数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶
1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543
32-+, (x →0，x →∞)；
(2) u (x ) = x x x x
524
3
23+- (x →0，x →∞)；
(3) u (x ) = x
3
+
x
2
3
(x →0+，x →+∞)；
(4) u (x ) = x x x
++
(x →0+，x →+∞)；
(5) u (x ) = 13+x
- 123
+x
(x →0，x →+∞)；
(6) u (x ) = x
2
1+ - x (x →+∞)；
(7) u (x ) = -
3
2
x (x →0+)；
(8) u (x ) =
1+x x
-
e
2x
(x →0+)；
(9) u (x ) = ln cos x - arc tan x
2
(x →0)；
(10) u (x ) =
x
tan 1+ -
1-sin x
(x →0)。

解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。

（2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～
)
(3
1∞→x x 。

（3）)(x u ～)0(3
2
+→x x ；)(x u ～)(2
3
+∞→x x 。

（4）)(x u ～)0(81
+→x x ；)
(x u ～)(21
+∞→x x 。

（5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～
)(321
+∞→x x 。

（6）)(x u ～
)(2
11
+∞→-x x。

（7）)(x u ～)0(21
+→x x 。

（8）)(x u ～)0(2+→-x x 。

（9）)(x u ～)0(2
32
→-
x x 。

（10）)(x u ～)0(→x x 。

2. (1) 当x →+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进
行排列，并说明理由。

a
x
(a ＞1),
x
x
,
x
α
(α＞0)， ln k x
(k ＞0)， [x ]!；
(2) 当x →0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进
行排列，并说明理由。

x
α
(α＞0)，
!11⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x ,
a
x
-
1 (a ＞1)，x
x 11-
⎪⎭
⎫
⎝⎛,
⎪⎭
⎫
⎝⎛-x k
1ln
(k ＞0)。

解（1）当x →+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为
ln k
x
(k ＞0)，x α (α＞0)，a x (a ＞1), [x ]!,
x
x。

证明： 设1+<≤n x n ，则n
x
a
n a
x α
α)1(0+<
<
，!
]!
[01
n a
x a
n x
+<
<
，
n
x
n
n x
x )!1(]![0+<<。

由∞
→n lim
)1(=+n
a
n α
，∞
→n lim
!
1
=+n a
n 与∞
→n lim
)!1(=+n
n
n ，即得到
x
x a
x α+∞
→lim
=，
∞
→n lim
]!
[=x a
x
，∞
→n lim
0]![=x
x
x ，同时也得到α
x
x
k
x ln lim
+∞
→0)
(lim
==+∞
→y
k y e y
α )ln (x y =。

（2）当x →0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为
x
x 11-⎪⎭
⎫
⎝⎛,
!11⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x ,
a
x
-
1 (a ＞1)，x α (α＞0)，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x k
1ln
(k ＞0)。

证明：令x
y
1=
，则当x →0+时，有+∞
→
y 。

参考（1）的排列即可得
到（2）的排列。

3. 计算下列极限：
⑴ lim x →0
112132
3
+-
++x x
x ln()
； ⑵ lim
x →0
11--cos cos
x
x
；
⑶
lim
x →+∞
(
x x x
++
-x
)； ⑷ lim x →+∞
(12
++x x
-
12
-+x x
)；
⑸ lim
x →α
a
a
x x
--α
α
(a ＞0)；
⑹ lim
x a
→x
a
x a
α
α
-- (a ＞0)； ⑺ lim
x →+∞
x ( ln (1+x ) - ln x )；
⑻ lim
x a →ln ln x a x a
-- (a ＞0)；
⑼ lim x →0
(e
)x x
x
+1；
⑽ lim x →02
12
2cos x
x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
；
⑾ lim n
→∞
n (x n - 1) (x ＞0)； ⑿ lim n
→∞
n
2
(x n -
x
n +1
) (x ＞0)。

解（1）lim
x →0
=++-
+)31ln(2113
2
x x
x lim
x →0
)
31ln()
121()11(3
2
x x
x +-+--+
lim
→=x =
-
x
x
x 3322
12
6
1。

