常微分方程试题库.讲课稿
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t L 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠L５、11110n n nn n n n d y d dy x a a a y dx dx dx ---++++=L６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
(完整版)常微分方程期末考试试卷
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt ４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ ５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t Cψφ=７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =由公式expAt= 10()!in t ii te A E i λλ-=-∑得４、解：方程可化为3284dy y dx x dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*）（*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y pdy -+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
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~~01|02|1|8|A1000011_030_1|247 ^^dyy xinx dx=+ ^^解： (s i n )1[(s i n c o s )]21(s i n c o s )2d x d xxxx y e xe dx c e e x x c ce x x --⎰⎰=+=-++=-+⎰ 是原方程的解。
~~02|02|1|10|A1000011_030_2|248 ^^2dyxy dx=,并求满足初始条件：(,)x y 0,1x y ==的特解. ^^解：对原式进行变量分离得12dy xdx y= 两边同时积分得：21ln y x c =+，即2x y ce = (这里1cc e =) 把0,1x y ==代入得1c = 故满足初如始条件的特解2x y e = ~~02|02|1|9|A1000011_030_3|249^^2(1)0y dx x dy ++=并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. ^^解：对原式进行变量分离得：2111dy dx y x -=+ 两边同时积分得：1ln 1x c y =++即1ln 1y c x =++ 当0y =时显然也是原方程的解。
当0,1x y ==时，代入上式得1c = 故特解是1ln 1y x=+~~03|02|1|7|A1000011_030_4|250^^证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
^^证明：设(,)x y 为所求曲线上的任意一点，则y kx '=则：2y kx c =+即为所求。
~~03|02|1|8|A1000011_030_5|251 ^^设(,)f x y 及fy∂∂连续,试证方程(,)0dy f x y dx -=为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.^^证:必要性 若该方程为线性方程,则有()()dyP x y Q x dx=+ , 此方程有积分因子()(),()P x dxx e x μμ-⎰=只与x 有关 . 充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子()x μ . 则()()(,)0x dy x f x y dx μμ-=为恰当方程 ,从而(()(,))()(),()x f x y d x f x y dx y x μμμμ'∂-∂==-∂∂,()()()()()()()()x x f dy Q x y Q x P x y Q x x x μμμμ''=-+=-+=+⎰. 其中()()()x P x x μμ'=-.于是方程可化为(()())0dy P x y Q x dx -+= 即方程为一阶线性方程.~~02|06|1|8|A1000011_030_6|252^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态2296456654dx x y xy x dtdy x y xy y dt⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩ ^^解: 由29645066540x y xy x x y xy y ⎧-+-=⎨--+=⎩ 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)对于奇点(0,0)可知不稳定 对于奇点(1,2)可知不稳定 对于奇点(2,1)可知渐进稳定 ~~02|06|1|7|A1000011_030_7|253^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态2(),0dx y dtdy x y dtμχμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+->⎪⎩^^解:由2()0,0y x y μχμ=⎧⎨-+-=>⎩得奇点(0,0),(-1/μ,0)对于奇点(0,0) 驻定解不稳定对于奇点(-1/ μ,0) 得驻定解不稳定 ~~01|03|1|8|A1000011_030_8|254 ^^2()0dy dyx y dx dx+-= ^^解：这是克莱洛方程，因此它的通解为2y cx c =+，从220y cx c x c ⎧=+⎨+=⎩中消去c,得到奇解240y y +=.~~02|03|1|6|A1000011_030_9|255 ^^求曲线族的包络2210c y cx +-=^^解：对c 求导，得2220,2x yc x c y+==-，代入原方程得4421042x x y y y--=，即440x y +=， 经检验得440x y +=是原方程的包络. ~~02|03|1|7|A1000011_030_10|256 ^^求曲线族的包络22()()4x c y c -+-= ^^解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2x yc += 代入原方程得2()8x y -=.经检验,得2()8x y -=是原方程的包络.~~03|03|1|10|A1000011_030_11|257^^试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.^^证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()0()y cx f c x f c =+⎧⎨'=+⎩中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()0()y cx f c x f c =+⎧⎨'=+⎩中消去c 而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. ~~01|04|1|7|A1000011_030_12|258 ^^(4)540xx x ''-+=^^解：特征方程422345402,2,1,1λλλλλλ-+===-==-1有根 故通解为221234t t t t x c e c e c e c e --=+++ ~~01|04|1|7|A1000011_030_13|259 ^^23330x ax a x a x ''''''-+-=^^解：特征方程3223330a a a λλλ-+-= 有三重根a λ=故通解为2123at at at x c e c te c t e =++ ~~03|04|1|9|A1000011_030_14|260^^设()x t 和()y t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间a t b ≤≤上有()()x t y t ≠常数或()()y t x t 常数，则()x t 和()y t 在区间a t b ≤≤上线形无关。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
常微分方程选择题及答案.docx
