)
1 ，
2
D
xy
15
I
2
=
1
2
15
七、因为 df (cos x)
1 sin
2 x ，即 f (cos x) 1 sin 2 x
d (cos x)
所以 f ( x) 2 x 2
f ( x) 2x
1 x 3 c
3
八、
f (x)
ln[( 1 x)(1 x 2 )] ln(1 x) ln(1 x 2 )
又
ln(1 u)
( 1) n 1 u n , ( 1,1]
n
u
n 1
f (x)
( 1) n 1 x n
( 1) n 1 x 2 n
, x ( 1,1]
n 1
n n 1
n
( 1) n 1
x n
(1
x
n ), x
( 1,1]
n
n 1
高等数学（下册）试卷（四）参考答案
一、 1、 dx
2dy ； 2、 x 2 y 3z
6 ； 3 、
153
； 4 、 32 ； 5 、
2 ；
20
2
6、
2
a 3 ； 7 、 y 2(2
x)e x ；
3
8、 a 0
1
f ( x)
2
dx ； a k
1
f ( x) cos kxdx
k 1,2,
n,
2
b k
1
f ( x) sin kxdx k
1,2, n,
二、 1、 C ； 2 、 C ； 3 、 A ； 4 、 D ； 5 、 A ； 6 、 B ； 7 、 A ； 8 、 C
三、
u f ( x
)
g( y )
y
g ( y
)
x
y
x
x
x
2 u
1
f ( x
)
y g ( y ) y g ( y
) y 2 g ( y ) x 2
y
y
x 2 x x 2 x
x 3
x
1 f x y 2
y
)
y ( ) x 3
g (
y
x
2
u
x
2 f (
x )
1
g ( y )
1
g ( y
)
y 2 g ( y
)
x y
y
y x
x
x
x
x x
x f ( x
) y g ( y
)
y 2 y x 2 x
故 x
2
u
y
2
u
x
2
x y
四、设 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是曲面 F
xyz c 3
0 上的任意点，则 x 0 y 0 z 0
c 3 ，
在该点处的法向量为：
n ( F x , F y , F z ) M
( y 0 z 0 , z 0 x 0 , x 0 y 0 ) ( c 3 ,
c 3 , c 3 ) c 3 ( 1 , 1 , 1 )
x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 z 0
于是曲面在 M 点处的切平面方程为：
1 ( x x 0 ) + 1 ( y
y 0 ) +
1
( z z 0 ) =0
x 0 y 0
z 0
即
x
+ y +
z
=1
3x 0
3y 0 3z 0
因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：
V
1
3x 0
3y 0 3z 0
9
x 0 y 0 z 0
9 c 3
6
2
2
这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面
z 4 x 2
y 2 ，柱面 ( x 1) 2 y 2
1及平面
z 0之间的立体体积
为定值，所以只要介于切平面
，柱面 ( x 1) 2
y 2
1及平面 z 0 之间的立体体积 V
为最大即可。

设
与 z
4 x 2 y 2 切于点 P(x 0 , y 0 , z 0 ) ，则 的法向量为 n
(2x 0 ,2 y 0 , 1) ，且
z 0 4 2
2
，切平面方程为： 2x 0 ( x x 0 ) 2 y 0 ( y y 0 ) ( z z 0 ) 0
x 0 y 0 即 z 2x 0 x 2 y 0 y 4 x 02
y 02
于是 V
zd 极坐标
2
（2 x 0 cos
2 y 0 sin
4
2 2
x 0
y 0 )d
( x 1)2
y 2
1
2
(2x
4 x 2
y 2 )
V (2
2x 0 )
x 0
则由
，得驻点（ 1， 0）
V
2 y 0
y 0
且
V (1,0 ) 5 , z 0 5.
由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（
1， 0， 5）时，题中所求体积为最小。