（2）lim
x →0
=--x
x
cos
1cos 1lim
x →0
=+
--)
cos 1)(cos
1(cos 1x x x
lim
x →0
=+
)
cos 1(2121
2
x x x。

（3）lim x →+∞(x x x
++-
x
)+∞
→=
x lim
=+
+
+
+x
x x x x x lim
x →+∞
=
x
x 22
1。

（4）lim x →+∞(12
++x x
-
2
1x
x +-)+∞
→=
x lim
=+-+++2
2
112x
x x
x x
1。

（5）α
→x lim
=--α
α
x a
a
x
α
→x lim
=---α
α
αx a
a x )
1(α
→x lim
()ln a x a
x α
αα
-=-a
a ln α。

（6）lim
x a
→=--a
x a
x α
α
lim
x a
→=--a
x e a a
x )
1(ln
αα
lim
x a
→a
x a
a x a --+
)
1ln(αα
a
x →=lim
=--⋅
a
x a
a
x a αα
1
-ααa。

（7）lim x →+∞
x ( ln (1+x ) - ln x )=+
=
+∞
→x
x x 1)11ln(lim
1。

（8）lim
x a
→ln ln x a x a
--lim
x a
→=
--+
a
x a a
x )1ln(a
1。

（9）lim x →0
=+x
x x 1
)e (lim x →0
=-++x x
x 1
)1e 1(lim x →0
=+x x 1
)21(2
e。

（10）lim x →0=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
2
12
2cos x
x x lim x →02
1
2
2)cos 1(1x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---0lim →=x ()
=-2
12
1x
x
1
-e。

（11）lim n →∞
n (
x
n
- 1))1(lim ln 1
-=
∞
→x
n
n e
n =⋅
=∞
→)ln 1(lim x n
n n x
ln 。

（12）lim n
→∞
n
2
(x n -
x
n +1
)
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---=+∞
→)1()1(lim ln 1
1
ln 12x n x n n e e n
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→111
ln lim 2n n x n n x ln 。

习 题 3.4 闭区间上的连续函数
1. 证明：设函数f x ()在),[+∞a 上连续，且lim
x →+∞
f x ()
= A （有限数），则
f x ()
在),[+∞a 有界。

证 由lim
x →+∞
f x ()
= A （有限数），可知a
X
>∃，X
x >
∀：1)(<-A x f ，即
1)(1+<<-A x f A 。

再由)(x f 在闭区间],[X a 上的连续性，可知)(x f 在
]
,[X a 上有界，即
]
,[X a x ∈∀：
B
x f <)(。

令
}
1,m a x {+=A B M ，
}1,min{--=A B m ，则[)+∞∈∀,a x ，成立M x f m <<)(。

2. 证明：若函数f x ()在开区间),(b a 上连续，且f (a +)和f (b -)存在，则它可取到介于f (a +)和f (b -)之间的一切中间值。

证 令
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+∈=b x b f a
x a f b a x x f x f )()()
,()()(~，
则)(~
x f 在闭区间],[b a 连续，不妨设)
()(-<+b f a f ，由闭区间上连续函
数的中间值定理，可知
)(~
x f 在闭区间],[b a 上可取到)]
(),([-+b f a f 上的
一切值，于是f x ()在开区间),(b a 上可取到介于f (a +)和f (b -)之间的一切中间值。

3. 证明：若闭区间],[b a 上的单调有界函数f x ()能取到 f (a )和f (b )之间的一切值，则f x ()是],[b a 上的连续函数。

证 采用反证法。

不妨设)(x f 单调增加。

若),(b a ∈ξ是)(x f 的不连续点，则)(-ξf 与)(+ξf 都存在，且)()()()(b f f f a f ≤+<-≤ξξ，于是)(x f 取不
到开区间))(),
((+-ξξf f 中异于)(ξf 的值，
与条件矛盾；若a x =是)(x f 的
不连续点，则)(+a f 存在，且)()()(b f a f a f ≤+<，于是)(x f 取不到开区
间))(),
((+a f a f 中的值，也与条件矛盾；同样可以证明b x =也不可能是
)(x f 的不连续点。

4. 应用Bolzano-Weierstrass 定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。

证 采用反证法。

设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，但无界，则存在点列
{}n x ，],[b a x n
∈，满足n x f n >)(，即∞
=∞
→)(l
i m n n x f 。

