第3章 平面光波的反射和折射

第3章 平面光波的反射和折射
3.1 平面光波在两种电介质分界面上的反 射和折射 3.2 全反射与倏逝波 3.3 古斯-汉森位移 3.4 光波在分层介质上的反射和折射 3.5 光波在金属表面上的反射和透射
3.4 光波在分层介质上的反射和折射 光学系统中，为了消除各个光学器件表面对入射光的反射 干扰，或者增强某个器件对给定波长范围入射光的反射率或透 射率，往往在器件表面蒸镀一层或多层介质薄膜，通过光波在 通过光波在 这些介质膜层中透射和反射时产生的相长或相消干涉， 这些介质膜层中透射和反射时产生的相长或相消干涉，以实现 对给定波长范围的光波的选择性增透或增反。如成像透镜表面 对给定波长范围的光波的选择性增透或增反 的增透膜、激光谐振腔和全息照相光路中的窄带反射镜及光谱 仪中使用的干涉滤色片等，就是根据这一原理制成的。本节主 要讨论这种介质膜层对光波电磁场的反射和透射规律。 3.4.1 单层膜的特征矩阵 首先考虑单色平面光波在单层介质薄膜上的反射和透射情 况。参见图所示，设有一厚度为h1、折射率为n1的透明介质 薄膜置于某种折射率为nG的透明介质基片上，一单色平面光 波以角度θ 1i 自折射率为n0的透明介质入射到该薄膜表面上。
3.5.1 良导体条件 设导体内有自由电荷分布，密度为 ρ ，该自由电荷将激发出 电场E，由麦克斯韦方程组第3式及物质方程第1式得：
由于场对电荷的作用，导体内将形成电流分布，其大小由欧 姆定律决定，即：
根据电荷守恒定律，电流密度J 与电荷密度 ρ 应满足关系： 解此方程可得导体内自 由电荷密度随时间的变 化关系：
v
v
v
对不良导体，亦即传导电流远小于位移电流时， 上两式可分别简化为：
，
对于良导体，亦即传导电流远大于位移电流时，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
穿透深度(趋肤效应) (2) 穿透深度(趋肤效应) 垂直入射情况下，在良导体内 z 0 = α 处，入射光波电场的 振幅将衰减到入射点的 e −1 倍，这个距离称作穿透距离或趋肤 穿透距离或趋肤 深度。由上式得： 深度
可得：
显然，此两式 可统一在一个 矩阵方程中。
由此解得：
其中矩阵：
称为介质膜层n1的特征矩阵 特征矩阵，其重要意义在于它联系了膜层上 特征矩阵 下两个界面处的场(E1，H1)和(E2，H2)，并且包含了该介质膜 层的所有特征参数—— δ 1 和η1 。
上面讨论中，曾事先假定入射光波电矢量只有s分量。可以证 明，当入射光波电矢量只有p分量，且其瞬时方向与图中s分 量的磁矢量方向相同时，相应的磁矢量瞬时方向正好与图中s 分量电矢量方向相反。因此，只要将上面导出的矩阵方程中 的电矢量与磁矢量交换位置，或将式中特征矩阵的对角元素 交换位置，并以参数
v
v
v
v
仅仅由上面两式尚不能解出矢量α 和 β ，还需要利用边值关 系。设光波由某种介质入射到金属表面，入射面和金属表面分 别为y=0和z=0平面，且入射光波波矢量和透射光波波矢量分别 为 ki 和 k，则由边值关系可得：
v
v
αx = 0 由于kix为实数，故kx也为实数，从而 β x = kx
表明，矢量α 仅只有z分量，无x 分量，亦即其方向始终垂直 v 于金属表面，但只要 k x ≠ 0 ， v 矢量 β 的x分量 β x 就不等于0， v α 不同向，也不会正交。由此可见， β 因而，一般情况下， 与 金属内的光波与全反射时电介质2中的倏逝波 倏逝波不同，其等幅面 倏逝波 与等相面既不平行，也不垂直。只有当入射光波垂直于金属表 v β x = k x ，故 =0 β = β z α =从而 β kix = 面，即 v 时， 0 ， ， αz α 与 同向，都沿界面法线方向-z方向。此时金属内的光波电 场为： 可见，矢量 α ，β 的模值分别就是光波的衰减常数和相位 常数。可解得：
为方便讨论，暂且将薄膜的上表面和下表面分别用界面 1和界面2标记。考虑到一般情况下偏振方向垂直于入射面的 s分量和平行于入射面的p分量的反射特性不同，需分别进行 讨论，故这里假定所讨论的入射光波只有s分量，其振动方 向与入射面正交(图中规定该电场强度矢量的瞬时正方向自 纸平面向内)。
根据反射和折射定律，入射光波将分别在界面1和界面2上发生 反射和折射(透射)。分别用下标i、r 和 t 表示在各个界面上光波场 的入射、反射和透射分量，这样对界面1和界面2两侧的场分布情 况可作如下分析： 在介质n0中，有入射光场E1i、H1i和反射光场E1r、H1r 。注意这 里的反射光场并非只是由该界面产生的， 里的反射光场并非只是由该界面产生的，而是由整个系统产生的 总反射光场； 总反射光场；在介质n1的上界面处，有透射光场E1t、H1t，和来 自下界面的反射光场E2r’、H2r’；在介质n1的下界面处，有入射光 场E2i、H2i和反射光场E2r、H2r；在基片（介质nG ）中，有透射光 场E2t、H2t 。 根据电磁场的边值关系，并考虑到电场强度矢量的s分量与界 面平行，于是在界面1处可得：