此时的切平面
为： z 2x 3
六、联接 BA ，并设由 L 及 BA 所围成的区域为
D ，则
I
BA BA
L BA
Green 公式
(e x cos y
1 e x cos y 1)dxdy 0
L
BA
D
2 1 22
4
2
七、令 y
z( y) ，则 y
z
dz
，于是原方程可化为：
z dz
2 z 2 0
dy
dy
1 y
即 dz
2
2
dy
c 1e
1 y
1)
2
1 ，其通解为 z
c 1 (y dy y
dy c 1 ( y 1) 2
即
dy c 1 dx
dx
( y 1) 2
故原方程通解为：
y 1
1
c 1 x c 2
八、易求得该幂级数的收敛区间为
( 1,1).
x ( 1,1) ，令 S( x)
x n
x n )
x
n 1
1
，则 S ( x)
(
1 x
n 1
n
n 1 n
n 1
注意到 S(0)
0 ， S( x)
x
x
dx
ln(1 x)
S ( x)dx
1
x
高等数学（下册）试卷（五）参考答案
一、1、
dx (1
xe z y x )dy ；2、x 1
y 1 z 1 ；3、 ；4、 a m (a x) f ( x)( a x) dx ；
1 xe
z y
x
16
9
1
2
e
5 、对任意闭曲线
l ， Pdx Qdy
0 或 P
Q 或 u( x, y), 使得 du Pdx
Qdy ；
l
y
x
6 、 2 a 4
； 7 、 y
ce
3 x
1
e 2 x ； 8 、发散
5
二、 1、 C ； 2 、 B ； 3 、 A ； 4 、 C ； 5 、C ； 6 、B ； 7 、 D ； 8 、A
三、 1、
u
y z x y z 1 ； u
x y z
y
z 1
zln x ；
u
y z x y z ln x ln y
x
y
z
2、
u 1
f 1
u
x
2 f 1
1
f 2
u y
2 f 2
x
y y y
z z
z
u
u
u 1
x
1 y
du
x dx y dy
z dz y f 1dx (
y 2 f 1 z f 2 )dy z 2 f 2
dz。

四、 1、因为积分域
D 关于 y
x 对称，所以
I
af ( x) bf ( y)d
af ( y) bf ( x)d
D
f ( x) f ( y) D
f ( y) f (x)
故 I
1 [ af (x) bf ( y) d af ( y) bf ( x)d ]
2 D
f ( x) f ( y) D f ( y) f ( x)
=
1 ( a b) d 1
(a b) R 2 ；
2 D
2
2、 I
( x 2
y 2 z 2 )dV 2 x( y z 1)dV 2 yzdV
+ 2
ydV 2
zdV
dV
因为
关于三个坐标轴都对称，而
2xy,2 yz,2 zx,2x,2 y,2z 都（至少）关于某个变
量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于
0。

于是：
I( x 2y 2z2 )dV dV 3 z2dV 4 R3
3 6R z2 dxdy4R34R3 (1R2 ) 。

dz
x2 y2 R2z233
五、令 P2xy( x4y 2 ), Q x2 ( x4y 2 )
则P2x(x 4y 2 ) 4 xy2 ( x4y 2 ) 1，
y
Q2x(x 4y2 )4x5 ( x4y 2 )1
x
由已知条件得Q P
，即有 ( x4y2 )(1)0 ，所以1
x y 所求的一个原函数为：
u( x, y)( x, y)2xy
2 dx
x 2
2 dy
(1, 0)x
4y x4y
x y
x 2
2 dy y
0dx
x 4
y
arctan2
10x 六、易知
1x2(1x)21
(1x)3(1x) 3(1x) 3(1x) 2
又1x n(1x1)
1x n0
(11(
1
x
)nx n1 x) 21n1
(11(1)n(n 1) x n 2(n 1)nx n 1 x) 3(1x) 2n2n 1
1 x(n 1) nx n 1nx n 1n
2 x n 1，其中( 1 x 1)
(1x) 3n1n 1n1
七、方程的特征方程为：r 26r90 ，其特征根为 r1r 2 3 ，
故方程的通解为：y(c1c2 x)e3x
高等数学（下册）试卷（六）参考答案
一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）： 2 D 3 C 4B 5 A
二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
(
n
n 1
I
1
e
1)
x
2.
dy e y f ( x, y)dx 3.
2 i 4 j
2 k 4
n
n!
5. (2,2)
三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）
1．解：
z
y 2
; (3
分 )
x
x
2
y
2
z
= arctan y
+
2 xy
2
( 6
分 ).
y x x
y
r
2. 解 ： 记 切 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 则 切 平 面 的 法 向 量 为 n
2(2 x 0,3 y 0 , z 0 )
满 足 ：
2x 0 3 y 0 z 0 ，切点为： (1, 1,2) 或 ( 1,1, 2) (3 分 ) ，切平面： 2x 3y 2z 9or 9 ( 4 2 3 2
x 1 y 1 z 2 或者 x 1 y 1 z 2 ( 6
分) ， 法线方程分别为： 分 )
2
3
2
2 3 2
3. 解：
f (1,2)
(2,4)
( 3 分 ),
f (1,2)
1 2 3 ( 7
分)
r
l
4. 解： f ( x)
1
= 1
1 , ( 2
分 )
(
x
3
( x
3) 3 1
3)
3
因为
( 1)n x n
1 ， x
( 1, 1) , 所以
n 0
1 x
1
1 ( 1) n
1 (
x 3
) n = ( 1) n
(1
)
n 1
(x 3)
n
, 其中 1
x 3
1 ，即
3
( x 3
n 0
3 3 n 0
3 3
1 3 )
0 x 6 .( 5 分 )
当 x
0时，级数为
1 发散；当 x
6时，级数为
( 1)
n
1
发散 , 故
n 0 3
n 0
3
1 = ( 1) n
(1
) n 1 (x 3)n ， x
(0, 6) ， ( 7
分 )
x
n
3
z
4x
x
1 2z
5. 解： 由
8y , 得到 x
0 与 y 2z 0, ( 2 分 )
z 4(y 2z)
y
1 2z 8y
再代入 2 x
2
2 y
2
z 2
8yz z 8 0 ，得到 7z
2
z 8 0 即 z 1,
8。