由Bolzano-Weierstrass
定理，存在子列{}k
n x ，ξ
=∞
→k n k x lim ，且],[b a ∈ξ。

因为)(x f 在点ξ连续，
所以有)()(lim
ξf x f k n k =∞
→，与∞
=∞
→)(lim n n x f 产生矛盾。

5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。

证 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()(<b f a f ，不妨设1a a =，1b b =，
0)(<a f ，0)(>b f 。

如果0)2
(
1
1=+b a f ，则定理得证。

如果0)2
(
1
1<+b a f ，则令2
1
12b a a +=
，
12b b =；如果0)2
(
1
1>+b a f ，则令12a a =，2
1
12b a b +=。

如果0)2
(
2
2=+b a f ，则定理得证。

如果0
)2
(
2
2<+b a f ，则令2
2
23
b a a +=，
23b b =；如果0)2
(
2
2>+b a f ，则令23a a =，2
2
23b a b +=。

,
这样的过程可以一直进行下去。

如果存在某个k ，使得0
)2
(=+k
k b a f ，
则定理得证；如果不存在某个k ，使得0
)2
(
=+k
k b a f ，则得到一个闭
区间套{}],[n n b a ，满足0)(<n a f ，0)(>n b f 。

由闭区间套定理，可知存
在唯一属于所有闭区间],[n n b a 的点ξ，且=∞
→n n a lim ξ
=∞
→n n b lim 。

再由)(x f 在
点ξ的连续性，可知=
)(ξf 0)(lim ≤∞
→n n a f 与=)(ξf 0)(lim ≥∞
→n n b f ，
从而得到0)(=ξf ，定理得证。

6. 证明方程b
x a x +=sin （0,>b a ）至少有一个正根。

证 令
b
x a x x f --=sin )(，则
)
(x f 在),0[+∞上连续。

取b
a A +>
，则
0)0(<f ，0)(>A f ，由零点存在定理，)(x f 在),0(A 上至少有一个根。

7．证明方程03=++q px x （0>p ）有且仅有一个实根。

证 令q px x x f ++=
3
)(，则)(x f 在),(+∞-∞上是严格单调增加的。

由
-∞
=-∞
→)(lim
x f x ，
+∞
=+∞
→)(lim
x f x ，易知)(x f 在),(+∞-∞上有且仅有一个
实根。

8．证明：
（1）sin 1
x 在（0,1）上不一致连续，但在(a ,1)(a ＞0)上一致连续；
（2）sin x 2在),(+∞-∞上不一致连续，但在[0,A ]上一致连续； （3）
x
在[)0,+∞上一致连续；
（4）ln x 在[)+∞,1上一致连续； (5)
x
cos
在[)0,+∞上一致连续。

证（1）在)1,0(上，令π
n x n 1'
=，2
1"
π
π+
=
n x n
，0
"
'
→-n n x x ，但
11sin
1sin "
'
=-n
n
x x ，所以sin 1
x
在（0,1）上不一致连续。

在)1,(a (a ＞0)上，0>∀ε，取0
2
>=εδa ，
)1,(,21a x x ∈∀，δ
<-21x x ，
成立
2
212
1
2
1
111sin
1sin
a
x x x x x x -≤-≤-ε
<，
所以sin 1
x
在(a ,1) (a ＞0)上一致连续。

（2）在),+∞∞-上，令2
'
ππ+
=
n x n ，π
n x n
="
，则0
"
'
→-n n x x ，但
()
()
1sin sin 2
"2
'
=-n
n
x x ，
所以sin x 2在),(+∞-∞上不一致连续。

在],0[A 上，0>∀ε，取0
2>=
A
ε
δ，],0[,21A x x ∈∀，δ
<-2
1x x ，成
立
212
22
12
22
12sin sin x x A x x x x -≤-≤-ε
<，
所以sin x 2在[0,A ]上一致连续。

（3）
0>∀ε，取02
>=ε
δ，[)+∞∈∀,0,21x x ，δ
<-21x x ，成立
2121x x x x -≤
-
ε
<，
所以
x
在[)0,+∞上一致连续。

