2019年全国卷3理数答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

一、选择题

1．A 2．D 3．C

4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D

二、填空题

13

14．4 15

16．118.8

三、解答题

17．解：（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1

因为sin

B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC

由于△ABC 为锐角三角形，故0°

所以30°

122

a <<，从而3382ABC S <<△．

因此，△ABC 面积的取值范围是33,82⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

．

19．解：（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而

A ，C ，G ，D 四点共面．

由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE

⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．

由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，

EH =3．

以H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，3），

CG =（1，0，3），AC =（2，–1，0）． 设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则

0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩n n 即30,

20.x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪

⎩ 所以可取n =（3，6，–3）．

又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以3

cos ,||||2

⋅〈〉==n m n m n m ．

因此二面角B –CG –A 的大小为30°． 20. 解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．

令()0f x '=，得x =0或3

a

x =

. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

时，()0

f x '<

若a=0

若a<0

.

（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由（1[0，1][0，l]

此时a，b满足题设条件当且仅当

a=0

（ii）当a≥3时，由（1[0，1][0，1]

此时a，b满足题设条件当且仅当

b=1，即a=4，b=1．

（iii）当0

大值为b

b=10

a=0，与0

综上，当且仅当a=0a=4，b=1[0，1]的最小值为–1，最大值为1．

21．解：（1

所以切线DA

故直线AB

所以直线AB

（2）由（1）得直线AB

D，E到直线AB

因此，四边形ADBE

设M为线段AB

解得t=0

时，S=3；

因此，四边形ADBE的面积为3

22.解：（1

所以

的极坐标方程为

，

的极坐标方程为

（21

综上，P

23．解：（1

当且仅当x y=

（2）由于

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