小波去噪文献综述

图像去噪处理
1.1 小波去噪
在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。

这个问题可以表述为：
()()s opt f f -=ββmin arg
()()代表最优解opt f f opt opt β=
为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+=
{}
(){}
J j J
j span W f f I 212,ϕψ===，为实际图像
{}
的函数空间影射为W I T →=ββ
由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。

从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。

由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。

图1-1小波去噪的等效框图
1.1.1小波变换理论基础 1.连续小波变换
设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足允许条件(完全重构条件)：
⎰∞<⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-R
dw w w C 2
^
ψψ (1-1)
时，我们称()w ψ为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。

它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。

其中，当0=w 时，有()w ψ=0，即()0
=⎰∞
∞-dt t ψ同时有()0=∞ψ。

因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。

事实上，任何均值为零(即()0=⎰∞
∞-dt t ψ )且在频率增加时以足够快的速
度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。

将母函数()t ψ经过伸缩和平移后得到：
()0;,,1,≠∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
a R
b a a b t a
t b a 其中ψψ (1-2) 称其为一个小波序列。

其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

通常情况下，基本小波()t ψ以原点为中心，因此()t b a ,ψ是基本小波()t ψ以b t =为中心进行伸缩得到。

基本小波()t ψ被伸缩为()a t ψ(1>a 时变宽，而1<a 时变窄)可构成一组基函数。

在大尺度a 上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a 则搜索细节特征。

对于任意的函数()()R L t f 2∈的连续小波变换为：
()()dt a b t t f a
f b a W R
b a f ⎪⎭
⎫
⎝⎛-≥≤⎰
ψψ2
,,, (1-3)
当此小波为正交小波时，其重构公式为：
()()dadb a b t b a W a C t f f
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
⎰⎰∞+∞-∞
+∞-ψψ,11
2 (1-4) 在小波变换过程中必须保持能量成比例，即
()()dx x f C db b a W a da
R
R
f R 222,⎰⎰⎰=ψ (1-5) 由于基小波()t ψ生成的小波()t b a ,ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以()t ψ还应该满足一般函数的约束条件：
()∞<⎰
+∞
∞
-dt t ψ (1-6) 故()w ^
ψ是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(3-2)，()w ^
ψ在
原点必须等于零，即 ()()00^
==⎰+∞∞
-dt t ψψ (1-7)
此即说明()t ψ具有波动性。

为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求()t ψ的傅立叶变换满足如下稳定性条件：
()B w A j
≤≤∑∞
-∞+-2
^2ψ (1-8)
式中，∞<≤<B A 0。

连续小波变换具有以下重要性质：
（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。

（2）平移不变性：若()t f 的小波变换为()b a W f ,，则()τ-t f 的小波变换为
()τ-b a W f ,。

（3）伸缩共变性：若()t f 的小波变化为()b a W f ,，则()ct f 的小波变换为
),(1
cb ca W c
f ，0>c
（4）自相似性：对应于不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似性的。

（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔redundancy 〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：
①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。

也就是说，信号()t f 的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。

②小波变换的核函数即小波函数()t b a ,ψ存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。

小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。

它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。

另外，它还要满足平均值为零。

也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。

连续小波变换式(3-4)是用内积来表示的，而数学上的内积表示()t f 与
()t b a ,ψ的相似程度，所以由式(3-4)，当尺度a 增加时，表示以伸展了的()t b a ,ψ波
形去观察整个()t f ；反之，当尺度a 减小时，则以压缩的()t b a ,ψ波形去衡量()t f 局部。

可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例(尺度)参数看全局而小的比例(尺度)参数看局部细节。

因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻：人们希望既看到森林，又看清树木。

所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。

小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。

2. 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。

因此有必要讨论连续小波()t b a ,ψ）和连续小波变换()b a W f ,的离散化。

需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b 的，而不是针对时间t 的。

这一点与我们以前的习惯不同。

在公式(3-3)中，a ,b ∈R; a≠0是容许的。

为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值。

通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取作j j b b a a 00,==，这里Z j ∈，扩展步长10≠a 是固定值，为方便起见，总是假定10>a 。

所以对应的离散小波函数
()t k j ,ψ即可写作：
()()000
000,11
kb t a a a b ka t a t j
j o j k j -=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-ψψψ (1-9)
而离散化小波变换系数则可表示为：
()()0,,,.>≤=*+∞∞
-⎰
k j k j k j f dt t t f C ψψ (1-10)
其重构公式为：
()()t C C t f k j k j ,,ψ∑∑∞
∞-∞
∞-= (1-11)
C 是一个与信号无关的常数。

如何选择0a 和0b ，才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即0a 和0b 尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用
的小波函数()t k j ,ψ和离散小波系数k j C ,就越少，信号重构的精确度也就会越低。