（4）
0>∀ε，取0
>=εδ，[)+∞∈∀,1,21x x ，δ
<-≤
210x x ，成立
2122
1211ln ln ln x x x x x x x -≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-ε<，
所以ln x 在[)+∞,1上一致连续。

（5）
0>∀ε，取02
>=ε
δ，[)+∞∈∀,0,21x x ，δ
<-21x x ，成立
212121cos
cos
x x x x x x -≤
-
≤
-ε
<，
所以x
cos
在[)0,+∞上一致连续。

9．证明：对椭圆内的任意一点P ，存在椭圆过P 的一条弦，使得P 是该弦的中点。

证 过P 点作弦，设弦与x 轴的夹角为θ，P 点将弦分成长度为)(1θl 和
)(2θl 的两线段，则)()()(21θθθl l f -=在[]π,0连续，满足)()0(πf f -=，于
是必有∈0θ[]π,0，满足0)(0=θf ，也就是)(01θl )(02θl =。

10．设函数f x ()在[0,2]上连续，且f (0) = f (2)，证明：存在]2,0[,∈y x ，
1=-x y ，使得)()(y f x f =。

证 令)()1()(x f x f x F -+=，则)(x F 在[]1,0上连续，)0()1(F F -=，于是必
有]1,0[0∈x ，满足0)(0=x F 。

令100+=x y ，则]2,0[,00∈y x ，100=-x y ，
使得)()(00y f x f =。

11．若函数f x ()在有限开区间),(b a 上一致连续，则f x ()在),(b a 上有界。

证 由f x ()在),(b a 上一致连续，可知)(+a f ，)(-b f 存在且有限。

令
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+∈=b x b f a
x a f b a x x f x f )()()
,()()(~，
则)(~
x f 在闭区间],[b a 连续，所以)(~
x f 在],[b a 有界，因此f x ()在),(b a 上有界。

12．证明：
（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。

证（1）设函数)(x f ，)(x g 在区间I 上一致连续，则0>∀ε
，0
>∃δ
，
I
x x ∈∀",'，δ
<-"
'x x ，成立
2
)"()'(ε
<
-x f x f ，2
)
"()'(ε
<
-x g x g ，于是
ε
<+-+)]"()"([)]'()'([x g x f x g x f ，
所以)()(x g x f +在区间I 上一致连续。

（2）设x
x g x f ==
)()(，区间[)+∞=,0I ，则)(x f ，)(x g 在区间I 上一致
连续，但2
)()(x
x g x f =
在区间I 上不一致连续。

13. 设函数f x ()在],[b a 上连续，且],[,0)(b a x x f ∈≠，证明f x ()在],[b a 上
恒正或恒负。

证 设f x ()在],[b a 上不保持定号，则存在],[",'b a x x ∈（不妨设"'x x <
），
使)'(x f 与)"(x f 不同号，由闭区间上连续函数的中间值定理，必定存 在]",'[x x ∈ξ，使得0)(=ξf ，这就产生矛盾，所以f x ()在],[b a 上必定恒 正或恒负。

14．设函数f x ()在],[b a 上连续，b x x x a n ≤<<<≤
21，证明在],[b a 中
必有ξ，使得
)]()()([1)(21n x f x f x f n
f +++=
ξ。

证 根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间任何一个值。

由于
)}({min ]
,[x f b a x ∈[]≤+++≤
)()()(121n x f x f x f n
)}({max ]
,[x f b a x ∈，
所以在],[b a 中必有ξ，使得
)]()()([1)(21n x f x f x f n
f +++=
ξ。

15．若函数f x ()在),[+∞a 上连续，且lim
x →+∞
f x ()
= A (有限数)，则f x ()在
),[+∞a 上一致连续。

证 由A
x f x =+∞
→)(lim
，:",',,0X x x a X >∀>∃>∀ε
ε
<-)"()'(x f x f 。

由于)(x f
在[]1,+X
a 连续，所以一致连续，也就是
[]:)"'(1,",',10δδ<-+∈∀<<∃x x X a x x ε<-)"()'(x f x f 。

于是
[):)"'(,",'δ<-+∞∈∀x x a x x ε
<-)"()'(x f x f 。