2018年八年级上学期数学期中复习专题(教师版)

期中复习专题
专题1 等腰直角三角形综合探究
1.已知，在△ABC 中，CA ＝CB ＝10，O 为AB 的中点，点E ，F 分别在直线AC ，BC 上，且∠EOF ＝2∠A． (1)若∠A＝450．
①如图①，连接OC ，当E ，F 分别在线段AC ，BC 上时，求证：△COF≌△BOF； ②如图②，当E ，F 分别在AC 延长线上和CB 延长线上时，求CF-CE 的值；
(2)如图③，若∠A＝30°，且E ，F 分别在AC 延长线上和线段BC 上，试说明CF 与CE 满足怎样的关系式．
【解析】(1)①∵CA ＝CB ，∠A＝45°∴∠A＝∠B＝45°,∠ACB＝90°.∵AO ＝OB ，∴OC ＝OA ＝OB ，
∠ACO ＝∠BC0＝45°,CO ⊥AB.∵∠EOF＝2∠A＝90°,∠COB＝90°，∴∠EOF＝∠COB ,∴∠EOC＝∠BOF ，
在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠B ,CO＝OB ，∠EOC＝∠FOB，∴△EOC≌△FOB (ASA). ②连接CO ，由①易知∠ACO-∠ABC ＝45°，∴∠ECO＝∠OBF ＝135°.∵∠COB＝∠EOF＝90°， ∠COE ＝∠BOF．在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠F BO ，CO ＝OB ，∠EOC＝∠FOB， ∴△FOC≌△FOB (ASA).∴EC ＝BF,∴CF-EC ＝BC ＋BF-EC ＝BC ＝10.
(2)CF-CE ＝5．连接OC,在CF 上截取CM ＝CO ，连接EF ，OM.∵∠A＝∠B＝30°,O 为AB 中点， 易得∠ACB ＝120°,CO ⊥AB.∴∠ACO＝∠BCO＝60°,∴∠OCE＝120°.∵CM ＝CO ，∴△COM 为等边三角形，
∴∠COM ＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠OCE.∵∠EOF ＝2∠A ＝60°，∴∠COM ＝∠EOF ，∴∠COE ＝∠MOF ．
M
F E
F
E
F
E
O
C
B A 图① 图② 图③
A
B
C
O
A B
C
O
在△COE 和△MOF 中，∠COE＝∠MOF ,CO＝MO,∠OCE＝∠OMF，∴△COF≌△MOF．∴CE ＝MF ． ∴CF-CE ＝CF-MF ＝CM ＝CO.在Rt△AOC 中，∠A＝30°,AC ＝10，∴C0＝5．∠CF-CE ＝5．
2．（2016秋.黄陂区月考）已知在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB＝∠CBA ＝45︒，点M 为直线BC 上任意一点，过
点C 作CD ⊥AM 交AB 于点D ，在BC 上取一点N ，使CN ＝BM ．连接DN ． (1)如图，M ，N 在线段BC 上，求证：∠AMC＝∠DNB；
(2)若M ，N 分别在CB ，BC 的延长线上，试画出图形，并说明(1)中的结论是否成立？
【解析】(1)如图①，作BG 上BC ，交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 才0．∵AM ⊥CD ，BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG 90°,∴∠ACO＋∠CAO＝90°∴∠ACO ＋∠BCG ＝90°∴∠CAM ＝∠BCG ∵AC ＝BC ，易证△ACM≌△CBG (ASA),∴ CM ＝BG ，∠AMG.∴CN ＝BM,∴BN ＝CM ＝BG.∵∠DBN ≌△DBG ( SAS), ∴ ∠G ＝∠BND,∠AMC＝△DNB
(2)(1)中的结论成立．理由：作BG 上BC,交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 的延长线于O ，∵AM ⊥CD ，
BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM ＝90°，∴∠ACO ＋∠CAO＝90°,∠ACO ＋∠BCG ＝90°，∴∠CAM ＝∠BCG．又∵AC ＝BC ，∴△ACM ≌△CBG(AAS)，∴CM ＝BG,∠M＝∠G.∵CN=BM ，∴CM ＝BN=BG ．∵BD=BD ,∠DBN ＝∠DBG =＝45°,BN ＝BG ，∴△DBN≌△DBG( SAS)，∴∠G ＝∠N ，∴∠M ＝∠N ．
N
M
D
C
B
A
答图
图① 图②
O
N
M
D
C B
A
G
G
A
B
C
D
M
N
专题2 等腰三角形与全等
1．（2017秋·青山区期中）已知，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点在同一直线上，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝120°．
(1)如图①，求证：BD ＝AE ；
(2)如图②，AF 平分∠BAC，且AF ＝AB ，连接FD ，FE ，试判断△FDE 的形状，并说明你的结论．
【解析】(1)∵∠BDA ＝∠BAC＝120°，∴∠DBA＋∠DAB ＝∠CAE＋∠DAB ＝60°∴∠DBA ＝∠CAE.
