高等数学求导公式

1 6
n
(
n
+
1)
(2n
+
1)
。
-4-
∫ 定积分中值定理： b f ( = x)dx a
f (x )(b − a)x (a ≤ ≤ b) 。
定理：如果函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限的函数
Φ(
x)
x
= ∫a f
(t )dt
在[a,b]
上具有导数，并且它的导数是
= Φ′( x)
a < x < b 时 f ′′( x) > 0 ，则曲线是为凹的。
设曲线方程
y
=
f
( x) ，f
( x) 具有二阶导数，则函数
y
=
f
( x) 在( x,
y) 的曲率 K
为：K
=
(1+
y′′
)y′2 2/3
（工程中，若 y′ << 1时， K = y′′ ）。
基本积分公式：
∫ kd=x kx + C
x= 1 + λ x2 , y 1+ λ
y= 1 + λ y2 , z 1+ λ
z1 + λ z2 1+λ 。
数量积： a�b = a b cosθ ， a�b = axbx + ayby + azbz 。
c= osθ a= �b
ab
axbx + ayby + azbz
ax2
+
a
2 y
+
az2
bx2 + by2 + bz2 。
5.
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1 1+ x2
=
1−
x2
+
x4
− + (−1)n
x2n
+
(−1 < x < 1)
6.
ln (1+ x) =x − x2 + x3 − x4 +3 + (−1)n3 xn+1 +
234
n +1
(−1 < x ≤ 1)
驻点：导数为零的点
拐点：
f
x1
+ 2
x2
>
f
( x1 ) +
2
f
( x2 ) ，则称
a
a
*
= 1 dx x2 − a2
1 ln x − a + C 2a x + a
∫*
= dx arcsin x + C
a2 − x2
a
( ) ∫*
dx = ln x + x2 + a2 + C x2 + a2
∫*
dx = ln x + x2 − a2 + C x2 − a2
基本积分方法
1 换元法：（1）设 f (u) 具有原函数 F (u) ，而u = ϕ ( x) 可导，则有：
ξ ∈(a,b) ，使 f ′(ξ ) = 0 。
拉格朗日中值定理：若 f ( x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内可导，则存在一ξ ∈(a,b) ，使得
f (b) − f (a=) f ′(ξ )(b − a) 。
柯西中值定理：若 f ( x) 、 F ( x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F′( x) ≠ 0 则存在一
= 04. uv ′
u′v − v2
uv′
(v
≠
0)
。
III 复合函数的导数
( ) ( ) 09.
ax
′ = ax ln a ；10.
ex
′
=
ex
= 若 y
；
f= (u),u ϕ ( x) ，则
11. (loga
x )′
=
1 x ln a
；
12.
(ln
x )′
=
1 x
；
dy = dy du dx du dx
2 分布积分法： ∫ ud=v uv − ∫ vdu
3.有理函数积分：①
∫
(
x
A −a
)n
dx
②
∫
(
x
2
Mx + + Px
N +q
)n
dx
4.万能代换（三角函数的有理式的积分）：
设
tan
x 2
=
u
，则
dx
=
2 1+ u2
du
，
sin
x
=
2u 1+ u2
， cos
x
=
1− u2 1+ u2
。
12 + 22 + 32 +3 + n=2
x )dx
∫ ∫ 定积分的分步积分：
b
= udv
[uv]b −
b
vdu
a
aa
= In
π
∫= 2 sinn xdx 0
n −1�n − 33 3�1�π n n−2 4 2 2
,
( n为正偶数 )
n
− n
1�n n
− −
3 2
3
4 5
�2 3
,
( n为大于1的奇数 )
∫ 弧长计算公式：①=s b 1+ y′2 dx ; a
x→0
lim ln (1+ x) � x
x→0
lim n 1+ x −1 � 1 x
x→0
n
两个重要极限:
lim sin x = 1 x→0 x
lim
x→∞
1
+
1 x
x
= e
若 lim f ( x) = A > 0, lim g ( x) = B ，则 lim f ( x)g(x) = AB
罗尔定理： F′( x) ≠ 0 若 f ( x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (a) = f (b) ，则存在一
或 y′(x) = f ′(u)ϕ′(x)。
13. (arcsin x)′ =
1 1− x2 ；
14. (arccos x)′ = −
1 1− x2 ；
计算极限时常用的等价无穷小
lim sin x � x
x→0
lim tan x � x
x→0
lim (1− cos x) � 1 x2
x→0
2
1
( lim ex −1) � x
的距离： d = Ax1 + By1 + Cz1 + D 。
A2B2C 2
空间直线
两个平面的交线：
A1x A2 x
+ +
B1 B2
y y
+ +
C1z C2 z
+ +
D D
=0 。
=0
-6-
点向式方程：直线上的一点 M0 ( x0, y0, z0 ) ，直线的一个向量 S = {m, n, p} ，则直线方程为：
x0
)
+
f
′′( x0
2!