湖北师范学院优质课程《常微分方程》试题库及试题解答课程负责人：李必文数学系2005 年 3 月 18 日选择题（每小题 4 分）1、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x2 - 2x10(B)y'xy2(C)u2u2u(D)y x2 c (c为常数）t x2y22、下列微分方程是线性的是（）(A)y 'x2y2(B)y" y2e x(C)y"x20(D)y'- y xy 23、方程y "3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为 ()(A)y1ax2ey-2 x(B)y1(ax2bx c)e-2 x(C)y1x2 ( ax2bx c)e-2 x(D)y1x2 (ax2bx c)e-2x4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4, x(B)x,2 x, x2(C)5,cos 2 x,sin 2 x(D)1,2, x, x25、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是()(A)x y(c - e y )(B)x y(e y c)(C)y x(e x c)(D) y x(c - e y )6、下列方程中为常微分方程的是（）(A)t2 dt xdx 0(B)sin x1(C) y x 1 c (c为常数）2u2u0(D)2y2x7、下列微分方程是线性的是（）(A)y' 1y2(B)dy1(C) y '2by cx(D)dx 1 xyy ' xy408、方程y "- 2 y ' 2y(A)y1e x[( Ax(C)y1e x[( Ax(D)y1xe x[( Axe x (x cos x2sin x) 特解的形状为()B)cos x C sin x](B)y1e x [ Ax cos x C sin x] B) cosx( Cx D ) sin x]B) cos x(Cx D ) sin x]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 1, x, x 3(B)2x 2 , x, x 2(C)1,sin 2 x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos 2 (x1)10、微分方程 ydx - xdyy 2exdx 的通解是 ()(A)y x(e x c)(B)x y( e xc)(C)x y(c - e x )(D) y( x - ) x e c11、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 2y 2 -1(B)y 'x 2y(C)2u 2u 2u(D)xy 2 c (c 为常数）2x 2y 212、下列微分方程是线性的是（）y 2y =y 3+sin xy +y =y 2cos x(A)(B)+6 y =1(C)(D)13、方程 y+y =2sin x 特解的形状为 ()(A) y 1 x( A cos x B sin x)(B)(C)(D)14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1,t(B)e t ， 2e t ,e -t(C) (D)15、微分方程 ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是 ( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x )(C)x=y(c-e x )(D)y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x 2+y 2-z 2=0(B) yce x(C) u u(D)y=c 1 cost+c 2sint (c 1,c 2 为常数）tx17、下列微分方程是线性的是（）3x + y 2y +(1/3) y4 (A)x (t ) -x=f(t)(B)y +y=cos x(C)= y(D)=y18 、方程 yy-xx 特解的形状为( )-2 y +3 =e cos(A) y 1 Acosx B sin x(B)y 1 Ae x(C) y 1e x ( Acos x B sin x)(D)y 1Axe x cosx19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)e t ,e 2t ,e 3t(B)0,t ,t 2(C) 1 sin 2 (t1),cos( 2 2)(D) 4-t,2t-3,6t+8，t20、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是 ( )(A) x=y(ey+ c) (B) x=y(c-ey)(C) y=x(ex+c)(D)y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x 3+1=0(B) y ce x(C)u u (D)t xy 2y'e x22、下列微分方程是线性的是（）(A) y +y 2=1+x(B)y' 2 +y=cosx(C)y - 2y=2x 2(D)xdx+ydy=023、方程 yy9 y16e 3x6 '特解的形状为 ( )(A) y 1 Ae 3x(B) y 1 Ax 2 e 3x(C)y 1Axe 3x(D)y 1e 3x ( A sin 3x B cos3x)24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) xx2e x(B)22(C)1,2, x 2(D)0,e 5x4 x 2e , xe , x2,cosx, cos xx, e x25、微分方程 ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是 ()(A) y=x(c-2e x )(B)x=y(c+2e x )(C)x=y(c-2ex)(D)y=x(c+2e x )26、微分方程dyytg y的通解为（）1 dxxxy=x +cy=c xx=c x(A)cx(B) sin(C) sin(D) sinyxxysinx27、微分方程 2y y =(y ) 2的通解（）(A) ( x-c ) 2(B)c 1222(C)122(D) c12 ) 2( x -1) +c ( x +1)c +( x -c )( x -c28、微分方程 xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(ex+c)(B)x=y(e y +c)(C) y=x(c-e x )(D)x=y(c-e y )29、微分方程 y -2 y-3 y =0 的通解 y为（）(A)c 1 c 2 x 3(B)c 1 xc 2 (C)c 1e xc 2 e 3x(D)c 1e x c 2 e 3 xxx 330、微分方程 y ''-3y '+2 y =2x -2 e x 的特解 y *的形式是（）(A) (ax+b)e x(B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x(D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是()dx(A) e yx1e yx 1 0(C) e yx 1(B)(D)2 yx 22x32、设 y(x) 满足微分方程 ( cos 2x)y 1 +y=tgx 且当 x=/4 时 y=0，则当 x =0 时 y =()(A) /4 (B) -/4 (C) -1 (D) 133 、 已 知 y=y(x) 的 图 形 上 点 M(0,1) 处 的 切 线 斜 率 k=0 ， 且 y(x) 满 足 微 分 方 程y1 ( y') 2，则 y(x)= ( )(A) sin x(B) cosx(C)34、微分方程y -2 y -3 y =0 的通解是 y =( )shx(D)chx(A) x 3x3(B) c 1 xc 2 (C) c 1 e xc 2 e 3 x(D)c 1 exc 2 e3xx 335、设 y 1 ( x), y 2 ( x), y 3 ( x) 是线性非齐次方程 d 2 ya(x)dyb( x) yf ( x) 的特解，dx 2 dx则 y (1 c 1c 2 ) y 1 ( x) c 1 y 2 (x) c 2 y 3 ( x)(A) 是所给微分方程的通解 (B)不是所给微分方程的通解(C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x) 满足y sinx=yLny ，且 y ( /2)= e ，则 y ( /4)=（）(A) e /2(B)e -1(C)e 21(D)e 2337、微分方程 ynytgxy 2 cos x0 的通解是（ ）(A)arctgx c(B)1 ( arctgx c)(C)1arctgx c(D)1xxarctgxcx38、微分方程 ( 1+y 2)dx=(arctgy-x)dy的通解为（）(A)x arctgy 1ce arctgy (B) x arctgy 1 ce arctgy (C) xarctgy ce arctgyc(D)xarctgyce arctgyc39、微分方程 y4 y 21 cos2 x 的通解为 y=（ ）(A) e xc x 2c x c 3(B) c x 2 c x c31212(C) c 1e xc 2 x c 3(D)c 1 x 3 c 2 x 2 c 340、微分方程 y7 y6ysin x 的通解是 y =（）(A) e x 745sin x747cosx(B)c 1e x c 2 sin x c 3e xc 4 cos x (C)( cc x)e x(c c x)ex(D)(cc x) sin x (cc