7
由此可知隐函数 z
z( x, y) 的驻点为 (0, 2)
与 (0, 16) 。

( 4 分 )
7
由
2
z
4 ， 2 z 0 ， 2z 4 ，可知在驻点 (0, 2) 与 (0, 16
) 有 H 0 。

( 5
x 2 1 2z 8y x y y 2 1 2z 8y 7
分)
在 (0, 2) 点， z
1，因此
2
z
4 0 ，所以 (0, 2) 为极小值点，极小值为
z
1； ( 6
x
2
15
分)
在 (0,
16
) 点， z
8 ，因此
2
z
4 0 ，所以 (0, 16
) 为极大值点， 极大值为 z 8 ，
7
7
x 2
15 7
7
( 7 分 )
6. 解：记 D 1 :
2 x 0
1 y 2
x 0
D D 1
D 2 . （ 2 分） 故
1
y
D 2 :
1
y 1
，则
1
( x 2 y 2 )d
( x 2
y 2 )d
( x 2
y 2 )d
( 4
分 )
D
D 1
D 2
1 dy ( x 2
y 2 )dx
3 r 3 dr 20
（ 7 分）
1
1
2
2
3
4
7. 解： L 所围区域
D ： x 2
y 2
a 2 , 由格林公式，可得
xy
2
d y
x 2 y d x =
L
(
2 )
( x 2
y)
)dxdy = ( x 2 y 2 )dxdy =
d
r 2 r dr
πa 4 .(7 分 )
( xy
2π a
D
x y
D
2
O
⋯⋯⋯⋯O ⋯⋯⋯⋯O ⋯⋯⋯⋯O ⋯⋯⋯⋯O 装⋯⋯⋯⋯O ⋯⋯⋯⋯ O ⋯⋯⋯⋯ O ⋯⋯⋯⋯O ⋯⋯⋯⋯O
0z1,
8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便 , 此时，: 0
π
, 所以
z
2
0r1,
1
xydxdydz1 dz
π
1 r cos r sin rdr ( 4
2 d分 )
000O
1
π
1
y
r 4
π 1
d
13
dr =(
cos2
)2
1
= 2sin 20 r
4 4 0
x. (7 分 )
0208
四、综合题（共16 分，每小题 8 分）
1．证明：因为lim u n0, lim v n0，（ 2 分）
n n
故存在 N，当n N 时，(u n v n)2u n2v n22u n v n3u n，因此(u n v n )2收敛。

（8
n 1
分）
2．证明：因为f2x ，且(2xy)2x ，故曲线积分2xydx f (x, y)dy 与路径无关．（4 x y L
分）
因此设 f ( x, y)x
2
g( y) ，从而
( t ,1)
f ( x, y)dy t12
g ( y)]dy t21
2xydx0dx[ t g( y)dy ，（5分）(0,0)000
(1, t )
f (x, y)dy1t g( y)] dy t t
2xydx0dx[1g( y)dy ，（6分）(0,0)000
由此得 t 2
1
t t2t 1 ，即
g( y)dy g( y)dy 对任意t成立，于是 g(t)
00
f ( x, y) x2g( y)x 2 2 y 1 ．（8分）
⋯⋯⋯⋯O。