在△BAD 和△ACE 中，∠BDA＝∠AEC,∠DBA＝∠CAE,BA ＝AC ，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴BD ＝AE.
(2)△DEF 为等边三角形．理由：如图②，连接BF,CF.∵AB ＝AC ＝AF ,AF 平分∠BAC,∠BAC ＝120°，
∴△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴BF-AF ＝AB ＝AC ＝CF ，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°.由(1)知△ADB ≌ △CEA(AAS),∴BD ＝AE,∠DBA＝∠CAE ．∵∠ABF＝∠CAF＝60°,∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF 和△AEF 中,FB ＝FA ，∠DBF＝∠FAE ,BD ＝AE ，∴△DBF ≌△EAF (SAS)．∴DF ＝EF ,∠BFD＝∠AFE ．∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA ＋∠BFD＝60°，∴△DEF 为等边三角形．
2．（2016秋·武昌区期末）已知，在△ABC 中，AC ＝BC ，
(1)如图①，分别过A ，B 做AM ⊥BC ，BN ⊥AC ，垂足分别为点M ，N ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ＝BP ；
(2)如图②，分别在AC 的右侧，BC 的左侧做等边△ACE 和等边△BCD，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ，求证：点G 是AB 的中点；
(3)在(2)的条件中，当∠ACB 的大小发生变化时，设直线CD 与直线AE 相交于H 点，当∠ACB
图① 图②
E
F
E
D
C
B
A
C
B
等于 时，使得AH ＝CD ．
【解析】(1)∵AM ⊥BC,BN ⊥AC ，∴∠AMC 一∠BNC＝90°.∴∠C＋∠CAM ＝90°,∠C＋∠CBN ＝90°.∠CAM＝∠CBN．∴CA ＝CB,∴∠CAB＝∠CBA，∴∠PAB ＝∠PBA，∴PA ＝PB. (2)∵CA ＝CB ∴∠CAB＝∠CBA．∵△AEC 和△BCD 为等边三角形，∴∠CAE ＝∠CBD．∴∠FAG ＝∠FBG．∴AF ＝BF.在△ACF 和△BCF 中，AF ＝BF ,AC ＝BC ,CF ＝CF ，∴△AFC ≌△BFC(SSS), ∴∠ACF ＝∠BCF．∵AC ＝BC ，∴AG ＝BG ，即点G 为AB 的中点．
3．（2017秋·黄陂区期中）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC＝∠DAE，BC 交DE 于点O ，∠BAD＝a ． (1)求证：∠BOD＝a ；
(2)若AO 平分∠DAC，求证：AC ＝AD ；
(3)若∠C＝30°，OE 交AC 于F ，且△AOF 为等腰三角形，则a .
【解析】(1)设AD 交OB 于K.在△ABC 和△ADE 中,AB ＝AD ,∠BAC＝∠DAE ,AC＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)，∴∠B＝∠D．∵∠AKB ＝∠DKO，∴∠BOD＝∠BAD＝a.
(2)过A 作AM ⊥BC 于M ，作AN ⊥DE 于N,∵△ABC ≌△ADE ，∴S △ABC ＝S △ADE ,BC ＝DE ，
∴
12
BC ·AM ＝
12
DE ·AN ，∴AM ＝AN ．∴AO 平分∠BOE，
图① 图②
G
P
A
B
C
D
A B
C
E M
N
A
B
C
D
O
E
∴∠AOB＝∠AOE．∴AO 平分∠DAC，∴∠DAO＝∠CAO．∴∠DAE -∠DAO＝∠BAC -∠CAO，即∠BAO ＝∠EAO．
在△ABO 和△AEO 中，∠BAO＝∠EAO,AO＝AO,∠AOB＝∠AOE，∴△ABO ≌△AEO(ASA),∴AB ＝AE,∵AB ＝AD ,AC ＝AE,∴AC ＝AD.