x) cosx41、通过坐标原点且与微分方程dy x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )dx(A)e yx 1(B)e yx 1 0(C)e yx 1 (D)2 yx 2 2x42、设 y(x) 满足微分方程 xy 1 +y-y 2Lnx=0 且当 y(1)=1, 则 y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43 、 已 知 yy(x) 满 足 ( x 22xyy 2 )dx( y 22xy x 2 )dy0 ， 且 y(1)1 则y12 ( )2(A)1(B) 1/2(C)2(D) 122244、微分方程 y2xy' 满足初始条件 y 01 , y' 0 3 的特解是 y=()x 2 1x x(A)x 3x 3(B)x 3 3x 1(C)x 2 x 3(D)x 23x145、微分方程 y6y' 13y 0 的通解是 y=( )(A) e 3 x ( c 1 cos2x c 2 sin 2 x) (B) e 2x (c 1 cos3x c 2 sin 3x) (C)e 3x (c 1 cos2x c 2 sin 2x)(D)e 2 x (c 1 cos3x c 2 sin 3x)46、微分方程 y'2 yc0 满足 y0 的特解 y =（）xx2(A)4 x 2x 24x 2(ln xln 2) 1(ln x ln 2)x24(B)4 x2(C)(D) x 247、微分方程 y' ytgxy 2 cosx0 的通解是（）(A)1 ( x c)cos x(B)y ( xc)cos xy1 x cos xc(D)yx cosx c(C)y48、微分方程 ( y 2-6x ) y+2y=0 的通解为（）(A) 2x-y2+cy 3=0(B) 2y-x3+cx 3=0 (C) 2x-cy2+y 3=0 (D) 2y-cx3+x 3=049、微分方程 y 4 y21cos2 x 的特解的形式是 y=（）bcos2 x50、满足微分方程 y7 y 6y(A) e x 745 sin x 747cosx (C) e 6x745sin x747cos x(B)axcos2x(D)axsin2 x bx cos2xsin x 的一个特解y* =（）(B)e x 745sin x 747cos x(D)exe 6x745 sin x 747 cosx51、初值问题 y" 4y 0, y(0) 0, y'(0) 1 的解是 y(x) （）（其中其通解为y(x)c 1 sin 2xc 2 cos2 x, c 1, c 2 为任意常数）(A)1sin 2 x(B)1sin 2x(C)1sin3 x（D ）1sin3 x323252、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 43x 2x 1 0(B) y" y ' x 2 (C)u 2u2u(D)u v 2wtx 2 y 253、下列微分方程是线性的是（）(A) y"xy ' y x 2(B) y 'x 2 y 2 (C)y " xy 2f (x) (D)y " y 'y 354、已知 F ( x, y) 具有一阶连续偏导， 且 F (x, y)( ydxxdy) 为某一函数的全微分， 则（ ）(A)FF(B)F yF (C)x F y F y F Fxy xyx (D) x xxy y55、设 y ( x), y 2(x), y (x) 是二阶线性非齐次微分方程y" P(x) y' Q ( x) yf ( x) 的三个线13性无关解，c 1 ,c 2 是任意常数，则微分方程的解为 ( )(A) c 1 y 1 c 2 y 2 y 3(B)c 1 y 1 c 2 y 2 (1 c 1 c 2 ) y 3(C) c 1 y 1 c 2 y 2(c 1 c 2 ) y 3(D)tc 1 y 1 c 2 y 2(1 c 1 c 2 ) y 3f (x) 满足关系式 f (x)2 x dtln 2 ，则 f ( x) 为（56、若连续函数 f2）(A) e xln 2(B)e 2x ln 2 (C)e x ln 2(D) e 2 xln 257、若 y 1e 3 x , y 2 xe 3 x ，则它们所满足的微分方程为（）(A) y" 6 y' 9 y 0 (B) y" 9 y 0(C)y" 9 y 0 (D)y" 6 y' 9y 058 、设 y 1 , y 2 , y 3 是二阶线性微分方程 y" p(x) y ' q(x) yr ( x) 的三个不同的特解，且y 1 y 2 不是常数，则该方程的通解为（ ）y 2 y 3(A) c 1 y 1 c 2 y 2 y 3(B)c 1 ( y 1 y 2 ) c 2 ( y 2 y 3) y 1(A) a cos2x(C) asin2 x(C)c1 y1c2 y3 y2(D)c1 ( y1y2 )c2 ( y2y3 )59、设f ( x)连续，且满足方程1f tx dt nf ( x)( n N ) ，则 f (x)为（）01 n(A)cx n(B)c(c 为常数）(C) c sin nx(D)ccosnx60、设y1, y2是方程y" p( x) y 'q( x) y0 的两个特解，则y c1 y1 c2 y2（ c1,c2为任意常数）（）(A) 是此方程的通解(B) 是此方程的特解(C) 不一定是该方程的解(D) 是该方程的解61、方程( x22x) y" ( x22) y '(2 x2) y0 的通解为（）(A)y c1e x c2(B)y c1e x c2e x(C) y c1e x c2x2(D)y c1e x c2 x62、微分方程y" y 'e x1的一个特解形式为（）(A)ae x b(B)axe x bx(C)ae x bx(D)axe x b63、方程( pxy y2) dx (qxy2x2 )dy0 是全微分的充要条件是（）(A)p 4, q2(B)p4, q2(C)p4, q2(D)p4, q264、表达式[cos(x y2) ay]dx[bycos(x y2)3x]dy 是某函数的全微分，则（）(A)a 2,b2(B)a3,b2(C)a2,b3(D)a3,b365、方程y"'y "y 'y xe x是特解形式为（）(A)(ax b)e x(B)x(ax b)e x(C) x2(ax b)e x(D)e x[( ax b)cos 2x ( cx d )sin 2x]66、方程y" 2 y'y xe x的特解 y*的形式为（）(A)axe x(B)(ax b)e x(C)x(ax b)e x(D)x2 (ax b)e x67、已知y1coswx 与 y23cos wx 是微分方程y"w2 y0 的解，则 y c1 y1c2 y2是（）(A)方程的通解(B)方程的解，但不为通解(C)方程的特解(D)不一定是方程的解68、方程y"3y ' 2 y3x2e x的特解 y*的形式为（）(A)( ax b)e x(B)(ax b) xe x(C)( ax b)ce x(D)(ax b)cxe x69、方程y"3y ' 2 y x2e 2 x(A)y ax2 e 2x(C) y x(ax2bx c)e 2 x 特解的形式为（）(B)y( ax2bx c)e 2 x(D)y x2 (ax2bx c)e 2x70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A)4x(B)x 2x x2(C)5cos2 x sin 2 x(D) 1 2x x271、微分方程xdy ydx y2e y dy 的通解是（）(A)x y(c e y )(B)x y(e y c)(C)y x(e x c)(D)y x(c e y )72、方程dxx y 5,dy3）dt dt x 的奇点为（(A) （ 0,0）(B) (0,5)(C) (5,5)(D)(5,0)73、（ 0,0 ）为系统dxy,dy2x 3y 的（）dt dt(A)鞍点(B)结点(C)中心(D)焦点74、方程dxdydz的首次积分是（）xz yz xy(A)xy z2c(B)x2c(C)x2yz c (D)xz x2cy75、方程x2dxz2dydz的首次积分是（）y2 2 xy2xz(A)x y zc(B)x2y2z2c (C)y(D)zc x2ycxxdx2x ydt76、系统的奇点类型为（）dyx2ydt(A)稳定结点(B)不稳定结点(C)稳定焦点(D)不稳定焦点dx3x y77、系统dt4的奇点类型为（）dy4y7 xdt(A)鞍点(B)焦点(C)中心(D)结点78、方程y"y xe x有形如（）特解(A) y Axe x(B)y1( Ax2Bx c)e x(C)y1(Ax B)e x(D)Ae x79、方程x"6x '13x e t (t25t 12) 特解形状为（）(A) x 1 ( At 2 Bt c)e t(B)x 1 ( At B) e t （ C) x 1 Ate t(D)x 1 Ae t80、方程 y"2 y' 2y (A) y 1A cosxe x(C) y 1 e x( Acos xe x cos x 的特解形状为（）(B)y 1 Asin xe xB sin x)(D)y 1 Ae x81、方程 x"2x ' 2x te t cost 的特解形状为（）(A) x 1 ( At 2Btc)e t cost(B)x 1 (At 2 Bt c)e t sin t(C)x 1 e t ( Acost B sin t )(D) x 1( At 2 Bt c)e t cost (Dt 2Et F )e t sin t82、微分方程 ( ye xe y )dx (xe ye x )dy 0 的通解为（）(A) ye xxe y c (B)ye y xe xc (C)ye x xe yc (D)ye xxe yc83、微分方程 (e x sin y 2 y sin x)dx(e x cos y 2cos x)dy0 的通解为（ (A) e x sin y 2 y cos x c (B) e x co s y 2 ycos x c (C) e x sin yycos x c(D)e x cos y2y cos x c84、微分方程 e y dxx(2 xy e y )dy 0 的通解为（ ）(A) xeyy2c(B)e y y2c (C)xe yxy c(D)eyx85、方程 (e x3y 2 ) dx 2xydy 0的通解为（）(A) xe x x 3 y 2 c(B)( x 22x)e x x 3 y 2 c (C) (x 22x 2)e xx 3 y 2c(D) ( x 22) e xx 3 y 2 c）y cx86、下列方程为常微分方程的是（）(A) x 2y 2z 2 0 (B)u u 2u(C) y Asin tB sin t (D) y ' Ae xx yy 287、方程 (2 xy 4e y2xy 3 y)dx ( x 2 y 4e yx 2 y 2 3x) dy 0 的积分因子为（）(A) ( x)1(B)(x) 1 (C)1 (D)1 x 2x( y)( y)y 4y 2 88、方程 e y x(2 xy e y )dy0 的积分因子为（）(A) ( x)1(B) 1 (C) 1 (D)1x 2( x)( y) ( y)xy 2y89、方程 (e x3y 2 ) dx2xydy 0 的积分因子为（）(A)( x)1(B)( x)x2(C)( y)1(D)( y)y2x y90、方程( y 1 xy)dx xdy0 的积分因子为（）(A)( x)e x(B)( x) e x(C)( y)e y(D)( y) e y91、方程(2 x2y 2 y5) dx (2 x32x)dy0 的积分因子为（(A)( x)1(B)( x)1(C)( y)1 x1x2y92、方程2 xy3dx ( x2y21)dy 0的积分因子为（）(A)( x)1(B)(x)1(C)( y)1 x x2y93、方程e x dx(e x ctgx 2 ycos y)dy0 的积分因子为（）(A)( x) sin x(B)(x)cos x(C)( y)sin y94、方程ydx(x2y2x)dy 0 的积分因子为（）(A)( x)1(B)( y)1 x2y2(D) ( x, y)1yx）1 (D)( y)1y21 (D)( y)y2 (D)( y) cos y (C)( x, y)12y2x95、方程y3dx2( x2xy2 )dy 0的积分因子为（）1(B)11(D)1(A)(C)x2 y2 2 y x2xy x96、方程6x3 3 y0 的积分因子为（）3x dx dyy y x(A)x(B)y(C)xy(D)x2 y97、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x2 - 2x10(B)y'xy 2(C)u2u2u(D)y2c (c为常数）t x2y2x98、下列微分方程是线性的是（）(A)y 'x2y2(B)y" y2e x(C) y"x20(D)y '- y xy2选择题答案1B2C3C4A5A 6A7B8D9A10B 10B12A13A14C15D 16B17A18C19A20B 21D22C23B24A25A 26C27D28D29D30D 31A32C33D34D35D 36C37B38A39C40C 41A42B43D44B45A 46A47C48A49D50B 51B52B53A54B55B 56B57D58B59A60D 61C62D63C64B65B 66D67B68D69C70C 71B72B73B74A75B 76C77D78C79A80C 81D82C83A84B85C 86D87C88A89B90B 91B92D93C94C95D 96C97B98C。
常微分方程辅导
常微分方程辅导〔填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。
〕第一章 初等积分法一．根本类型：曲线的切线。
例1． 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。
分析： 〔1〕这是一个具有根本应用型的一阶方程，它通过斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。
〔2〕它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。
解：〔1〕设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22， 〔2〕该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．根本类型的求解（一）可别离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。
〔一阶线性方程是重点〕1．〔1〕可别离变量方程)()(x g x f dx dy= 别离变量有 ,)()()()(00C dx x f x g dyor dx x f x g dy y y x x ⎰⎰⎰⎰+==〔2〕求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。
求解方程2211x y dx dy ++=。
分析：1）这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解； 2） 它考核的是求解一阶可别离变量方程这一知识点。
解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C 1)。
例3． 求方程y xy dxdyx-=的通解. 分析：1〕这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。
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第 11 章 常微分方程习题课一 .内容提要1.基本概念含有一元未知函数 y( x) ( 即待求函数 )的导数或微分的方程 ,称 为常微分方程 ;其中出现的 y( x) 的最高阶导数的阶数称为此微分方 程的阶; 使微分方程在区间 I 上成为恒等式的函数 y( x) 称为此微分方程在 I 上的解 ;显然一个微分方程若有解 ,则必有无穷多解 ;若 n 阶微分方程的解中含有 n 个不可合并的任意常数 ,则称其为此微分方程的 通解 ;利用 n 个独立的附加条件 (称为定解条件 )定出了所有任意常数的解称为 特解 ;微分方程连同定解条件一起 ,合称为一个定解问题 ;当定解条件是初始条件(给出 y, y ,, y ( n 1) 在同一点x 0 处的值 )时 ,称为初值问题 .2.一阶微分方程 y f ( x, y) 的解法(1)对于可分离变量方程dy(x) ( y) ,dx先分离变量 (当 ( y) 0 时)得 dy(x)dx ,ψ( y)再两边积分即得通解dy (x)dx C .( y)dyf y ,x(2)对于齐次方程 dx作变量代换y,即 yxu ,可将其化为可分离变量的方程 ,分x u 离变量后 ,积分得dudx C 再以y代替 u 便得到齐次方f (u) uxx程的通解 .(3)形如dyf ( ax by c) 的方程 , dxa 1 xb 1 yc 1 ①若 c,c 1 均为零 ,则是齐次方程 ;②若 c,c 1 不全为零 ,则不是齐次方程 ,但当ab k 时 ,只要作变换 va 1xb 1 y ,即可化为可分离a 1b 1变量的方程dvb 1 f (kvc ) a 1 ;dxv c 1当 a b时,只要作平移变换Xx x 0, 即a 1b 1 Y y y 0 x X x 0 ( 其中 (x 0 , y 0 ) 是线性方程组 ax byc 0 的惟一y Y y 0 a 1 x b 1 y c 1 0解 ),便可化为齐次方程dYf ( aX bY) .dXa 1 Xb 1Y(4)全微分方程若 方 程 P(x, y)dx Q ( x, y) dy 0 之 左 端 是 某 个 二 元 函 数u u( x, y) 的全微分 ,则称其为 全微分方程 ,显然 u( x, y)C 即为通解 ,而原函数 u( x, y) 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件 PQ 来判定 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 是否yx为全微分方程.对于某些不是全微分方程的P( x, y)dx Q(x, y)dy0 ,可乘上一个函数 (, x, y) 使之成为全微分方程P(x, y)dx Q (x, y)dy 0２/19(注意到当 ( x, y) 0 时 P( x, y)dx Q (x, y)dy0 与原方程同解 ),并称(, x, y) 为积分因子 ;一般说来 ,求积分因子比较困难 ,但有时可通过观察得到 .