华师大因式分解总复习

因式分解复习
一、知识梳理
1.因式分解的定义：把一个多项式化为 的形式，叫做把这个
多项式因式分解。

2.因式分解的几种常用方法
(1)提公因式法
(2)运用公式法：
①平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2
(3)二次三项式型：x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(4)分组分解法：
①分组后能提公因式；
②分组后能运用公式.
3.因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：
(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来.
(2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解.
(3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束.
(4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.
【例1】用提公因式进行因式分解：
(1) xy xy y x 122422-+-； (2) )()(32a b x b a x ---；
（3）)2(4)2(3)2(2y x x y b y x a -----
【例2】用公式法进行因式分解：
(1) 1812-a ； （2）14-m ； （3）9(x+y)2-4(x-y)2；
(4)(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+1； (5)(a 2+b 2)2-4a 2b 2
【例3】用十字相乘法进行因式分解：
（1）892++x x ； （2）9)1(3)1(22--+-x x
【例4】用分组分解法把下列各式分解因式：
(1) m 3+2m 2-9m-18； （2）mn n m 2122+--
【例5】分解因式
（1） －x 2y －0.25y 3＋xy 2 （2）6442
-x （3）－6x 2－xy ＋12y 2
（4）x 2－5x ＋6 （5） ))(())(24(22p n m ab a p n m ab a ------+
(6) （a ＋b ）2－8(a ＋b －2) （7）a n+3－2a n+1+a n-1
(8) （x ＋3）2－6(x ＋3)y ＋9 y 2 (9) 22216)4(a a -+
(10) x 2－2y 2+xy －4x+8y (11) a 2+b 2－2ab －3a+3b+2
（12） 1－x 2－y 2+2xy （13）(2x －1)(3x ＋2)－20
因式分解复习作业
分解因式：
(1) a ax 2015-- (2) am m a m a 12632
3-+-
（3）2x 2－3x （a －b ）＋(a －b)2
（4）))(())((q p n m q p n m +++-+
(5) 333)1()1()1(3-+---x z x y x
(6) m 4－24m 2－25
(7) 4x 2＋8x －5
(8) 22248)4(3ax x a -+
（9）a 4－11a 2b 2+b 4
（10）(x 2－2x)2 －7(x 2－2x)－8
(11)10（x －2）2－14 (2－x)－12
（12）12x 5－8x 3y 2＋xy 4
（13）)a 6＋2a 4b 2－24a 2b 4
(14) x 3+2x 2－5x －6
(15) x 2＋2bx －a 2－b 2
(16) (6x －1)(2x ＋3)＋7
(17) 4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3； (18) a 2b 2+8abc +16c 2
(19) 1442m －6
mn +n 2 (20) 51x 2y －x 4－1002y
(21)－4xy －4x 2－y 2 (22)（x 2+16y 2）2－64x 2 y
4、利用因式分解进行计算
（1）9x 2+12xy +4y 2,其中x =
34,y =－2
1;
(2)已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。

思考：一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数。

因式分解的应用
一．选择题（共10小题）
1．已知d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5=0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．10
2．450﹣299的计算结果是（）
A．833B．822C．811D．89
3．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．无法确定4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（）
A．140B．70C．35D．24
7．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
8．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零
C．等于零D．与零的大小无关
9．如果257+513能被n整除，则n的值可能是（）
A．20B．30C．35D．40
10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定二．填空题（共9小题）
11．若实数a、b、c满足a﹣b=，b﹣c=1，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是12．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．
（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”；
（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为．
13．已知x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2005的值为．
14．已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002的值为．
15．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=．
16．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．
17．若a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=．
18．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．
19．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．
三．解答题（共6小题）
20．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．
（1）用代数式表示草坪的面积；
（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a=15，b=2.5时草坪的面积．
21．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．
22．已知a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．23．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．
24．已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
25．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
因式分解的应用
参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵x2﹣2x﹣5=0，
∴x2=2x+5，
∴d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
=（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
=4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
=x2﹣2x﹣5+25
=25．
故选：A．
2．【解答】解：450﹣299=2100﹣299
=2×299﹣299
=299
=833
故选：A．
3．【解答】解：a2﹣b2+ac﹣bc=0，
（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a+b+c）=0，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴a+b+c≠0，
∴a﹣b=0，
即a=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：C．
4．【解答】解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，
∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，
∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，
∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，
∴c=a，c=b，
∴a=b，且a2+b2=c2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．
5．【解答】解：由已知条件a2+b2+c2=ab+bc+ca化简得，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0
∴a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形
故选：A．
6．【解答】解：根据题意得：a+b==7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70；
故选：B．
7．【解答】解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，
a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
故选：C．
8．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：B．
9．【解答】解：257+513
=514+513
=513×（5+1）
=513×6
=512×30，
则n的值可能是30；
故选：B．
10．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
11．【解答】解：∵a﹣b=，b﹣c=1，
∴a﹣c=+1
∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）=[（a﹣b）2+（b ﹣c）2+（a﹣c）2]
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=3+
故答案为：3+
12．【解答】解：（1）∵13=22+32
∴13是完美数
故答案为：13；
（2）∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36
∴k=36时，M是完美数，
故答案为：36．
13．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴﹣x3+2x2+2005，
=﹣x（x2﹣x）+x2+2005，
=﹣x+x2+2005，
=2006．
故答案为：2006．
14．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
﹣x3+2x2+2002，
=﹣x3+x2+x2+2002，
=﹣x（x2﹣x）+x2+2002，
=﹣x+x2+2002，
=1+2002，
=2003．
故答案为：2003．
15．【解答】解：有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，
变形后
（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，
（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，
又a2+b2≥0，
即a2+b2=3，
故答案为3．
16．【解答】解：∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），∴m2﹣n2=n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n=﹣1，
∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）
=mn+2m﹣2mn+mn+2n
=2（m+n）
=﹣2．
故答案为﹣2．
17．【解答】解：a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．故答案为：6．
18．【解答】解：∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b，
=（a+b）（a﹣b）+4b，
=2（a﹣b）+4b，
=2a+2b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故答案为：4．
19．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：70．
三．解答题（共6小题）
20．【解答】解：（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；（2）当a=15，b=2.5时，
a2﹣4b2
=（a+2b）（a﹣2b）
=（15+5）（15﹣5）
=200（平方米）．
21．【解答】解：（1）c=ab+a+b=++1=2+1；
（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，=﹣（m﹣2）2≤0，
即：c≤0．
22．【解答】解：a（a+1）﹣（a2+2b）=1，
a2+a﹣a2﹣2b﹣1=0，
a﹣2b=1，
a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，
=（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），
=12﹣2×1，
=﹣1．
23．【解答】解：∵a+b=2，
∴（a+b）2=4，
∴a2+2ab+b2=4，
又∵ab=﹣3，
∴a2﹣6+b2=4
∴a2+b2=10，
∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．
24．【解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3
=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2
而a﹣b=5，ab=3，
∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．
25．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a=4，b=3，
∴b=c=3，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．。