)
(
x
−
x0
)2
+ +
f
((n) x0
n!
)
(
x
−
x0
)n
+ Rn ( x)
其中= ： Rn ( x)
f (n+1)
(n +
(x ) 1)!
(
x
−
x0
)n+1
,x ∈( x0, x) 。
马克劳林公式：
f ( x=)
f
(0) +
f ′(0)
1!
x+
f ′′(0)
2!
x2
+ +
+
x5 5!
−
x7 7!
+3 + (−1)m−1 (3 2xm2m−−11)! +
(−∞ < x < ∞)
-2-
3.
cos x=
1−
x2 2!
+
x4 4!
−
x6 6!
++
( −1)n
x2n
(2n)!
+
(−∞ < x < ∞)
4.
1 = 1+ x + x2 + x3 +2+ xn +3 1− x
(−1 < x < 1)
。
A12 + B12 + B12 A22 + B22 + B22
两平面平行的条件： A=1 B=1 C1 ≠ D1 。
A2 B2 C2 D2
两平面垂直的条件： A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 。
点到平面的距离：平面： Ax + By + Cz + D =0 ，平面外一点： M ( x1, y1, z1 ) ，则点 M 到平面
i j k 向量积： a × b =ax ay az 。
bx by bz
平面
平面的一般方程：
Ax
+
By
+
Cz
+
D
=0 （向量
C n
=
{
A,
B,
C}
为平面法向量）。
平面点法式方程： A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 。
平面的截距式方程：
f
(n) (0)
n!
xn
+ Rn ( x)
其中： Rn ( x) =
f (n+1)
(n +
(x ) 1)!
x n +1
,
x
∈
(0,
x
)
。
1. ex
=1 +
x
+
x2 2!
+
x3 3!
+3 +
xn n!
+
(
eθ x
n +1)
!
x
n+1
(0 < θ < 1)
(−∞ < x < ∞)
2.
sin x =
x
−
x3 3!
01. (u ± v)′ =u′ ± v′ ；
05. ( tan x)′ = sec2 x ；
02. (Cu )′ = Cu′ ；
06. (cot x)′ = − csc2 x ；
03. (uv=)′ u′v + uv′ ；
07. (sec x)′ = sec x tan x ； 08. (csc x)′ = − csc x cot x ；
ξ ∈(a,b) ，使得
x − x0
<δ
，则 f (b) − f (a) F (b)− F (a)
=
f ′(ξ ) 。 F′(ξ )
罗必达法则：若（1） lim f (= x) x →a (或∞ )
lim F (= x)
x →a (或∞ )
0(或∞) ，（2） f ′( x) 及 F′( x) 在 0 < x − x0 < δ
高等数学求导公式
( ) 01. (C )′ = 0 ；02. xµ ′ = µ xµ−1 ；
15. (arctan
x )′
=
1 1+ x2
；
03. (sin x)′ = cos x ； 04. (cos x)′ = − sin x ；
16. (arc cot x)′
=
−1 1+ x2
。
II.和、差、积、商的导数
（或 x > X ）处存在，且 F′( x) ≠ 0 ，（3） lim
f ′( x) 存在（或 ∞ ），则 lim
f (x)
= lim
f ′(x) 。
x→a(或∞) F ′(x)
x→a(或∞) F (x) x→a(或∞) F ′(x)
泰勒公式：
f (= x)
f
( x0 ) +
f
′( x0
1!