(5)一阶线性微分方程 yp(x) y Q( x) 的通解公式当 Q( x) 不恒为零时 ,称其为一阶线性非齐次微分方程 ;当 Q(x) 恒为零 ,时,即 y p( x) y0 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程 ,易知其通解为 Y Cep ( x )dx;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解y ep ( x)dx(CQ(x)e p( x)d x dx ).(6) 对于 Bernoulli 方程 yp( x) y Q (x) y n ( n 0,1 ),只需作变换z y1 n,即可化为一阶线性方程 dz (1 n) p( x)z (1 n)Q( x) .dx3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程 y (n) f ( x) ,令 z y (n 1) 化为 zf (x) ; 在实际求解中 ,只要对方程连续积分 n 次 ,即得其通解ydxf (x)dx C 1 x n1C n 1 x C n .n 次(2)对于 y f ( x, y ) (不显含 y ),作变换 P y ,则 y P ,于是化一阶方程 P f (x, P) ;显然对 y ( n)f (x, y ( n 1) ) 可作类似处理 .(3)对于 yf ( y, y ) (不显含 x ),作变换 Py ,则 yPdP,于是dy可化为一阶方程 PdPf ( y, P) .dy4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解 .(2)线性齐次微分方程解的结构若 y1 , y2 , , y n是 n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为Y c1 y1c2 y2c n y n.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解 y 之和 ,即y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1 设 y k( k 1,2, , m )是方程y ( n ) p1 (x) y( n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f k ( x)m的解 ,则y k 是方程k 1y ( n) p1 ( x) y (n 1) mp n 1 (x) y p n ( x) y f k (x)k 1的解 .2 若实变量的复值函数 u( x) i v( x) 是方程y (n) p1 ( x) y (n 1) p n 1 (x) y p n ( x) y f 1 ( x) if 2 ( x)的解 ,则此解的实部u( x)是方程y ( n)p1 ( x) y( n 1)p n 1 (x) y p n (x) y f1 ( x)的解 ;虚部v(x)是方程y ( n )p1 (x) y( n 1)p n 1 (x) y p n ( x) y f 2 ( x)的解 .(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1 写出y(n ) p1y( n 1) p n 1 y p n y 0 的特征方程r n p1 r n 1 p n 1 r p n 0 ，并求特征根；2 根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表 )特征根 r 为给出通解中的单实根 1 项: Ce rxk 重实根k 项: e rx(C1 C 2 x C k x k 1 )一对单复根 2 项: e x(C1cos x C 2 sin x)r1,2 i一对 k 重复根 2 k 项 : e x[( C1 C2 x C k x k 1 ) cos xr1,2 i(D1 D 2 x D k x k 1 ) sin x](2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解1对于 f ( x) P m (x)e x,应设特解y x k Q m ( x)e x x k ( a0 x m a1 x m 1a m 1 x a m )e x,其中 k 等于为特征根的重数( 0 k n ), a0, a1,L , a m是待定系数 .将 y 代入原方程,可定出 a0, a1,L , a m,从而求得 y .2 对于 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s sin x] (0 ),应设特解yx k e x [ R m (x) cos x T m ( x) sin x] ,其中 k 等于i 为特征根的重数 ( 0 kn), R m ( x),T m ( x) 是2待 定 的 m max{ l , s} 次 多 项 式 . 将 y 代原方程,即可定出R m ( x),T m ( x) ,从而求得 y .或因为 f ( x) e x [ P l ( x) cos x P s (x)sin x]Re e x (P l (x) iP s ( x))(cos x isin x)Re Q m ( x)e ( i ) x（其中 Q m ( x) P l ( x) iP s ( x) 是 m max{ l , s} 次的复系数多项式） .对于方程y ( n)1 ( n 1)L p n 1y nyQ m ( x)e (i ) xp yp可设其特解Yx k Z m ( x)e (i ) x，（ Z m ( x) 是 m 次待定复系数多项式， k 等于 i 为特征根的重数），将 Yx k Z m (x)e ( i ) x代入方程y ( n )p 1 y ( n 1) Lp n 1 y p n y Q m ( x)e (i ) x中，可定出 Z m (x) ，于是 Yx k Z m ( x)e ( i ) x ，从而原方程的特解y Re Y .3o特例当 f ( x) e x P l ( x)cos x 或f (x) e x P l ( x)sin x 时,设Y Z l ( x)e ( i ) x , 将其代入y ( n) p 1 y ( n 1) Lp n 1 yp n y P l ( x)e ( i ) x ,６/19求得 Y ,则原方程的一个特解y ReY 或 y ImY .6.Euler 方程的解法(1)形如x n y (n )p1 x n 1 y( n 1)p n 1xy p n y f (x)的线性变系数微分方程称为 Euler 方程 ,是一种可化为常系数的变系数微分方程 .(2)解法只需作变换x e t,即t ln x ,即可将其化为常系数线性微分方程 .d ,则若引入微分算子 Ddtxy D y , x2 y D(D 1) y ,, x n y (n )D(D 1) (D n1) y , 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7.应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1)在适当的坐标系下 ,设出未知函数y y( x) ,据已知条件写出相关的量 ;(2)根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程 ;(3)提出定解条件 ;(4)求定解问题的解 ;(5)分析解的性质，用实践检验解的正确性 .二 .课堂练习 (除补充题外 ,均选自复习题12)1.填空题22(1)已知 y 1 e x 及 y 2xe x 是方程 y4xy( 4x 2 2) y0 的解 ,2则其通解为e x (C 1 C 2 x) .222解 : 因 y 1e x , y 2 xe x 都是解 ,且线性无关 ,故 e x (C 1 C 2 x) 是通解 .(2)设一质量为 m 的物体 ,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为 R kv,则其下落的距离 s所满足的微分方程是 sksg ,m 初始条件是 s(0) 0, s (0) 0 .解 : 因为 F ma 而 F mg k v v s , a s , 故得方程 O s(0), ,mg k sms ,化简得 sk sg ;s(t )m在如图所示的坐标系下 ,初始条件为 s( 0)0, s (0) 0.s(3) 微 分 方 程 y 2 y y 6xe x 的 特 解 y的形式为x 2 (axb)e x .解 : 因为特征方程为 r 2 2r 1 0 , r 1 r 21, 而 1 是二重特征根 ,故应设 yx 2 (ax b)e x .(4)若 y 1x 2 , y 2x 2e 2 x , y 3 x 2e 2xe 5x 都是线性非齐次微分 方 程 yp( x) y q( x) yf (x)的解,则其通解为C 1e 2x C 2e 5xx 2 .解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知 ,Y 1y 2 y 1 e 2 x , Y 2 y 3 y 2 e 5 x 都是对应的齐次方程的解,且 线 性 无 关 ,故 对 应 的 齐次方 程 的 通 解 为Y C 1Y 1 C 2 Y 2 C 1e 2 xC 2 e 5 x ; 由非齐次方程解的结构得其通解y Y y 1C 1e 2 x C 2e 5 x x 2 .