华师大因式分解总复习

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因式分解复习
一、知识梳理
1.因式分解的定义:把一个多项式化为 的形式,叫做把这个
多项式因式分解。

2.因式分解的几种常用方法
(1)提公因式法
(2)运用公式法:
①平方差公式:a 2-b 2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:a 2±2ab+b 2=(a ±b)2
(3)二次三项式型:x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(4)分组分解法:
①分组后能提公因式;
②分组后能运用公式.
3.因式分解的一般步骤:可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”:
(1)一“提”:先看多项式的各项是否有公因式,若有必须先提出来.
(2)二“套”:若多项式的各项无公因式(或已提出公因式),第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解.
(3)“三分”:若以上两步都不行,则应考虑分组分解法,将能用上述方法进行分解的项分成一组,使之分组后能“提”或能“套”,当然要注意其要分解到底才能结束.
(4)四“查”:可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.
【例1】用提公因式进行因式分解:
(1) xy xy y x 122422-+-; (2) )()(32a b x b a x ---;
(3))2(4)2(3)2(2y x x y b y x a -----
【例2】用公式法进行因式分解:
(1) 1812-a ; (2)14-m ; (3)9(x+y)2-4(x-y)2;
(4)(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+1; (5)(a 2+b 2)2-4a 2b 2
【例3】用十字相乘法进行因式分解:
(1)892++x x ; (2)9)1(3)1(22--+-x x
【例4】用分组分解法把下列各式分解因式:
(1) m 3+2m 2-9m-18; (2)mn n m 2122+--
【例5】分解因式
(1) -x 2y -0.25y 3+xy 2 (2)6442
-x (3)-6x 2-xy +12y 2
(4)x 2-5x +6 (5) ))(())(24(22p n m ab a p n m ab a ------+
(6) (a +b )2-8(a +b -2) (7)a n+3-2a n+1+a n-1
(8) (x +3)2-6(x +3)y +9 y 2 (9) 22216)4(a a -+
(10) x 2-2y 2+xy -4x+8y (11) a 2+b 2-2ab -3a+3b+2
(12) 1-x 2-y 2+2xy (13)(2x -1)(3x +2)-20
因式分解复习作业
分解因式:
(1) a ax 2015-- (2) am m a m a 12632
3-+-
(3)2x 2-3x (a -b )+(a -b)2
(4)))(())((q p n m q p n m +++-+
(5) 333)1()1()1(3-+---x z x y x
(6) m 4-24m 2-25
(7) 4x 2+8x -5
(8) 22248)4(3ax x a -+
(9)a 4-11a 2b 2+b 4
(10)(x 2-2x)2 -7(x 2-2x)-8
(11)10(x -2)2-14 (2-x)-12
(12)12x 5-8x 3y 2+xy 4
(13))a 6+2a 4b 2-24a 2b 4
(14) x 3+2x 2-5x -6
(15) x 2+2bx -a 2-b 2
(16) (6x -1)(2x +3)+7
(17) 4x 3y +4x 2y 2+xy 3; (18) a 2b 2+8abc +16c 2
(19) 1442m -6
mn +n 2 (20) 51x 2y -x 4-1002y
(21)-4xy -4x 2-y 2 (22)(x 2+16y 2)2-64x 2 y
4、利用因式分解进行计算
(1)9x 2+12xy +4y 2,其中x =
34,y =-2
1;
(2)已知22==+ab b a ,,求32232121ab b a b a ++的值。

