《数值分析》第五章答案
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习题5
1.导出如下3个求积公式,并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式:⎰-≈b
a a
b a f dx x f ))(()(
(2) 右矩形公式:))(()(a b b f dx x f b
a
-≈⎰
(3) 中矩形公式:⎰-+≈b
a
a b b
a f dx x f ))(2
(
)( 解:(1) )()(a f x f ≈, )()()()(a b a f dx a f dx x f b
a
b
a -=≈⎰⎰
⎰⎰⎰⎰-=-=--b
a b
a b
a b
a dx a f x f dx a f dx x f a
b a f dx x f ))()(()()())(()(
),()(2
1
)()()()(2
ηηξf a b dx a x f dx a x f b
a b a
'-=-'=-'=⎰⎰
),(,b a ∈ηξ
(2) )()(b f x f ≈,⎰⎰-=≈b a
b
a
a b a f dx b f dx x f ))(()()(
⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a b
a dx
b f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()(
)()(2
1)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f b
a b a
'--=-'=-'=⎰⎰
,),(,b a ∈ηξ
(3) 法1 )2
(
)(b
a f x f +≈ , ⎰⎰-+=+≈b
a b
a
a b b a f dx b a f dx x f ))(2
()2()(
⎰-+-b
a
a b b a f dx x f ))(2(
)(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2
()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=)2()( dx b a x f b a x b
a f
b a ⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξ dx b a x f dx b a x b a f b
a b a 2)2
()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η
3))((24
1
a b f -''=
η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2(
b a f b a H +=+,)2
()2(b
a f
b a H +'=+',则有 )2
)(2()2(
)(b
a x
b a f b a f x H +-+'++= 2
)2
)((!21)()(b a x f x H x f +-''=
-ξ, ),(b a ∈ξ
))(2
())(2()(a b b
a f a
b b a H dx x H b
a -+=-+=⎰ 于是
dx x H dx x f a b b a f dx x f b a b
a b
a
⎰⎰⎰-=-+-)()()()2
(
)( []dx b a x f dx x H x f b
a
b
a
2
)2
(!2)()()(+-''=-=⎰⎰
ξ 3
2))((24
1)2(2)(a b f dx b a x f b a -''=+-''=⎰ηη 2.考察下列求积公式具有几次代数精度:
(1)
⎰'+≈1
)1(2
1
)0()(f f dx x f ;
(2)
)31
()31()(1
1f f dx x f +-≈⎰-。
解: (1)当1)(=x f 时,左=1,右=1+0=1,左=右; 当x x f =)(时,左21
=
,右=
2
1210=+,左=右; 当2
)(x x f =时,左=3
1,右=1,左≠右,代数精度为1。
(2)当1)(=x f 时,左=2,右=2,左=右;
当x x f =)(时,左=0,右=03
1)31(=+-
,左=右; 当2
)(x x f =时,左32=
,右3
2
3131=+=,左=右; 当3
)(x x f =时,左0=,右0)3
1(
)31(33=+-
=,左=右;
当4
)(x x f =时,左52
=
,右9
2)31()31(22=+=,左≠右。代数精度为3。
3.确定下列公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出其代数精度的次数。
(1)
⎰-++-≈1
1)](3)(2)1([31
)(βαf f f dx x f ;
(2)
)]()([)()]()([2
)(2b f a f a b a b f a f a
b dx x f b
b
'-'-++-≈
⎰-; (3)
)1()0()1()(211
10f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。
解:)1( 当1)(=x f 时,左2=,右2)321(3
1
=++=
,左=右; 当x x f =)(时,左0=,右)321(3
1
βα++-=
, 当2
)(x x f =时,左32=
,右)321(3
12
2βα++=; 要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足
0)321(3
1
=++-βα 3
2)321(3122=++βα 132=+βα
13222=+βα