(5)(补充 )已知 f ( x) 满足 xf ( x)1x 2f (t) dt ,则 f (x)x2t 1 e 2 .x解 :两边对 x 求导得 f ( x)xf (x) x 2 f (x) ,整理得f ( x)x1f ( x) ,xx 2ln c ,即 f (x)x 2分离变量后积分得 ln f ( x)ln x ce 2, x 0 ;2xx 1时(1) 11t 2 1(e 111又当 , f2c e 2d tc 21) ,即 ce 21 ce 2ct1 ,所以 f (x)x 2故 c 1 e 2 .x(6)( 补 充 ) 设 f ( x) 有 连 续 导 数 , 且 f (0) 1.若曲线积分 Lyf (x)dx[ f ( x) x 2 ]dy 与路径无关 ,则 f ( x)3e x 2x 2 .解 : 记 P yf ( x), Qf ( x) x 2.因为积分与路径无关,故有PQ,亦即.它的通解为 yx ,即f ( x) f (x) 2xf ( x) f ( x)2xf ( x) dxdxc] e x [ 2xe xdx c]2x2 ce x .e[ 2 xe dx由 f (0) 1 得 c 3 ,于是 f (x)3e x 2x 2 .(7)( 补充 ) 已知 yy( x)在任意点 x 处的增量 yy x , 其中 =o( x)，21xπy(0) π,则 y(1) πe 4.解：由题设知，dyy .dx1 x 2分离变量得dydx ，积分得 ln y arctanx C 1,即 y Ce arctan x .y1 x 2π由 y(0) π得C π,故y(1) πe 4 .2.选择题(1)函数 yc 1e 2x c 2 ( c 1 ,c 2 为任意常数 )是微分方程 yy 2 y 0的(A) 通解 .(B) 特解 .(C) 不是解 .(D) 解,但不是通解 ,也不是特解 .答(D)解 :因为 y c 1e 2 x c 2 ce 2x ,经检验是解 ,但含有任意常数 ,故不是特解 ,又因为只含一个独立的任意常数 ,故也不是通解 .(2)微分方程 y2 y2 sin 2 2x ,其特解形式为 y(A) A B cos4x C sin 4x . (B) A Bx cos4x Cx sin 4x .(C) Ax B cos4x C sin 4x .(D) Ax Bx cos4x Cxsin 4x .答( C) 解 : y 2 y 2 sin 2 2x1 cos4x 特解为 y y 1 y2 .,因为r 22 r0 , r1 0, r22 而 0 是特征方程的单根 , 故应, 设 y 1 Ax ; 而i4i 不是特征方程根,故应设y 2B cos 4xC sin 4x ,因此 y y 1 y 2Ax B cos4 x C sin 4x .(3)微分方程 (2 x y)dy (5x 4y)dx 是(A) 一阶线性齐次方程 .(B) 一阶线性非齐次方程 .(C) 齐次方程 .(D) 可分离变量方程 .答(C)解 :原方程可化为dy5x 4 y5 4 yx . dx 2x y y2x(4)(补充 )具有特解y1 e x, y2 2xe x, y3 3e x的三阶常系数线性齐次微分方程是(A) y y y y 0 . (B) y y y y 0 .(C) y y y y 0 . (D) y y y y 0 .答(B) 解 : 由方程的特解可知 ,其特征根为r1 r2 1, r3 1 ,于是特征方程为 ( r 1)2 ( r 1) 0 即 r 3 r 2 r 1 0 ,故方程为y y y y0 .(5)( 补充 ) 方程y9 y 0 通过点 ( , 1) 且在该点处与直线y 1 xπ相切的积分曲线为(A) y C1 cos3x C2 sin3x . (B) y cos3x C2 sin 3x .(C) y cos3x. (D) y cos3x 1sin3x .3答( D)解 : 因为r2 9 0 , r1, 2 3i ,故通解为 y C 1 cos3x C2 sin3x .由初始条件 y( ) 1, y ( ) 1得C1 1,C2 1,所以所求积分曲线3为y x 1sin 3x.cos3 3(6)(补充 ) 方程 y( 4 ) y e x 3sin x 的特解应设为(A) Ae x B sin x . (B) Ae x B cos x C sin x .(C) Axe xB cos xC sin x .(D) x(Ae xB cos xC sin x) .答(D)解 :对应的齐次方程的特征方程为 r 4 1 0 ,特征根为r 1 1, r 2 1, r 3 i, r 4 i .令 f ( x)e x 3sin xf 1 (x) f 2 (x) .对于 f 1 ( x) e x ,因1 是单特征根 ,故设 y 1 Axe x ; 对于 f 2 ( x) 3sin x ,因ii 是单特征根 ,故设y 2 x(B cos x C sin x) ；从而 yy 1 y 2x( Ae xB cos xC sin x) .(7)(06 考研 )函数 y C 1e x C 2e 2x xe x 满足的一个微分方程是 (A) y y 2y 3xe x .(B) y y 2 y 3e x .(C) yy2y 3xe x .(D) yy 2 y 3e x .答(D)解 :因为 r 1 1,r 22 ，即特征方程为 r 2 r 2 0 ，故排除（ A ）、（B ）.由1是特征方程的单根，知 f (x)Ae x ，故排除（ C ） .3.求下列方程的通解(2)dyy x ; dx2 ln y解 :方程化为dx2 x2ln y 是一阶线性方程.dyy y ,1 22ln y y 2 dy Cx2 y d y2y dydy C1ey ln yey 2y1121 212.y 222 y ln y4y Cln y 2 Cy(5) xdx ydyydx xdy0 ;x2y2解 :原方程可化为 1 21 2 d arctanx,故通解为d 2 x d 2 yy1 x21 y2arctanxC .22y(10) y x x 2 y .解 :设 ux2y ,即 u2x2y ,则dy2u du2x .代入原方程得dx dxdu1 x 1 .此为齐次方程 ,再设 v u ,则 duv xdv,故方程化dx 2 ux dxdx为 v x dvv 1.分离变量为2vdv11dx ，两边积分得dx2v2v 2 v x1 ln 2v 2v 1 1ln 2v 1 1ln v 1 ln x ln C 1 .2 3 3代回原变量并整理得 x 2 3 x 3 3 xy C .y24.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) y 3dx 2 x 2xy 2 dy 0 , y x11 ;解 :原方程化为 y 3dx 2 xy 2x2,即dx2 x 2 x 2 .dydyyy 3令 Z x 1dZ 22,得 dy y Zy 3.221Ze yd y2 e y d ydyC 2 ln y C ,即 y 3y 21 12 ln y C 故通解为 y2x 2 ln y C .x y 2 ,由 y x 1 1 ,得 C 1 ,所以特解为 y 2 x 2 ln y 1 . (3) 2ysin 2 y 0 , y 02 , y 0 1 ;解:令 Py ,则 yPdP,原方程化为 2PdP2 sin y cos y ,即dydy2PdP 2 sin yd sin y .积分得 P 2sin 2 y C .由 y 0, y 0 1,sin y .解之得 ln tany2得 C 0 ,故 yPx C .由 y 0, C 0 .2arctan e x .22故特解为 y5(补充).设y e x是微分方程xy p(x) y x 的一个解,求此微分方程满足条件 y(ln 2)0 的特解.解 : 将y e x代入微分方程得 xe x p(x) e x x ,解之得p( x) xe x x ,于是此微分方程为 xy ( xe x x) y x ,即y (e x1) y 1 .x其对应的齐次方程的通解为Y Ce e x ,于是此微分方程的通Ce e x x e x 1解为 y . 由y(ln 2) 0得 C e 2,故特解为e x x1y e x e 2 .6(补充).设L : y y( x) 是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点( x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲线上点(0,1) 处的切线方程为1 y 2y x 1 ,求该曲线的方程.解 : 因为曲线向上凸 ,故y 0 ,于是有y 1 ,化简y 2 )3(1 1 y 2得二阶方程 y (1 y 2 ) .令 P y ,则 y P ,故方程化为P (1 P 2 ) .分离变量后积分得arctanP C1 x . 由题设有P(0) y (0) 1 ,于是可定出 C1 4 ,所以y P tan( 4x) ,再积分π得 y ln cos(πx) C2 . 由y(0) 1得C2 11ln 2 ,因此该曲线4 2L : y ln cos(πx) 11ln 2 .4 27(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V ,流入湖泊内不含 A 的水量为 V ,流出湖泊的水量为 V.