初高中数学衔接教材第四讲 不等式

第四讲 不 等 式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．

一、一元二次不等式及其解法

1．形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．

【例1】解不等式2

60x x +->．

分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．

解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，

于是：3020x x +<⎧⎨

-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩33

3222

x x x x x x <->-⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨<>⎩⎩或或

所以，原不等式的解是32x x <->或．

说明：当把一元二次不等式化为2

0(0)ax bx c ++><或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．

【例2】解下列不等式：

(1) (2)(3)6x x +-<

(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+

分析：要先将不等式化为2

0(0)ax bx c ++><或的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：2

120x x --<，即(3)(4)0x x +-< 于是：3030

344040x x x x x +>+<⎧⎧⇒-<<⎨

⎨-<->⎩⎩

或

所以原不等式的解是34x -<<．

(2) 原不等式可化为：2

40x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥⇒-≥

于是：00

044040

x x x x x x ≤≥⎧⎧⇒≤≥⎨

⎨-≤-≥⎩⎩或或

所以原不等式的解是04x x ≤≥或．

2．一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或与二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠及一元二

次方程2

0ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．

以二次函数2

6y x x =+-为例： (1) 作出图象；

(2) 根据图象容易看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的一元二次方程2

60x x +-=的两实根是32x =-或．

(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．就是说2

60x x +->的解是32x x <->或．

当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．就是说2

60x x +-<的解是32x -<<．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．

那么(图1)： 2

120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或

2

120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<

②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b

a

-

，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x b

x x a

==-

(也可由根的判别式0∆=来判断) ． 那么(图2)： 2

0 (0) 2b ax bx c a x a

++>>⇔≠-

2

0 (0) ax bx c a ++<>⇔无解

③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．

那么(图3)： 2

0 (0) ax bx c a x ++>>⇔取一切实数

20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为

12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2

2

24()24b ac b ax bx c a x a a

-++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．

【例3】解下列不等式：

(1) 2

280x x --<

(2) 2

440x x -+≤

(3) 2

20x x -+<

解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-< ∴ 不等式的解是24x -<<

(2) 不等式可化为2

(2)0x -≤ ∴ 不等式的解是2x =

(3) 不等式可化为2

17

()02

4

x -+

<． 【例4】已知对于任意实数x ，2

2kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围． 解：显然0k =不合题意，于是：

22

2000

111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩

⎩⎩或 【例5】已知关于x 的不等式2

2

(1)30kx k x -+-<的解为13k -<<，求k 的值． 分析：对应的一元二次方程的根是1-和3，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二

次方程根与系数的关系可以求解．

解：由题意得：2011313(1)3k k k k k ⎧

>⎪⎪

+⎪

-+=⇒=⎨⎪

⎪

-⋅=-⎪⎩