ω << τ −1 = σ / ε
就可以认为导体内电荷密度 ρ (t ) = 0 。故良导体条件为： 对一般金属而言， τ ≈ 10 −17 s 只要ω << 10 17 Hz，该金属就可视为良导体。
3.5.2 金属内的透射波
v v 由上面的讨论知，在金属良导体内 ρ = 0, J = σE 。故麦克斯 韦方程组可表示为：
R = r ⋅r*
3.5 光波在金属表面上的反射和透射 金属的电导率一般很大，且导电性不仅与电导率有关，而 且与电磁波频率有关，频率越高，导电性越低 频率越高， 频率越高 导电性越低。对一般金属， 当频率远小于 17 Hz时可以认为是良导体。良导体体内无自由 10 电荷分布，在高频电场作用下，电荷仅积聚在导体的表面，形 成表面电流——趋肤效应，并由此产生焦耳热，使光波能量不 断损耗。因此，光波进入金属后将迅速衰减，而在其表面上产 生强烈反射。
因此，得：
导体内自由电荷密度随时间的变化关系为： 表明，由于场对电荷 的作用，导体内产生电流， 具体表现为体内自由电荷不 断涌向导体表面，从而使体 内电荷不断减少。
t=0时，即初始时刻导体内 的自由电荷密度
ρ 减小到初值ρ 0 的 e −1 倍所需的时间为：
显然，只要电磁波的周期T远大于此时间常数τ ，或频率
−1
可见，光波在导体内的穿透深度与光波频率及电导率的平方根 成反比。频率越高，电导率越大，则穿透深度越小，趋肤效应 越明显。 (3) 电矢量与 磁矢量的振幅比 根据电场强度与磁场强度的关系，可得到金属中光波的磁 场强度矢量为：
对于良导体，设光波垂直入射且界面法线方向单位矢量为 n ， 则有：
可见，在良导体内，光波的磁场相位比电场相位滞后 π / 4 ， 并且振幅比满足关系：
而在真空或绝缘介质中，此比值却等于1。因此，相比绝缘 体而言，在金属良导体内，磁场远比电场重要 在金属良导体内， 在金属良导体内 磁场远比电场重要，光波场的 能量主要是磁场能量。
代替参数1 / η1 ，则对于p分量，同样可将光场在两界面处所 满足的方程表示为与上面导出的矩阵方程相同的形式，即：
式中的特征矩阵为：
η1' 与 η1 不同，即： 与前面给出 Ml 的形式完全相同，只是参数
3.4.2
多层膜的特征矩阵
以上只给出了单层介质薄膜的情况，然而实际中遇到的往往 都是多层介质膜。假设某一膜系共有N层，折射率分别为n1， n2，…，nN，各自的特征矩阵为分别M1，M2，…，MN，则由 上述讨论可知
对界面1和界面2处的场有：
对界面2和界面3处的场有：
类似地，对界面N和界面N+1处的场有： 于是，膜系两边即界面1与界面N+1处的场有如下关系：
式中矩阵M 就是整个膜系的特征矩阵 膜系的特征矩阵，等于膜系中各介质膜 膜系的特征矩阵 层特征矩阵的乘积，即
3.4.3 膜系反射率 假设某一膜系共有N层介质膜，其膜系特征矩阵为：
整理后便得到金属良导体内的波动方程：
对一定频率的电磁波，此方程的解可表示为： 带入
得： 取复常数 ：
这是一个亥姆霍兹方程，其平面波解可表示为：
由于波数 k 为一个复数，故这里的波矢 k 应是一个复矢量 复矢量， 复矢量 设k的形式为： 则电磁波在金属中的电场强度矢量可表示为：
显然，金属内的电磁波是一个振幅按指数衰减的非均匀平面波， 衰减特性和相位特性分别由矢量 α 和β 确定，下面对其作3点讨 论： (1) 矢量 α 与 β 的关系
在界面2处可得：
当不考虑介质自身的吸收时，应有： 此式说明E2i与Elt，E2r’与E2r振幅大小相等，但由于所处空 间位置不同而相对有一定相位延迟。由几何关系可以导出此 相位差：
由图可以看出， 1 实际上反映了光波通过薄膜一次引起的相位 δ 变化，其大小只取决于薄膜厚度h1、折射率n1及入射角 θ 2i 。 取：
根据上面的讨论，膜系第一层与第N层外侧的场满足如下关系： 膜系界面1外侧总入射 光场和反射光场。 膜系界面N+1外侧基片 介质中透射光场。 参数视入射光波的偏振方向不同 而不同。
其中
将上述关系带入矩阵方程，得：
解此方程，可得膜系的反射系数和透射系数分别为：
可见，只要依次求出膜系中各层介质膜的特征矩阵， 并将其按自然顺序依次相乘，得到整个膜系的特征矩阵，再 将膜系的特征矩阵元素代入上述公式，即可求出该膜系的反 射系数r 或透射系数 t，进而由下式得到膜系的反射率R：