已知 6 6 31999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ,超过国家规定指标 .为了治理污染,从 2000 年初起 ,限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过m 0.V问至少需经过多少年 ,湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 ?(注 :设湖水中 A 的浓度是均匀的 .)解 :设 2000 年初 (记此时 t 0 )开始 ,第 t 年湖泊中污物 A 的总量为 m ,浓度为m,则在时间间隔 [t , t dt] 内,排入湖泊中污染物 A 的量为Vm 0 V dtm 0dt ,流出湖泊的水中 A 的量为 m Vdtmdt ,因而在 V6 6 V 3 3此间隔内湖泊中污染物 A 的改变量为 dm(mm)dt , m t 0 5m 0 .63m 0 t9m 0 , 故分 离 变 量 解 得 mCe 3, 由 m t 05m 0 得 C2t2mm 0(1 9e 3 ) .2令 m m 0 ,解得 t 6 ln 3 ,即至少需经过 6 ln 3 年湖泊中污物 A 的含量降至 m 0 以内 .8.求下列 Euler 方程的通解(2) x 2 y 4xy6 y x .解 :设 xt,方程化为d 2 y dy6 y edt 25r2dt5r 6 0r 1 2 , r 23 .设 y ae t ,代入方程（ * ），得 e ta1, 故 y 1e t.从而原方程的通解为 2 2e t . .（* ）y C 1e 2 t C 2e 3 t.a 5a 6ae t .由此定出y C 1 x 2C 2 x 31x .2设对于半空间 , 都有内任意的光滑有向封闭曲面xf ( x)dydz xyf ( x)dzdx e 2 x zdxdy 0 ，S其中 f x 在 0,内具有连续的一阶导数 , 且 limf x 1 , 求x 0f x .解 :由曲面积分与曲面无关的条件PQ R 0, 有xyzxf xf xxf xe2x0 , 即 f x1 1f x 1 e 2 x .xx11所以 f xe1 xdx2 x e 1 x dxC1 edxxe x 1 1 e 2x e x xdx C1 e x e x C .x x x由 lim f x 1, 即 lim 1 e x e xC 1 ,可求出 C1 ,故 x 0x 0 x f x 1 e x e x 1 .x10(补充 ).设函数 y( x)( x 0) 二阶可导且 y (x)0, y(0) 1 .过曲线yy(x) 上任意一点 P( x, y) ,作该曲线的切线及 Ox 轴的垂线 ,上述二直线与 Ox 轴所围成的三角形的面积记为S 1 ,区间 [0, x] 上以y y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 yy(x) 的方程 .解 :曲线 y y( x) 上点 P(x, y) 处的切线方程为 Y yy (x)( X x) . 切 线 与 Ox 轴 的 交 点 为 (xy( x), 0) . 由 y ( x)0, y(0) 1 , 知y ( x)y( x) 0 ,于是S 11y( x) xx y( x)2( x); 而 S 2y(t )dt ( x 0 ); 故由yx2y ( x)2 y (x)1得y2x条件 2S 1 S 2y(t )dt1,由此还可得 y (0)1.y将y 2x( y )2 .令 y P ,y(t )dt 1 两边对 x 求导并整理得 yyy则 yPdP, 于 是 方 程 化为 ydPP , 解之 得 y P C 1 y , 由dydyy (0) 1和 y( 0) 1得 C 1 1,于是 yy ,从而 yC 2e x .再由 y(0) 1得 C 2 1 ,故所求曲线方程为 ye x .11 .) 内具有二阶导数，且(06 考研 ) 设函数 f (u) 在 (0,zf ( x222z 2z0 .y) 满足等式2y 2x （ 1） 验证 f(u)f (u) ；u（ 2） 若 f (1) 0, f (1) 1，求函数 f (u) 的表达式 .解 : （1）由 zf (u),ux 2 y 2 ，得z f (u)x,2z f (u)x 2 f (u)y 2，x x 2y 2 x 2x 2y 2y 23x 2 2z f (u)y,2zf (u)y 2f (u)x 23.yx 2y 2 y 2x 2y 2y 2x 2 2 因为2z2z0 ，所以有 f(u)f (u) 0 ，即x 2 y 2x 2y 2f (u) f (u) 0 .u（2）由（1）得 f (u) 1C ，由f (1) 1 知 C0 ，即 f (u) 1 ；u11u于是得 f (u) ln u C 2 ，由 f (1) 0，得 C 2 0 ，所以 f (u)ln u .12(07 考研 ).解初值问题y ( x y 2 )y ,y(1)1, y (1)1.解：令 y P, 则 y P ,原方程化为 P (x P 2 ) P, 即dx1 x P. dP P1dPC1 1dPP C1 dP P(C1 P).于是 x e P Pe P dP由 P x 1 y (1) 1,得C1 0,且P x,即dyx. dx31,故 y 31 .解得 y 2 x2 C2 , 又由 y(1) 1得C2 2 x23 3 3 312（07 考研）. 设幂级数a n x n在 ( , ) 内收敛，其和n 0函数 y(x)满足y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.（I ）证明a n2 2 a n ,n 1,2,L ;n 1（I I ）求y( x)的表达式.解：（ I ）对yn 0a n x n求一、二阶导数，得y na n x n 1 , y n( n 1)a n x n 2 ,n 1 n 2代入 y 2xy 4 y 0并整理得( n 1)(n 2) a n 2 x n 2na n x n 4a n x n 0.n 0 n 1 n 0于是2a2 4a0 0,(n 1)(n 2)a n 2 2(n 2)a n 0, n 1,2,L ,从而有2a n 2 n 1an,n1,2,L .（ II ）因为y(0) a0 0, y (0) a1 1, 故a0, k 0,1,2L ;a2k 12 a2 k 11a 2k 11 1 a2 k 3L1 a 1 1 , k 0,1,2,L .2kkk k 1k ! k !所以ya n x na 2k 1x 2k 1x 2 k 1 ( x 2 )kx2).k 0k !xk!xe , x ( ,n 0k 0k 0补充 设 满足 xf ( x) 3 f (x) 6x 2 , 且由曲线y 与 13( ). f (x)f (x) 直线 x 1及 x 轴所围的平面图形 D 绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积最小 , 求 f (x).解：满足的方程 可写为. f (x)y3 y6x,x3 d x3dx31其通解xxyf (x) eC6xedxxC6 dxx 2Cx 3 6x 2 .旋转体的体积为V (C) π01 f 2 (x)dx π01 (Cx 3 6x 2 )2 dxπ01 (C 2 x 6 12Cx 5 36x 4 )dx π C 2 2C36 .75令 V (C) 2C 2 ，得惟一驻点 C 7, 且 V (C)2π 0, π 7 0 7 故 C 7是极小值点，也是最小值.点于是f (x)6x 2 7 x 3 .１９/19。
(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
常微分方程题库(附答案)4.1线性微分方程的一般理论
【单选题】n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是________个．A 、n -1；B 、n ；C 、n +1；D 、n +2.答案：B【单选题】下了判断正确的是_______________.A 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差不是对应齐次微分方程组的解；B 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差是对应齐次微分方程组的解;C 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和还是该非齐次微分方程组的解；D 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和是对应齐次微分方程组的解.答案：B【计算题】解微分方程'''1211,,11t t x x x t x t x e t t+-=-==--. 答案：常数变易法令12()()t x c t t c t e =+是原方程的解，并代入原方程得''12''12()()0()()1t t c t t c t e c t c t e t ⎧+=⎨+=-⎩， 解得''12()1,()t c t c t te -=-=,所以1122(),()(1)t c t t c c t t e c -=-+=-++ 因此原方程的通解为2121t x c t c e t =+-- 其中21,c c 是任意常数. 