思考:一个正整数,若加上100是一个完全平方数;若加上168,则是另一个完全平方数,求这个正整数。

因式分解的应用
一.选择题(共10小题)
1.已知d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5,则当x2﹣2x﹣5=0时,d的值为()A.25B.20C.15D.10
2.450﹣299的计算结果是()
A.833B.822C.811D.89
3.已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0,则△ABC的形状是()
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.无法确定4.已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,则△ABC是()
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.设a、b、c是三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形状有以下判断:①是等腰三角形;②是等边三角形;③是锐角三角形;④是斜三角形.其中正确的说法的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.如图,边长为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为()
A.140B.70C.35D.24
7.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,则△ABC的形状是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
8.a、b、c是三角形的三条边长,则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值()A.大于零B.小于零
C.等于零D.与零的大小无关
9.如果257+513能被n整除,则n的值可能是()
A.20B.30C.35D.40
10.已知a,b,c是三角形的三边,那么代数式(a﹣b)2﹣c2的值()A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定二.填空题(共9小题)
11.若实数a、b、c满足a﹣b=,b﹣c=1,那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是12.若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,因为5=22+12,所以5是一个“完美数”.
(1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”;
(2)已知M是一个“完美数”,且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k(x,y是两个任意整数,k是常数),则k的值为.
13.已知x2﹣x﹣1=0,则﹣x3+2x2+2005的值为.
14.已知:x2﹣x﹣1=0,则﹣x3+2x2+2002的值为.
15.若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6,则a2+b2=.
16.若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3﹣2mn+n3的值为.
17.若a+b=3,ab=2,则a2b+ab2=.
18.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为.
19.如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为.
三.解答题(共6小题)
20.如图,在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b<)米的正方形修建花坛,其余的地方种植草坪.
(1)用代数式表示草坪的面积;
(2)先对上述代数式进行因式分解再计算当a=15,b=2.5时草坪的面积.
21.定义:任意两个数a,b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“如意数”.
(1)若a=,b=1,直接写出a,b的“如意数”c;
(2)如果a=m﹣4,b=﹣m,证明“如意数”c≤0.
22.已知a(a+1)﹣(a2+2b)=1,求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值.23.已知ab=﹣3,a+b=2.求代数式a3b+ab3的值.
24.已知a﹣b=5,ab=3,求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值.
25.已知a,b,c为△ABC的三条边的长,当b2+2ab=c2+2ac时,(1)试判断△ABC属于哪一类三角形;
(2)若a=4,b=3,求△ABC的周长.
因式分解的应用
参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)
1.【解答】解:∵x2﹣2x﹣5=0,
∴x2=2x+5,
∴d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5,
=(2x+5)2﹣2x(2x+5)+x2﹣12x﹣5
=4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
=x2﹣2x﹣5+25
=25.
故选:A.
2.【解答】解:450﹣299=2100﹣299
=2×299﹣299
=299
=833
故选:A.
3.【解答】解:a2﹣b2+ac﹣bc=0,
(a+b)(a﹣b)+c(a﹣b)=0,
(a﹣b)(a+b+c)=0,
∵a、b、c是三角形的三边,
∴a+b+c≠0,
∴a﹣b=0,
即a=b,
∴△ABC的形状是等腰三角形,
故选:C.
4.【解答】解:∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,
∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0,
