量纲分析和相似理论

量纲分析和相似理论

一、学习目的：

本章研究与流体力学实验有关的基本理论和方法，在此基础下，才能科学地策划各类实验，整理实验结果，并用这些结果去处理和解决实际工程问题。

二、学习内容：

2.1 量纲和单位

物理现象中的各种变量称为物理量

物理量具有两个属性，一是性质属性，二是数量属性。

物理量的性质属性称为量纲

在工程流体力学中，基本量纲有质量M，长度L，时间T，温度Θ。基本量纲具有两个特征。一个特征是，任何一个基本量纲都无法用其他的基本量纲的幂次式表达出来；另一个特征是，任何物理量都可以用基本量纲的幂次式表达出来。特别的是：如果一个物理量的量纲式的幂指数均为零，这样的物理量的量纲就是1，称作量纲一的物理量。如雷诺数Re是一个量纲一的特征数，其量纲式为

dimRe=M0L0T0=1

为了表示物理量的大小，在同一种物理量中，或者说在一种量纲中选取一个特定的量作为参考量，这个参考量就称为单位。中国的法定单位是SI国际单位，质量单位是kg(千克），长度单位是m（米），时间单位是s（秒）。SI单位具有一致性。也就是，（一）在物理方程中进行加减运算的两个物理量必须具有相同的单位；（二）如果物理量的计算中使用SI单位，则所得结果也必然为SI单位。

2.2 量纲分析法

量纲分析法广泛应用于分析研究复杂物理现象中各种物理量的相互影响的一般规律。量纲分析法最重要的定理是布金汉(E.Buckingham)定理，又称π定理。它通过对某一个物理现象中各物理量的量纲的幂次分析，将若干物理量组合成为量纲一的特征数，揭示各个物理量的量纲关系，减少物理方程的变量数目，为理论分析和实际研究提供理论依据。

π定理

设在某个物理现象中，有n个物理量q1,q2,…,q n存在函数关系，即

f（q1,q2,…,q n)=0

如果这n个物理量所包含的基本量纲为m个，则存在n-m个独立的量纲一特征数π1，π2，…πn-m，而且，这些量纲一的特征数也存在某种函数关系

F（π1,π2，…πn-m)=0

应用π定理处理和研究复杂物理现象的方法和步骤。

（1）列出n个相关物理量，写出它们的量纲表达式。

（2）确定这些物理量所包含的基本量纲的数目m。

（3）在这些n个物理量中，选择与基本量纲数相同的m个基本物理量。基本物理量的条件是：基本物理量总共包含的基本量纲数目必须是m个，而且这m个基本物理量的量纲幂指数所构成的行列式必须不等于零。

（4）用这m个基本物理量与其余的任一个相关物理量组成量纲一的特征数。这些特征数共有n-m个。

（5）写出包含有n-m个量纲一特征数的一般方程。

2.3 流动相似原理

2.3.1 流动相似的三个条件

流动相似原理研究模型流场和实物流场的流动相似问题。流动相似要求两个流场的同类型参数成比例，具体地说，就是要求模型流场和实物流场满足几何相似、运动相似、动力相似等三个条件。

几何相似要求模型和实物的对应的几何尺寸成比例，比例系数为λl ,即

l l l λ=⋯==2121L L

运动相似要求模型流场和实物流场的对应点的速度方向相同，大小成比例，比例系数为λv ,即

v v v u u λ=⋯==2121

动力相似要求模型流场和实物流场的对应点的同名力方向相同，大小成比例，比例系数为λf ,即

f G G F F λ=⋯==2121

流体的运动规律取决于流体所受的作用力以及流动的边界条件。几何相似保证了边界条件相似。如果再加上动力相似，则流动规律相同，实现了流动相似，因此运动相似的条件就能得到满足。

2.3.2 动力相似

作用在流体上的外力主要有压力、重力、粘性力，这三种力都力图改变原有的流动状态，因此被称为主动力。为了使动力相似，则必须比较各种外力对流动的影响程度，为了比较各种力的量级大小，通常用流场的特征参数来表示这些力。因此可得到如下各力的特征式：

2.3.3 常见的动力相似准则

（1）雷诺准则

雷诺准则要求模型流场和实物流场的惯性力、粘性力成正比例，即

μρμρV L V L L V 22==粘性力惯性力 定义雷诺数Re 为

μρVL Re =

雷诺数表征惯性力与粘性力的比值，雷诺准则要求模型流场和实物流场的雷诺数相等，即Re 1=Re 2。

（2）弗劳德准则

弗劳德准则要求模型流场和实物流场的惯性力、重力成正比例，即

gL V L 2

322g L V ==ρρ重力惯性力 定义弗劳德数Fr 为

gL V Fr =

弗劳德数表征惯性力与重力的比值，弗劳德准则要求模型流场和实物流场的弗劳德数相等，即Fr 1=Fr 2。

（3）欧拉准则

欧拉准则要求模型流场和实物流场的惯性力与压力成正比例，即

p V pL V 2

222L ρρ==压力惯性力 定义欧拉数Eu 为

2V p Eu ρ=

欧拉数也称压强系数，它表征压力与惯性力的比值，欧拉准则要求两流场的欧拉数相等，即Eu 1=Eu 2。

（4）斯特劳哈尔准则

斯特劳哈尔准则要求模型流场和实物流场的局部加速度和对流加速度对应的惯性力成比例，即

Vt L V

L t V L ==223ρρ对流惯性力局部惯性力 这两种惯性力的比值是一个量纲一的特征数，称为斯特劳哈尔数，记作Sr ，有

Vt L Sr =

显然，斯特劳哈尔准则要求模型流场和实物流场的斯特劳哈尔数相等，即Sr 1=Sr 2。

（5）马赫准则

马赫准则要求两种流场的对流惯性力与由于压缩性引起的弹性力成正比例。

22

2222c V c V L L ==ρρ对流惯性力压缩弹性力 定义为马赫数Ma ，即

V c Ma =

它表征弹性力与惯性力的比值，马赫准则要求两个流场的马赫数相等，即Ma 1=Ma 2。

2.3.4 相似准则的选择

由于在一个模型试验中很难做到使所有的特征数相等，因此工程上常采用近似的模型试验方法，只考虑对流动过程起主要作用的相似性准则。

2.4 流动测量技术

本节主要介绍流体流动中压强、速度和流量的测量方法，与相应实验仪器如测压管、U 型管、