沪教版(上海)高中数学高一上册第三章3.4 函数的基本性质教案

3.4 函数的基本性质

一、教学目标：

1、理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些函数的奇偶性；

2、在奇偶性概念形成的过程中，培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、体会数学研究的严谨性，感受函数图像的对称美。

二、教学重难点

教学重点：函数奇偶性的概念的形成及奇偶性的判断。

教学难点：函数奇偶性概念的探究与理解

三、教学过程

1. 问题引入

在初中时候我们学过轴对称和中心对称图形，生活中具有这样对称性的图形有很多，举例看看？

2.概念形成

观察函数2y x =的图像。

引导学生观察：

1.从图形上看，函数图象是关于y 轴轴对称

2. 从函数值的角度看，引导学生发现f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)的关系？ 函数值都是相等的

一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，他们的函数值的关系？ 函数值相等。 即 f(-x)=f(x)

问题：通过上面这个例子，同学们思考，对于图像关于y 轴对称的函数，如何从代数的角度来刻画这种函数的对称性？

定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=

偶函数的定义：

定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=成立，则函数()y f x =就叫做偶函数；

问定义中的关键词：任意x ，都有()()f x f x -=，是函数整体的性质

同学们思考偶函数的图像的特征：

例1：判断下列函数是否为偶函数

422(1)()||,(2)(),(3)(),[2,3]f x x f x x x f x x x ==+=∈-

1.掌握判断偶函数的定义法

2.函数是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.

3. 类比探究

仿照讨论偶函数的过程，回思下列问题，

函数 ()1f x x

=

的图像特征？ 函数值f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？

怎么用代数语言描述这个函数图象的特征？

定义域内任意x,都有()()f x f x -=-，这样的函数叫奇函数

奇函数的定义

定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个值x ，都有()()f x f x -=-成立，则函数()y f x =就叫做奇函数；

奇函数图像的特征：关于原点对称的中心对称函数

例2：判断下列函数是否为奇函数

33(1)(),

(2)(),(3)(),[2,2),(4)()1f x x f x x f x x x f x x ===∈-=+

析:(1)判断奇函数的定义法

（2）否定函数是奇函数的方法

4. 总结深化

（1）凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.

（2）函数()f x 不具有奇偶性的，举反例，具有奇偶性的，用定义证明。

（3）函数奇偶性的结论：①奇函数， ②偶函数，

③非奇非偶函数， ④既奇又偶函数。

（4）判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：

对于()f x 定义域内任意一个x ，

①若有()()0f x f x --=成立，则()f x 为偶函数；

②若有()()0f x f x +-=成立，则()f x 为奇函数.

（5）函数的图像关于原点对称⇔函数是奇函数；

函数的图像关于y 轴对称⇔函数是偶函数.

例3：判断下列函数是否具有奇偶性：

⑴ ()32f x x x =+ ； ⑵ ()2423f x x x =- ；

⑶ ()3f x x x =+ ⑷0)(=x f

⑸]1,1(,)(2-∈=x x x f ⑹⎪⎩

⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0

)0(32)(22x x x x x x x x f ⑺ )2

1121()(+-=x x x f 四、课堂小结

偶函数、奇函数的定义及判定

数形结合、从特殊到一般的思想

教学反思

奇偶性是学生进入高中学习的第一个函数性质，学生第一次接触到用严格的代数形式来定义函数图形的对称性，也就是奇偶性，这会给学生的理解带来一定的困难，所以在定义形成阶段做了足够的引导，得到了定义，通过一些例子加强学生的理解。