第3章 力矩与平面力偶理论

5、直角杆CDA和 T 字型杆BDE在D处铰结，并支承如图。若
系统受力偶矩为M的力偶作用，不计各杆自重，求A支座反力 的大小和方向。
D C
E
M
a
A
B
a
a
a
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
思考题
匀速起吊重P 的预制梁如图所示，如果要求绳 索AB、BC的拉力不超过0.6P，问角应在什 么范围内？
FP
M ( F , F ' ) M ( FP , FP ' )
A
F
C
D
F'
B FP '
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
两个重要推论：
推论1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚 体的转动效应
如下图(a)、(b)所示。
M A
( a)
M B A
C
(b )
B
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
力矩的性质：
（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而
改变；
（2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此 力的作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论

O
FBA A M1 FO
O
B
FAB
M2
D
因为 所以求得
FAB FBA
M2 1 M1 2
FD
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
例3-4 如图所示，机构OABO1，在图示位置平衡。已知：OA
＝400mm，BO1＝600mm，作用在OA上的力偶矩之大 小M1＝1Nm。试求力偶矩M2的大小和杆AB所受的力F 。各杆的重量及各处摩擦均不计。
二、合力矩定理
MO (FR ) MO (F )
合力矩定理：平面汇交系的合力对于平面内任一点之矩等于力 系中所有各分力在同一点之矩的代数和。 证明： 由图得
M O (F ) Fd Fr sin( ) Fr(sin cos sin cos ) F sin r cos F cos r sin )
2. 力偶的性质 （1）组成力偶的两个力在任何坐标轴上的投影等于零； （2）力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力 平 （3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应， 衡； 它可以也只能改变物体的转动状态。
3. 力偶矩
其转动效应---力对点之矩，即用力偶中的两个力 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。（推导）
B

C
A
P
M1
A
B
4m
M2
60
。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
【解】 作AB梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用有二 个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束反力也必 须组成一个同平面的力偶与之平衡。
由平衡方程 得
M 0
0
M1 M2 FB l cos60 0
FB 6 N m
推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任 意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚 体的转动效应
如下图(a)、(b)所示。
A
d
F1
D
F2
B
( a ) 其中
A
F2
B
F1
F1d F2 D
( b)
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
三、平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。 1.平面力偶系的合成 (1) 两个力偶的情况
而
F cos Fx , F sin Fy r cos x, r sin y
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
则
M O ( F ) xFy yFx
(a )
若作用在 A 点上的是一个汇交力系，则可将每个力对O 点之矩相加，有
M
O
(F ) x Fy y Fx
第三章 力矩与平面力偶理论
4、如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦，且＝450，如 在杆AB上作用有矩为M1的力偶。上述两种情况下平衡时， A、C处的约束反力和杆CD上作用的力偶是否相同？
D
A
M1

D A B
M1

E
E B


M2
M2
C
(a)
C
( b )
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
第一节 第二节 力对点之矩的概念及计算 力偶及平面力偶系
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
第一节 力矩的概念和计算
一、力对点之矩
力对刚体的运动效应包括移
l
A
动和转动两种，其中移动由 力矢来度量，而转动由力矩 （或力偶）来度量。
M1
A
B
解得
故
FA FB 6 N m
FA
M2
FB
d
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
例题 3-3
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用 着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA=r，DB=2r， =30°，不计杆重，试求M1和M2间的关系。 B A M1
O
M2
D
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
例题 3-3
解：因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，
B
B的连线方向。 分别取杆 OA和DB为研究对象。因为力偶只能与
A
M1 M2
D
力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能
分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
即
M O ( F ) Fd
O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直 距离d,称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反 之为负。
注意到:力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向 （力矩的正负），因此它是一个代数量 (平面问题)。 力矩的单位：国际制 N m， kN m 工程制 kg m 公斤力米
第三章 力矩与平面力偶理论
2、如图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？请写出
矢量表达式。
F3
F2
F3
F2
F1
（a ）
F1
（b）
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
3、如图所示盘由O点处的轴承支持，在力偶M和力F 的作用 下处于平衡。能不能说力偶M被力F所平衡？为什么？
M O
F
理论力学电子教程
(b)
由式（ a ），该汇交力系的合力 FR 它对矩心的矩
F
，
M 0 (FR ) xFRy yFRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
M o (FR ) M o (F )
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
第二节 力偶及平面力偶系的概念
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
这样得到新的力偶(FR , FR’), 则
M Fd ( FP1 FP 2 )d FP1d FP 2d M1 M 2
(2)任意个力偶的情况
M M1 M 2 M n , 或 M M
M2
M1
M3
理论力学电子教程
M1
FO
M 2 3 N m
O
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
【分析与讨论】
1、是非题 （1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边 形自行封闭。（ ） ）
（2）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（
（3）两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也
相等。（ ）
理论力学电子教程
【解】 由式
Байду номын сангаасF3
180 mm
F4 则
M M1 M 2
M F3 0.18 F1 0.08
80 mm
F2
300 N m
F1
负号表明转向为顺时针。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
例3-2
长为4m的简支梁的两端A、B处作用有二个力偶矩， 各为M1＝16Nm,M2=4Nm。求A、B支座的约束反 力。
（1）用扳手拧螺母；
（2）开门，关门。 由上图知，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小， 而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd来 度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正 负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F )表示。
o
d
F
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
2.平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各 力偶矩的代数和等于零，即
M 0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
例3-1 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1=F2=1.5kN ， F3=F4=1 kN,求作用在板上的合力偶矩。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
B
FAB FAB
A
【解】 作AB、AO及BO1杆的受 FAB 力图，AB杆为二力构件 分析OA杆，有
B
M
M2 O1
300
O
(F ) 0
FAB AO sin 300 M1 0
FAB 5 N
A
FAB
分析BO1杆，有
FO
1
M
O
(F ) 0, M 2 FAB O1B 0
M ( F , F ') Fd 或 M Fd
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
4. 力偶的三要素 （1）力偶矩的大小；
（2）力偶的方向；
（3）力偶的作用面。
二、平面力偶等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的 大 小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。 例如：方向盘
一、力偶及其性质
1. 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做 力偶。并记作（F，F ’）。
F
例：
d
力偶臂
F'
力偶作用面
（1）水龙头； （2）方向盘； （3）丝锥。
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
第三章 力矩与平面力偶理论