数学中蕴涵的美学思想优秀课件

A
a 11 a 21
a 12 a 1n a 22 a 2n
a m1
a
m2
a mn
x 1
X
x2
x
n
b 1
B
b2
b
m
表示为
AX = B
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在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
x(2111)37. 327
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
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格林公式
cPdxQdyx ydxdy
DP Q
斯托克斯公式
sin sin sin
cP dxQdyRdzSx
y
PQ
dS z R
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空间解析几何中
球 (x a )2 (y b )2 (z c )2 1
椭球
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
椭圆抛物面
z x2 y2 a2 b2
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。
克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是 人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘 画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得 智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一 切。”
高 斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃 是吸引我研究的主要动力。”
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二、数学美的涵义
数学美是数学科学的本质力量的 感性和理性的显现，是一种人的本质力 量通过宜人的数学思维结构的呈现。它 是自然美的客观反映，是科学美的核心。
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有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊
字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
elim (11)n2.7182851980 24854 n n
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。
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2. 形式简单
艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在 渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻， 黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。
数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一 个公式
审美度= 秩序 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比， 与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的 表现形式越简单就越美。
性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。
比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法
设
ln im n(aann1
1)r
则 当 r>1时，级数 a n
n 1
百度文库
当 r<1时，级数 a n n 1
收敛； 发散。
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事实上，由达朗贝尔判别法：设级数 a n 满足 n 1
1,
lim
n
a n1 an
412x2－x +136
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上 画斜线表示“负数”。
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16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
这个演变过程就是对简单美的追求过程。
又如，哈密顿微分算子符号
i j k x y z
数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度
ugra u duiujuk x y z
向量场函数
v = v1i + v2j + v3k, (vi是x,y,z的函数)
▽v
=
(
i
x
j
y
k z
)(v1i
+
v2j
+
v3k)
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i jk (v1v2 v3)
l
1,
1,
级数收敛 级数发散 不确定
ln imn(aann1
1)ln imn
1 an1 an
1r
l1r 1 an 收敛； n1
古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有 很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这就 是美。”
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庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是 否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么 使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部 分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”
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3. 语言简单
数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。 如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不 可数”；
“角、边、角”；“边、角、边” 等 。 数列极限 l n i a n m a 0 , N N , n N a n a
函数极限 lf i ( x ) m A 0 , X 0 , x :x X f ( x ) A x
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第二节 数学美的特征
一、 简单美
简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单。
1. 符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号 常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的 符号去表现复杂的数学内容。
例如，微积分学中的常用符号：
, , , lim d d,x y ,, ,, 返回
x y z x y z v1 v 2 v3
拉普拉斯方程:
2u x2
y2u2 z2u2 0
若用哈密顿算子表示，也十分漂亮、利落:
▽u·▽u = 0
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在线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a2 2x 2 a 2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
数学中蕴涵的美学 思想
第三节 让学生感受数学美
一、美观---外在的美 二、美好---内在的美 三、美妙---快乐的美 四、完美--- 至善至美
第四节 数学美在中国的源头
一、太极八卦---中国象数学的美 二、河图洛书—数学形式美的雏形
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美
古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯 (Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。”
导数概念 f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
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4. 方法简单
数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式， 并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。
例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法) 与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们都
有一个共同的不足 l 1 ，就是不能判别当极限值时级数的敛散