中考数学平行四边形-经典压轴题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以

4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=15

2

或12.

【解析】

【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.

【详解】

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=1

2AC=

1

2

×60=30cm，

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=1

2

CD=2t，∴DF=AE；

（2）能，

∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴当t=10时，AEFD是菱形；

（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=15

2

，

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t2(604t)

=-，解得：t=12，

综上所述，当t=15

2

或12时，△DEF为直角三角形.

2．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；

（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；

（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．

【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=1

2

BC，GH∥BC，GH=

1

2

BC，推出

EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；

（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出

S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出

S△PGH=1

2

S△AEF=S△APF，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝1

2BC，GH∥BC，GH＝

1

2

BC，

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四边形EGHF是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴EF⊥AP，

∵EG∥AP，

∴EF⊥EG，

∴平行四边形EGHF是矩形；

（2）∵PE是△APB的中线，

∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，

∴S△APE＝S△BPE，

∵AP是△AEF的中线，

∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，

∴S△APE＝S△APF，

∴S△APF＝S△BPE，

∵PF是△APC的中线，

∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，

∴S△APF＝S△CPF，

∴S△CPF＝S△BPE，

∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，

∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，

∵GH＝EF，

∴S△PGH＝1

2

S△AEF＝S△APF，

综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．

3．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作

PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．

证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）

（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．

（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-4

3

x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点

A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．

【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】

【变式探究】

连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；

【结论运用】