正交变换QR 迭代
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换 H，使得 ，
Hx = σe1
其中 σ = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ， H = I − 1 uuT
u = x + σ e1 1 2 β = u 2 = σ (σ + x1 ) 2
β
σ 的选取是为了防止在实际计算中 σ 与 x1 互相抵消 的选取是为了防止在实际计算中 若 x1=0, 则取 σ = ||x||2
5
Givens 变换
定义：称矩阵
i j
变换， 旋转变换。 为 Givens 变换，或 旋转变换。
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
G −1 = G (2) 正交： 正交：
(3) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 左乘一个矩阵时， (4) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值 右乘一个矩阵时，
Householder 变换
定理：设 x, y ∈ Rn, x ≠ y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得 ，
y = Hx
( x − y) 证：取 w = || x − y ||2
4
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x ∈ Rn，存在 Householder 变
为Householder变换，或初等反射矩阵。 变换， 初等反射矩阵。 变换
性质
(1) 对称：H w = H w 对称： T
T − H w1 = H w = H w (2) 正交： 正交：
(3) 对合：H w = I 对合： 2 (4) 保模： H w x 保模：
2
= x
2
3
(5) det( H w ) = −1
T 设 A = [a1 , a2 ,…, an ], a j = [a1 j , a2 j ,…, anj ] ( j = 1, ... , n )
(1) 构造 H1 使得 H1 a1 = σ1e1 ，令
(2) σ 1 a12 (2) 0 a22 A2 = H1 A = H1[a1 , a2 ,… , an ] = ⋮ ⋮ (2) (2) 0 an 2 a2
H n−1 H n− 2 ⋯ H1 A = ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ σn ≜R
令 Q = ( H n−1 H n−2 ⋯ H1 ) ，即得
−1
A = QR
11
QR 分解举例
0 2 0 例：用 Householder 变换计算 A = 2 1 2 的 QR 分解 0 2 1
计算方法
第八章 矩阵特征值计算
—— 正交变换与 正交变换与QR 迭代
1
本讲内容
正交变换
Householder 变换 Givens 变换 QR 分解 Schur 分解 Hessenberg 矩阵
QR 迭代
2
Householder 变换
定义：设 w ∈ R n 且 wT w = 1 ，称矩阵
H w = I − 2wwT
H2 = 0 H 2
A3 = H 2 A2 = 0 ⋮ 0
0 ⋮ 0
(3) (3) a33 ⋯ a3n ⋮ ⋱ ⋮ (3) (3) an3 ⋯ ann
10
QR 分解算法
以此类推， 以此类推，经过 n-1 步，可得 Householder 矩阵 H1, H2, ... , Hn-1 ，使得 (2) σ 1 a12 ⋯ a1(2) n (3) 0 σ 2 ⋯ a2 n
8
QR 分解
定理：（ 分解） 定理：（QR 分解） ：（ 非奇异， 设 n 阶实矩阵 A 非奇异，则存在正交分解 A = QR 其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。 的对角线元素为正数， 若限定 R 的对角线算法（ 分解） 算法（QR 分解）
7
Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零， 不全为零，
则存在 Givens 变换 G = G (i, j,θ )，使得 ，
ɶ Gx = ( x1 , ..., xi , ..., 0, ..., xn )T
⋯ a1(2) n (2) ⋯ a2 n ⋱ ⋮ (2) ⋯ ann
(2) ɶ (2) (2) (2) 构造 H 2 使得 H 2a2 = σ 2 e1 ，令 σ 1 a12 a13 ⋯ a1(2) n (3) (3) 0 σ 2 a23 ⋯ a2 n 1 0
拟上三角矩阵
是一阶或二阶方阵。 其中 Rii 是一阶或二阶方阵。
若 Rii 是一阶方阵，则它就是 A 的特征值； 是一阶方阵， 特征值； 是二阶方阵， 的两个共轭复特征值 共轭复特征值。 若 Rii 是二阶方阵，则其特征值为 A 的两个共轭复特征值。
13
QR 迭代
QR 迭代算法
计算矩阵的所有特征值和特征向量 计算过程 (1) 令 A1＝A (2) 对 k = 1, 2, ... ， 计算 Ak 的 QR 分解 Ak = Qk Rk 计算 Ak +1 = Rk Qk 直到 Ak+1 收敛到一个 拟上三角阵
14
作业
教材 277 页，习题 10
15
板书) 解：(板书 板书
σ = sgn( x1 ) x
u = x + σ e1
2
2
u 2 = 2σ (σ + x1 )
1 uuT H=I− 2 u2
2
12
Schur 分解
定理：（ 分解） 定理：（Schur 分解） ：（ 阶实矩阵， 设 A 为 n 阶实矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 ，
R11 Q T AQ = R ≜ R12 ⋯ R22 ⋯ ⋱ R1m R2 m 2m ⋮ Rmm
Hx = σe1
其中 σ = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ， H = I − 1 uuT
u = x + σ e1 1 2 β = u 2 = σ (σ + x1 ) 2
β
σ 的选取是为了防止在实际计算中 σ 与 x1 互相抵消 的选取是为了防止在实际计算中 若 x1=0, 则取 σ = ||x||2