4．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为底边BC 上一动点，连接AP ，在AP 左侧作等腰△APD，使PA ＝PD ，∠APD＝∠BAC，连接BD ．
(1)如图①，若∠APD＝∠BAC＝60°，求证：△ABD≌△ACP；
(2)如图②，若∠APD -∠BAC＝90°，AB ＝2，当点P 由点C 运动到点B 时： ①∠PBD 的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点D 运动的路径长度，
【解析】(1)如图①，∵∠BAC＝60º，AB=AC ，∴△ABC 为等边三角形，同理，得△APD 也是等边三角形，∴AD =AP ，∠DAP ＝∠BAC=60º，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠CAP＋∠BAP，∴∠DAB ＝∠CAP,∴△ABD∽△ACP (SAS)．
(2)①∠PBD 的大小会发生变化．过A 作AF ⊥BC ，交BC 于F ，则F 是BC 的中点， i ）当点P 在FC 上运动时，∠PBD＝45º，如图②，理由：过点D 作DG ⊥BC 于G ，
∵∠APF＋∠DPG ＝90º,∠GDP＋∠DPG =90º，∴∠APF＝∠GDP．∵∠AFP＝∠DGP =90º,AP ＝PD, ∴△AFP≌△PGD (AAS),∴AF=PG ,PF ＝GD.∵AF ＝BF,∴BF=PG ∴BF-FG=PG-FG,即BG=PF ． ∴BG ＝GD ，∴△BGD 是等腰直角三角形，∴∠PBD＝45º; ii ）当点P 与中点F 重合时，∠PBD＝O º;
iii ）当点P 在BF 上运动时，∠PBD＝135º，理由：如图③，过点D 作DG 上BC,交CB 的延长线于点G ，易证：
△APF ≌△PDG ，∴AF ＝PG,PF ＝DG ．又∵AF ＝BF ，∴PG ＝BF ，∵BG ＝PF ＝DG ．∴△BDG 是等腰直角三角形，∴∠GBD＝45º，∴∠PBD＝135º.
图① 图②
D C
A
P
P B
A
B
C
D
②如图:D，点D运动的路径是从点D到点E，当点P在点C时，设AD交BC于F，∵△APD 与△ABC都是等腰直角三角形，∴AD⊥BC．当点P运动到点B时，由∠APD=90º得∠ABE=90º，∴∠ABC=45º，∴∠CBD=45º，∠EBD＝180º，∴E，B，D在同一直线上．∵△ADE是等腰直角三角形．AB＝2，∴ED=2AB=4，∴点D运动的路径长庋为4．
专题3 等边三角形综合探究
1．（2017秋·青山区期末）已知△ABC 是等边三角形，过点C 作CD ‖AB ，且CD=AB ，连接BD 交AC 于点O ．
(1)如图①，求证：AC 垂直平分BD ；
(2)点M 在BC 的延长线上，点N 在AC 上，且ND=NM ，连接BN ， ①如图②，点N 在线段CO 上，求∠NMD 的度数；
②如图③，点N 在线段AO 上，求证：NA=MC ．
【解析】(1)△ABC 是等边三角形，∠ABC=∠ACB =∠CAB=60º．AB∥CD，∠ACD=∠A=60º=∠ACB，又CD=AB=BC ，∵BO=DO,CO ⊥BD ，∴AC 垂直平分BD.
(2)①如图②，由①知AC 垂直平分BD ， NB=ND,∠CBD =
1
2
∠ABC=30º.∴∠1=∠2， ∴∠BND=180º-2∠2．
∵ND=NM ，∴NB=NM ，∴∠3=∠4,∠BNM=180º -2∠4，∴∠DNM=360°-(180°-2∠2)一(180°-2∠4)=2(∠2＋∠4)=60°,又∵ND=NM ，∴△NMD 为等边三角形，∴∠NMD=60°.
②连接AD ．如图，由题意知，△ACD 是等边三角形，∴∠ADC=60°,AD=CD ．与①同理可证∠1=∠2，
∠3=∠NBM，∠BND=180°-2∠2, ∠BNM=180°-2∠NBM，∴∠MND=∠BND -∠BNM=2(∠NBM -∠2)=60°．
3
2
143
2
1
N
M
M
N
O
D
C
B
A O
D
C
B
A O
D
C
B A
图① 图② 图③
图① 图② 图③
A
B C
D
O
A B
C
D
O
A B
C
D
O
N
M
M
N
∵ND=NM ，∴△MND 是等边三角形．∴DN=DM ,∠NDM 一60°,∠ADC 一∠NDM ，
∴∠NDA =∠MDC.在△AND 与∠CMD 中，DN=DM ，∠NDA=∠MDC ,AD=DC，∴△AND ≌△CMD(SAS),∴NA=MC.