由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。

令()21,x x f 表
示一个二维信号，21,x x 分别是其横坐标和纵坐标，
()21,x x ψ表示二维的基本小波，对应的尺度函数为()21,x x ψ 。

若尺度函数可分离，即：()()()2121,x x x x ϕφϕ*=。

令()1x ψ是与()1x ϕ对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数：
()()()21211,x x x x ψφψ= （1-12） ()()()21212,x x x x φψψ= （1-13）
()()()21213,x x x x ψψψ= （1-14）
这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。

先沿1x 方向分别用
()1x ϕ和()2x ψ做分析，把()21,x x f 分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿2x 方向用()2x ϕ和()1x ψ做同样分析，所得到的四路输出中经()1x ϕ，()2x ϕ处理
所得的一路是第一级平滑逼近()211,x x f A ，其它三路输出()211
1
,x x f D ，()2121,x x f D ，()2131,x x f D 都是细节函数。

如果把()1x ϕ和()1x ψ的对应频谱()w ϕ，
()w ψ设想成理想的半带低通滤波器h 和高通滤波器g ，则()211,x x f A 反映的是1x , 2x 两个方向
的低频分量，()211
1
,x x f D 反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，()2121,x x f D 反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，()2131,x x f D 反
映的是两个方向的高频分量。

对图像进行小波变换就是用低通滤波器h 和高通滤波器g 对图像的行列进行滤波（卷积），然后进行二取一的下抽样。

这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）LL 和三个高频子带，即用HL 表示水平高通、垂直低通子带，用LH 表示水平低通、垂直高通子带，用HH 表示水平高通、垂直高通子带。

分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。

第二次小波变换时只对LL 子带进行，进一步
将LL 子带分解为1LL ，1LH ，1HL 和1HH ，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。

所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M 次分解就得到3 M+1个子带，如图1-3。

3LL 3HL
2HL
3HL
3
LH
3HH
2LH
2HH
3LH
1HH
图1-2图像的三级小波分解图
4.小波阈值去噪方法
小波阈值去噪的基本思路是：
（1）先对含噪信号()k f 做小波变换，得到一组小波系数k j W ,； （2）通过对k j W ,进行阈值处理，得到估计系数k
j W ,^，使得k
j W
,^
与k j W ,两者的差
值尽可能小； （3）利用k
j W
,^进行小波重构，得到估计信号()k f 即为去噪后的信号。

Donoho 提出了一种非常简洁的方法对小波系数k j W ,进行估计。

对()k f 连续做几次小波分解后，有空间分布不均匀信号()k s 各尺度上小波系数k j W ,在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号()k s 的奇变位置和重要信息，而其他大部分位置的k j W ,较小；对于白噪声()k n ，它对应的小波系数k j W ,在每个尺度上的分不都是均匀的，并随尺度的增加，k j W ,系数的幅值减小。

因此，通常的去噪办法是寻找一个合适的数λ作为阈值（门限），把低于λ的小波函数k j W ,（主要由信号()k n 引起），设为零，而对于高于λ的小波函数k j W ,（主要由信号()k s 引起），则予以保留或进行收缩，从而得到估计小波系数k
j W
,^，它可理解为基本由
信号()k s 引起的，然后对k
j W
,^
进行重构，就可以重构原始信号。

估计小波系数的方法如下，取：
()N log 2σλ
= （1-15）
定义：
⎪⎩⎪⎨
⎧≤≥=λ
λ
k j k j k j k
j W W W W ,,,,^
,0, （1-16） 称之为硬阈值估计方法。

一般软阈值估计定义为
()()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-=λλλk j k j k j k
j W W k Wj W sign W
,,,,^,0,, （1-17）
小波阈值降噪方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。

如果阈值太小，降噪后的图像仍然存在噪声：相反如果阈值太大，重要图像特征有被滤掉，引起偏差。

从直观上讲,对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。

1.2.2小波去噪对比试验 1.测试信号图形
图1-3原始信号和含噪信号
2.不同阈值选取方式下滤波效果的比较
图1-4 MATLAB中的4种阈值选取方式对比
可以看出，固定阈值形式（sqtwolog）和启发式阈值（heuesure）的去噪更彻底，而由于rigrsure和minimaxi阈值选取规则较为保守（阈值较小），导致只有部分系数置零噪声去除不彻底。

3.软门限阈值和硬门限阈值处理比较（SORH的设置）
图1-5软门限阈值和硬门限阈值处理比较
1.2.3利用小波去噪函数去除给定图像中的噪声
图1-6小波的图像去噪结果
从含噪图像可以看出噪声含量非常强，而从去噪的结果可以看出，通过小波去噪后的图像基本和原图像一致。