【计算题】解微分方程2'''2312ln 4636,,t t x tx x x t x t t-+===. 答案：常数变易法 令2312()()x c t t c t t =+是原方程的解，并代入原方程得'2'312'2'123()()0ln 2()3()36c t t c t t t tc t t c t t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得334411229()412ln ,()9ln 4c t t t t c c t t t t c ----=++=--+ 因此原方程的通解为23111273ln 4x c t c t t t t --=+++ 其中21,c c 是任意常数 . 【计算题】已知方程220d x x dt-=有基本解组 ,t t e e -，试求此方程适合初值条件'(0)1,(0)0x x ==及'(0)0,(0)1x x ==的基本解组.答案：由题意知通解为12t t x c e c e -=+ ，则'12t t x c e c e -=-，分别把初值条件代入得121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.因此方程的标准基本解组为 121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.【证明题】证明n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dtdt---++++= 存在且最多存在1n +个线性无关的解. 答案：设齐次线性微分方程的n 个线性无关的解为12,,,n x x x ，设满足某初值条件的非齐次线性微分方程的解为x ，则显然12,,,,n x x x x x x x +++为非齐次微分方程的+1n 个解。
王高雄《常微分方程》(第3版)(章节题库 绪 论)【圣才出品】
第1章 绪 论一、填空题1．微分方程（y＇＇）2＋（y＇）5 sin x＋2x cos3y＇＇＇＝0的阶数是______．【答案】三阶【解析】微分方程的阶是指这个方程中出现未知函数的最高阶导数的阶数．2．具有特定解y1（x）＝x，y2（x）＝sin x的最低阶实常系数线性齐次微分方程是______．【答案】y（4）＋y＇＇＝0．【解析】所求方程有特征根为λ1,2＝0，λ3,4＝±i5．令X＝x－1，y＝y＋1，原方程可化为克莱罗方程y＝x y＇＋（y＇）2其通解为y＝yc＋（C）2．二、名词解释1．常微分方程．答：常微分方程是指含有一个自变量、未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式．三、解答题1．指出下列微分方程的阶数解：（1）一阶微分方程；（2）二阶微分方程；（3）二阶微分方程；（4）一阶微分方程；（5）四阶微分方程．2．求下列两个微分方程的公共解：解：两方程的公共解满足条件即所以或代入检验可知不符合．所以两方程的公共解为3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图1-1所示图1-1（2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图1-4所示图1-2（3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图1-3所示图1-3（4）所求的方向场及过点的积分曲线如图1-4所示图1-4（5）所求的方向场及经过点（0，0），（0， 1）的积分曲线如图1-5所示图1-5（6）所求的方向场及过点（1，2）的积分曲线如图1-6所示图1-64．当方程的等倾线就是积分曲线时，应满足什么条件？解：由于方程的等倾线就是积分曲线，所以即f（x，y）应满足的条件为5．若方程的等倾线就是积分曲线时，试证此方程必为克莱罗（Clairaut）方程．证明：由于是方程的解；于是是所要求的满足的曲线方程，该曲线具有与切线有关而与切点无关的性质，则＝0一定是克莱罗方程．事实上，设切点（x，y），切线动点坐标为（X，Y），有或于是切线的性质可以用与关系式表示，由此解出可得到：或（克莱罗方程）．6．求微分方程的通解，并分别求满足下列条件的特解．（1）通过点（2，1）；（2）与直线y＝x相切；（3）与直线y＝－3x＋1正交．解：直接积分得方程的通解为（1）将x＝2，y＝1代入通解中得C＝－7，则通过点（2，1）的解为（2）与直线y＝x相切的解满足在切点处斜率相同，有即得切点坐标为和同（1）的解法，与直线y＝x相切的解为和（3）与直线y＝－3x＋1正交的解在正交点处斜率满足即得正交点坐标为和同（1）的解法所求方程的解为和7．求微分方程y＇＋xy＇2－y＝0的直线积分曲线．解：设直线积分曲线为y＝ax＋b，则y＇＝a，代入原方程得。
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常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________答：)()1)((y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程. 答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中 =h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件. 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x ni i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间． 答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是 ． 答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy =的任一解的存在区间（ D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ B ）个解． （A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三 6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 8．方程323d d y x y =过点（ A ）． （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程1d d +=y xy （ C ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23 另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以 方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , cx z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--y d xy d dx所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y也是方程的解 8．21d d x xyx y +=解 当0≠y 时，分离变量得x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y x y2e 3d d =+解 齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为 41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y=+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解 令u x y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得 C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln += 即通积分为： Cx xy =sin16． 1d d +=x y x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d )(e C y x xy y xx =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+ 18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 y x y '=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y=+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出 41=A ． 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ． 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。