2．（2017秋·东湖高新区期末模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =300，△CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．
(1)如图①，当点E 在边BC 上时，求证：DE =EB ；
(2)如图②，当点E 在△ABC 内部时，猜想ED 和EB 的数量关系，并加以证明；
(3)如图③，当点E 在△ABC 外部时，EH 上。

气B 于点H ，过点E 作GE∥AB，交线段AC 的延长线于点G ， AG=5CG ，BH =3．求CG 的长．
【解析】(1)∵△CDE 是等边三角形，∴∠CED =60°，∴∠EDB=60°-∠B=30°，∴∠EDB =∠B，∴DE=EB.
(2)ED =EB ．理由如下：取AB 的中点0，连接CO ,EO ．∵∠ACB=90°,∠ABC =30°，∴∠A 一60°,OC=OA.
，∴△ACO 为等边三角形，∴CA=CO ．∵△CDE 是等边三角形，∴∠ACO =∠DCE，∴∠ACD=∠OCE ．
在△ACD 和△OCE 中，CA=CO, ∠ACD =∠OCE，CD=CE ，∴△ACD cn△OCE(SAS)， ∴∠COE=∠A=60°,∴∠BOE=60°.在△COE 和△BOE 中，OC=OB ,∠COE =∠BOE ,OE=OE， ∴△COE ≌△BOE( SAS),∴EC =EB,∴ED=EB.
(3)取AB 的中点0，连接CO ,EO ,EB ，由(2)得△ACD≌△OCF,，∴∠COE=∠A=600，∴
G
H
图① 图② 图③
A B
C
D
A
B
C
D A
B
C
D
E
E
E
O O
E
E
E
D
C
A
D C
B
A
D
C
B A 图① 图② 图③
H
G
∠BOE=60°.
易证△COE≌△BOE( SAS)，∴EC=EB，∴ED=EB.∵EH⊥AB，∴DH=BH=3.∵GE‖AB，∴∠G=180°-∠A=120°.在△CEG和△DCO中，∠G=∠COD ,∠GEC=∠OCD（易证），CE=CD，∴△CEG≌△DCO( AAS)，
∴CG=OD.设CG=a，则AG=5a ,OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB，∴4a=a＋3＋3，
解得a=2,即CG=2．
专题4 代几综合
1．（2017秋·东湖高新区期中）如图①，在平面直角坐标系中，A ，B 坐标分别为(6，O)，(O ，6)，P 为线段AB 上的一点．
(1)如图①，若S △AOP ＝12，求点P 的坐标；
(2)如图②，若P 为AB 的中点，点M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，点M 从顶点A ，点N 从顶点O 同时出发，且它们的速度都为1 cm/s ，则在M ，N 运动的过程中，线段PM ，PN 之间有何关系？并证明；
(3)如图③，若P 为线段AB 上异于A ，B 的任意一点，过点B 作BD ⊥OP ，分别交OP ，OA 于F ，D 两点，E
为OA 上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．
【解析】(1)P(2，4)．
(2)结论：PM=PN ,PM ⊥PN,如图②，连接OP ．由题意易证△PON≌△PAM (SAS)， ∴ PN ＝PM ,∠OPN=∠APM，∴∠NPM＝∠OPA＝90°，∴PM ⊥PN,PM ＝PN.
(3)结论：OD ＝AE ．理由：如图③，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG =∠BOD=∠OFD＝90°
∠ODF＋∠AOG＝90°,∠ODF＋∠OBD＝90°，∴∠AOG=∠DBO．又∵OB=OA,∠BOD＝∠OAC ，∴△DBO ≌△GOA (ASA)，∴OD ＝AG ,∠BDO＝∠G．∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G=∠AEP．∵∠PAE ＝∠PAG＝45°,PA ＝PA ，
∴△PAE ≌△PAG(SAS)，∴AE ＝AG ．又∵AG ＝OD ，∴OD=AE.