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Givens 变换
定义：称矩阵
i j
变换， 旋转变换。 为 Givens 变换，或 旋转变换。
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
G −1 = G (2) 正交： 正交：
(3) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 左乘一个矩阵时， (4) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值 右乘一个矩阵时，
Householder 变换
定理：设 x, y ∈ Rn, x ≠ y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得 ，
y = Hx
( x − y) 证：取 w = || x − y ||2
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Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x ∈ Rn，存在 Householder 变
为Householder变换，或初等反射矩阵。 变换， 初等反射矩阵。 变换
性质
(1) 对称：H w = H w 对称： T
T − H w1 = H w = H w (2) 正交： 正交：
(3) 对合：H w = I 对合： 2 (4) 保模： H w x 保模：
2
= x
2
3
(5) det( H w ) = −1
T 设 A = [a1 , a2 ,…, an ], a j = [a1 j , a2 j ,…, anj ] ( j = 1, ... , n )
(1) 构造 H1 使得 H1 a1 = σ1e1 ，令
(2) σ 1 a12 (2) 0 a22 A2 = H1 A = H1[a1 , a2 ,… , an ] = ⋮ ⋮ (2) (2) 0 an 2 a2
H n−1 H n− 2 ⋯ H1 A = ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ σn ≜R
令 Q = ( H n−1 H n−2 ⋯ H1 ) ，即得
−1
A = QR
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QR 分解举例
0 2 0 例：用 Householder 变换计算 A = 2 1 2 的 QR 分解 0 2 1
计算方法
第八章 矩阵特征值计算
—— 正交变换与 正交变换与QR 迭代
1
本讲内容
正交变换
Householder 变换 Givens 变换 QR 分解 Schur 分解 Hessenberg 矩阵
QR 迭代
2
Householder 变换
定义：设 w ∈ R n 且 wT w = 1 ，称矩阵
H w = I − 2wwT
H2 = 0 H 2
A3 = H 2 A2 = 0 ⋮ 0
0 ⋮ 0
(3) (3) a33 ⋯ a3n ⋮ ⋱ ⋮ (3) (3) an3 ⋯ ann
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QR 分解算法
以此类推， 以此类推，经过 n-1 步，可得 Householder 矩阵 H1, H2, ... , Hn-1 ，使得 (2) σ 1 a12 ⋯ a1(2) n (3) 0 σ 2 ⋯ a2 n
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QR 分解
定理：（ 分解） 定理：（QR 分解） ：（ 非奇异， 设 n 阶实矩阵 A 非奇异，则存在正交分解 A = QR 其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。 的对角线元素为正数， 若限定 R 的对角线算法（ 分解） 算法（QR 分解）
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Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零， 不全为零，
则存在 Givens 变换 G = G (i, j,θ )，使得 ，
ɶ Gx = ( x1 , ..., xi , ..., 0, ..., xn )T
⋯ a1(2) n (2) ⋯ a2 n ⋱ ⋮ (2) ⋯ ann
(2) ɶ (2) (2) (2) 构造 H 2 使得 H 2a2 = σ 2 e1 ，令 σ 1 a12 a13 ⋯ a1(2) n (3) (3) 0 σ 2 a23 ⋯ a2 n 1 0
拟上三角矩阵
是一阶或二阶方阵。 其中 Rii 是一阶或二阶方阵。
若 Rii 是一阶方阵，则它就是 A 的特征值； 是一阶方阵， 特征值； 是二阶方阵， 的两个共轭复特征值 共轭复特征值。 若 Rii 是二阶方阵，则其特征值为 A 的两个共轭复特征值。
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QR 迭代
QR 迭代算法
计算矩阵的所有特征值和特征向量 计算过程 (1) 令 A1＝A (2) 对 k = 1, 2, ... ， 计算 Ak 的 QR 分解 Ak = Qk Rk 计算 Ak +1 = Rk Qk 直到 Ak+1 收敛到一个 拟上三角阵
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作业
教材 277 页，习题 10
15
板书) 解：(板书 板书
σ = sgn( x1 ) x
u = x + σ e1
2
2
u 2 = 2σ (σ + x1 )
1 uuT H=I− 2 u2
2
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Schur 分解
定理：（ 分解） 定理：（Schur 分解） ：（ 阶实矩阵， 设 A 为 n 阶实矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 ，
R11 Q T AQ = R ≜ R12 ⋯ R22 ⋯ ⋱ R1m R2 m 2m ⋮ Rmm