《数值分析》第五章答案

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习题5

1.导出如下3个求积公式,并给出截断误差的表达式。

(1) 左矩形公式:⎰-≈b

a a

b a f dx x f ))(()(

(2) 右矩形公式:))(()(a b b f dx x f b

a

-≈⎰

(3) 中矩形公式:⎰-+≈b

a

a b b

a f dx x f ))(2

(

)( 解:(1) )()(a f x f ≈, )()()()(a b a f dx a f dx x f b

a

b

a -=≈⎰⎰

⎰⎰⎰⎰-=-=--b

a b

a b

a b

a dx a f x f dx a f dx x f a

b a f dx x f ))()(()()())(()(

),()(2

1

)()()()(2

ηηξf a b dx a x f dx a x f b

a b a

'-=-'=-'=⎰⎰

),(,b a ∈ηξ

(2) )()(b f x f ≈,⎰⎰-=≈b a

b

a

a b a f dx b f dx x f ))(()()(

⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a b

a dx

b f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()(

)()(2

1)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f b

a b a

'--=-'=-'=⎰⎰

,),(,b a ∈ηξ

(3) 法1 )2

(

)(b

a f x f +≈ , ⎰⎰-+=+≈b

a b

a

a b b a f dx b a f dx x f ))(2

()2()(

⎰-+-b

a

a b b a f dx x f ))(2(

)(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2

()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣

+-=)2()( dx b a x f b a x b

a f

b a ⎰⎥⎦

⎢⎣

+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξ dx b a x f dx b a x b a f b

a b a 2)2

()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η

3))((24

1

a b f -''=

η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2(

b a f b a H +=+,)2

()2(b

a f

b a H +'=+',则有 )2

)(2()2(

)(b

a x

b a f b a f x H +-+'++= 2

)2

)((!21)()(b a x f x H x f +-''=

-ξ, ),(b a ∈ξ

))(2

())(2()(a b b

a f a

b b a H dx x H b

a -+=-+=⎰ 于是

dx x H dx x f a b b a f dx x f b a b

a b

a

⎰⎰⎰-=-+-)()()()2

(

)( []dx b a x f dx x H x f b

a

b

a

2

)2

(!2)()()(+-''=-=⎰⎰

ξ 3

2))((24

1)2(2)(a b f dx b a x f b a -''=+-''=⎰ηη 2.考察下列求积公式具有几次代数精度:

(1)

⎰'+≈1

)1(2

1

)0()(f f dx x f ;

(2)

)31

()31()(1

1f f dx x f +-≈⎰-。

解: (1)当1)(=x f 时,左=1,右=1+0=1,左=右; 当x x f =)(时,左21

=

,右=

2

1210=+,左=右; 当2

)(x x f =时,左=3

1,右=1,左≠右,代数精度为1。

(2)当1)(=x f 时,左=2,右=2,左=右;

当x x f =)(时,左=0,右=03

1)31(=+-

,左=右; 当2

)(x x f =时,左32=

,右3

2

3131=+=,左=右; 当3

)(x x f =时,左0=,右0)3

1(

)31(33=+-

=,左=右;

当4

)(x x f =时,左52

=

,右9

2)31()31(22=+=,左≠右。代数精度为3。

3.确定下列公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出其代数精度的次数。

(1)

⎰-++-≈1

1)](3)(2)1([31

)(βαf f f dx x f ;

(2)

)]()([)()]()([2

)(2b f a f a b a b f a f a

b dx x f b

b

'-'-++-≈

⎰-; (3)

)1()0()1()(211

10f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。

解:)1( 当1)(=x f 时,左2=,右2)321(3

1

=++=

,左=右; 当x x f =)(时,左0=,右)321(3

1

βα++-=

, 当2

)(x x f =时,左32=

,右)321(3

12

2βα++=; 要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足

0)321(3

1

=++-βα 3

2)321(3122=++βα 132=+βα

13222=+βα

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