2．已知，等腰直角△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图①，点A(O ，2)，点B （-6，O ），点C 在第四象限．
图① 图② 图③
(1)点C 的坐标为 ；
(2)如图②，若AC 交x 轴于M ，BC 交y 轴于D ，E 是AC 上一点，且CE ＝AM ，连接DE ，求证:AD ＋DE=BM ；
(3)如图③，在y 轴上取点F （0，-6），点H 是y 轴上F 下方任一点，作HG ⊥BH 交射线CF 于G ，在点H 位置变化的过程中，
BH
GH
是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
【解析】 (1)(2,-4)
(2)如图②，作CK ⊥AC 交x 轴于K ．易知∠ABM＝∠CAK.∵∠BAM =∠ACK＝90°,AB ＝AC, ∠ABM =∠CAK，∴△ABM≌△CAK (ASA)，∴AM ＝CK ,BM=AK ．∵CE=AM ，∵CE=CK. ∵∠DCE＝∠DCK ,DC=DC，∴△CDE ≌△CDK，∴DE=DK ，∴AD ＋DE ＝AD ＋DK ＝AK=BM.
(3)结论：
BH
GH
=1．理由：如图③，作AI ⊥AF 交FB 的延长线于I ，作HJ ⊥BF 于J, HK ⊥GF 于K,∵B(-6,O),F(0,-6)，∴OB ＝OF ，∴△BOF 是等腰直角三角形，∴∠AFB＝45°,∵AI ⊥AF ，∴∠I＝∠AFI＝45°，
∴AI=AF.∵∠BAC＝∠IAF =90°，∴∠IAB＝∠FAC．∴AI ＝AF,AB ＝AC ，∴△AIB ≌△AFC,
图① 图②
图①
∴∠CFA＝∠I 一45°，
∴∠BFC＝90°, ∴∠GFH 一∠HFJ＝45°∴∠BFG 一∠BHG＝90°∴∠HBF＝∠HGF ，
易证△HJB≌△HKG(AAS)，∴BH ＝GH,
BH
GH
=1
3．（2017秋·洪山区期中）在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，A(0，6)，B(6，O)．点D 是线段BO 上一点，BN ⊥AD 交AD 的延长线于点N ．
(1)如图①，若OM∥BN 交AD 于点M ．过点0作OG ⊥BN ，交BN 的延长线于点G ，求证：AM ＝BG ；
(2)如图②，若∠ADO =67.5°,OM ‖BN 交AD 于点M ，交AB 于点Q ，求
MD
AD OQ
的值；
(3)如图③，若OC∥AB 交BN 的延长线于点C ．请证明：∠CDN＋2∠BDN＝180º．
【解析】(1)如图①，∵BN ⊥AN ，OM∥BG，∴OM ⊥AN,∴∠AMO =∠ANB =∠AOD＝90°,∵∠ADO ＝∠BDN，
∴∠OAD＝∠DBN,∵A(0,6),B(6,O)，∴OA=OB ．∵OG ⊥BG ，∴∠OGB=∠OMA＝90°， ∴△AOM ≌△BOG ，∴AM ＝BG.
图① 图② 图③
(2)如图②，作BH ⊥OQ 交OQ 的延长线于H.
∵∠ADO＝67.5∴∠BOH =∠OAM =22.5°.∵ OA=OB ,∠AMO＝∠H＝90°，∴△OAM≌△BOH ，∴OM=BH ,
AM=OH ．∵AN ⊥OH ,OH ⊥BH ，∴AN∥BH，∴∠ADO＝∠OBH＝67.5°．∵∠OBA=45°, ∴∠HBQ＝∠DOM＝22.5°.∵∠OMD＝∠H＝90°，∴△OMD≌△BHQ ．∴DM ＝QH ．∴AD-OQ ＝AM ＋DM-(OH -HQ)＝2DM ，∴
1
22
MD AD OQ
MD MD =
-= (3)如图③，作OE 平分∠AOB 交AD 于E ．∵OC∥AB，∴∠COB 一∠ABO 一∠AOE＝45°,∵OA=OB ， ∠0AE＝∠OBC，∴△AOE≌△BOC ，∴OE=OC ，又∵∠EOD＝∠DOC ,OD ＝OD ，∴△ODE≌△ODC(SAS)，
∴∠ODE=∠0DC.∵∠ODE=∠BDN，∴∠ODC＝∠BDN．∵∠CDN＋∠0DC ＋∠BDN=180°，∴∠CDN ＋2∠BDN＝180°.
图① 图② 图③。