)
(
x
−
tan
x
+C
∫
1 sin 2
dx x
= ∫ csc2
xdx
= − cot
x+C
-3-
∫ sec x tan= xdx sec x + C
∫ csc x cot x = − csc x + C
∫ exd=x ex + C
∫ ax= dx ax + C ln a
∫ shx= dx chx + C
∫ chx= dx shx + C
x = ϕ (t )
②
y
=
φ
(t
)
(α ≤ t ≤= β ) ， s
β
∫α
ϕ′2 (t ) + φ′2 (t )dt ;
x = r (θ ) cosθ
③
y
=
r
(θ
)
sin
θ
(α ≤ θ = ≤ β ) ， s
β
∫α
r2 (θ ) + r′2 (θ )dθ 。
向量代数
-5-
定比分= 点公式： x
x= − x0 m
y= − y0 n
=x
z
− z0 p
，参数方程为：
=y
=z
x0 + mt y0 + nt z0 + pt
两直线的夹角：L1
:
x= − x01 m1
y= − y01 n1
z
− z01 p1
，L2
:
x= − x02 m2
y= − y02 n2
z − z02 ，则两直线的夹角余
p2
弦为： cosϕ =
d dx
∫ax= f (t )dt
f (x)
(a ≤ x ≤ b)
定积分换元公式：= ϕ (a ) a= , ϕ (b ) b ，
b
∫a
f
( x)dx
=
b
∫a
f
ϕ (t )ϕ′(t )dt
。
π
π
∫2 0
f
(sin
x )dx
=
∫2 0
f
(cos
x )dx
π
∫0
xf
(sin
x )dx
=
π 2
π
∫0
f
(sin
* ∫ tan dx = − ln cos x + C
* ∫ cot xdx = − ln sin x + C
* ∫ sec xdx= ln sec x + tan x + C * ∫ csc xdx= ln csc x − cot x + C
∫ ∫ *
x= 2 +1 a2 dx
1 arctan x + C
∫ x= µ dx xµ+1 + C
µ +1
∫
1= dx x
ln x + C
∫ 1= +1x2 dx arctan x + C
∫
1= dx 1− x2
arcsin x + C
∫ cos = xdx sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C ；
∫
1 cos2
= dx x
∫ sec2 = xdx
x a
+
y b
+
z c
=1 （ a,b,c 为平面在三个坐标轴上的截距）。
两个平面的夹角：两个平面方程为： π1 平面： A1x + B1y + C1z + D =0 ，
π2 平面： A2x + B2 y + C2z + D =0 ，则两平面的夹角ϕ 的余弦为：
cosϕ =
A1 A2 + B1B2 + C1C2
∫ f ϕ ( x)ϕ= ′( x) dx ∫= f (u)du F ϕ ( x) + C ；
（2）设 x = ϕ (t ) 在区间[α, β ]上单调可导，且ϕ′(t ) ≠ 0 ，又设 f ϕ ( x)ϕ′( x) 具有原函数 F (t ) ，
则有：= ∫ f ( x)dx ∫ f ϕ (t= )ϕ′(t ) dt F ϕ −1 (t ) + C 。
m1m2 + n1n2 + p1 p2
。
m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22
两直线平行： m=1 n=1 p1 ，
m2 n2 p2
两直线垂直： m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ，
f
( x) 在[a,b] 上是凸的，
f
x1
+ 2
x2
<
f
( x1 ) +
2
f
( x2 ) ，则称
f
( x) 在[a,b] 上是凹的，
若曲线在 x0 两旁改变凹凸性，则称 ( x0, f ( x0 )) 为曲线的拐点。
凹凸性判断（充分条件）：设 f ′′( x) 存在，若 a < x < b 时 f ′′( x) < 0 ，则曲线是为凸的，若