∴(2a2﹣c2)2+(2b2﹣c2)2=0,
∴2a2﹣c2=0,2b2﹣c2=0,
∴c=a,c=b,
∴a=b,且a2+b2=c2.
∴△ABC为等腰直角三角形.
故选:B.
5.【解答】解:由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得,则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2=0
∴a=b=c,此三角形为等边三角形,同时也是等腰三角形,锐角三角形,斜三角形
故选:A.
6.【解答】解:根据题意得:a+b==7,ab=10,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70;
故选:B.
7.【解答】解:∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0,
(a3﹣a2b)+(ab2﹣b3)﹣(ac2﹣bc2)=0,
a2(a﹣b)+b2(a﹣b)﹣c2(a﹣b)=0,
(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0.
所以a=b或a2+b2=c2.
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
故选:C.
8.【解答】解:a2﹣2ab+b2﹣c2=(a﹣b)2﹣c2=(a+c﹣b)[a﹣(b+c)].
∵a,b,c是三角形的三边.
∴a+c﹣b>0,a﹣(b+c)<0.
∴a2﹣2ab+b2﹣c2<0.
故选:B.
9.【解答】解:257+513
=514+513
=513×(5+1)
=513×6
=512×30,
则n的值可能是30;
故选:B.
10.【解答】解:∵(a﹣b)2﹣c2=(a﹣b+c)(a﹣b﹣c),a,b,c是三角形的三边,
∴a+c﹣b>0,a﹣b﹣c<0,
∴(a﹣b)2﹣c2的值是负数.
故选:B.
二.填空题(共9小题)
11.【解答】解:∵a﹣b=,b﹣c=1,
∴a﹣c=+1
∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca)=[(a﹣b)2+(b ﹣c)2+(a﹣c)2]
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=3+
故答案为:3+
12.【解答】解:(1)∵13=22+32
∴13是完美数
故答案为:13;
(2)∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=(x+2y)2+(y﹣6)2+k﹣36
∴k=36时,M是完美数,
故答案为:36.
13.【解答】解:∵x2﹣x﹣1=0,
∴x2﹣x=1,
∴﹣x3+2x2+2005,
=﹣x(x2﹣x)+x2+2005,
=﹣x+x2+2005,
=2006.
故答案为:2006.
14.【解答】解:∵x2﹣x﹣1=0,
∴x2﹣x=1,
﹣x3+2x2+2002,
=﹣x3+x2+x2+2002,
=﹣x(x2﹣x)+x2+2002,
=﹣x+x2+2002,
=1+2002,
=2003.
故答案为:2003.
15.【解答】解:有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6,
变形后
(a2+b2)2﹣(a2+b2)﹣6=0,
(a2+b2﹣3)(a2+b2+2)=0,
又a2+b2≥0,
即a2+b2=3,
故答案为3.
16.【解答】解:∵m2=n+2,n2=m+2(m≠n),∴m2﹣n2=n﹣m,
∵m≠n,
∴m+n=﹣1,
∴原式=m(n+2)﹣2mn+n(m+2)
=mn+2m﹣2mn+mn+2n
=2(m+n)
=﹣2.
故答案为﹣2.
17.【解答】解:a2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6.故答案为:6.
18.【解答】解:∵a+b=2,
∴a2﹣b2+4b,
=(a+b)(a﹣b)+4b,
=2(a﹣b)+4b,
=2a+2b,
=2(a+b),
=2×2,
=4.
故答案为:4.
19.【解答】解:∵a+b=7,ab=10,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=70.
故答案为:70.
三.解答题(共6小题)
20.【解答】解:(1)剩余部分的面积为(a2﹣4b2)平方米;(2)当a=15,b=2.5时,
a2﹣4b2
=(a+2b)(a﹣2b)
=(15+5)(15﹣5)
=200(平方米).
21.【解答】解:(1)c=ab+a+b=++1=2+1;
(2)c=ab+a+b=(m﹣4)(﹣m)+m﹣4+(﹣m)=4m﹣m2﹣4,=﹣(m﹣2)2≤0,
即:c≤0.
22.【解答】解:a(a+1)﹣(a2+2b)=1,
a2+a﹣a2﹣2b﹣1=0,
a﹣2b=1,
a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b,
=(a﹣2b)2﹣2(a﹣2b),
=12﹣2×1,
=﹣1.
23.【解答】解:∵a+b=2,
∴(a+b)2=4,
∴a2+2ab+b2=4,
又∵ab=﹣3,
∴a2﹣6+b2=4
∴a2+b2=10,
∴(a2+b2)ab=a3b+ab3=﹣30.
24.【解答】解:∵a3b﹣2a2b2+ab3
=ab(a2﹣2ab+b2)
=ab(a﹣b)2
而a﹣b=5,ab=3,
∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75.
25.【解答】解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:∵a,b,c为△ABC的三条边的长,b2+2ab=c2+2ac,
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0,
因式分解得:(b﹣c)(b+c+2a)=0,
∴b﹣c=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵a=4,b=3,
∴b=c=3,
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10.。

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